12.4.3: Relaciones cinemáticas

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Hipótesis 12.8 Atmósfera móvil

La atmósfera se considera móvil, es decir, se toma en consideración el viento. El componente vertical es descuidado debido a su baja influencia. Solo se consideran los efectos cinemáticos, es decir, los efectos dinámicos del viento también se descuidan debido a su baja influencia. La velocidad del viento se\(\vec{W}\) puede expresar en ejes de horizonte locales como:

\[\vec{W}_h = \begin{bmatrix} W_x \\ W_y \\ 0 \end{bmatrix}\]

Considerando el sistema de referencia de ejes terrestres como un sistema inercial, y asumiendo que los ejes de tierra son paralelos a los ejes locales del horizonte, la velocidad absoluta se\(\vec{V}^G = \vec{V}^A + \vec{W}\) puede expresar referida a una referencia de ejes de viento de la siguiente manera:

\[\vec{V}_e^G = \begin{bmatrix} \dot{x}_e \\ \dot{y}_e \\ \dot{z}_e \end{bmatrix} = L_{hw} \vec{V}_w^A + \vec{W}_h = L_{hw} \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} W_x \\ W_y \\ 0 \end{bmatrix} = L_{wh}^T \begin{bmatrix} V \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} W_x \\ W_y \\ 0\end{bmatrix}.\]

observación 12.4

Observe que la velocidad aerodinámica absoluta\(\vec{V}^A\) expresada en un marco de referencia de ejes de viento es\((V, 0, 0)\).

Por lo tanto, las relaciones cinemáticas son las siguientes:

\[\dot{x}_e = V \cos \gamma \cos \chi + W_x,\label{eq12.4.3.3}\]

\[\dot{y}_e = V \cos \gamma \sin \chi + W_y,\]

\[\dot{z}_e = -V \sin \gamma,\label{eq12.4.3.5}\]

Las ecuaciones (\(\ref{eq12.4.3.3}\)) - (\(\ref{eq12.4.3.5}\)) proporcionan la ley de movimiento y se puede determinar la trayectoria de la aeronave.

Observe que Equation (\(\ref{eq12.4.3.5}\)) generalmente se reescribe como

\[\dot{h}_e = V \sin \gamma,\]

Nota 12.5

Si se quiere modelar un vuelo sobre una tierra esférica, ya que el radio de la tierra es suficientemente grande y la velocidad angular de la tierra es suficientemente pequeña, sostiene que la rotación de la tierra tiene una influencia muy baja en la aceleración centrípeta y por lo tanto es descuidable. Por lo tanto, la hipótesis de la tierra plana se mantiene en la dinámica de una aeronave que se mueve sobre una tierra esférica con las siguientes relaciones cinemáticas:

\[\dot{\lambda}_e = \dfrac{V \cos \gamma \cos \chi + W_x}{(R + h) \cos \theta},\]

\[\dot{\theta}_e = \dfrac{V \cos \gamma \sin \chi + W_y}{R + h},\]

\[\dot{h}_e = V \sin \gamma,\]

donde\(\lambda\) y\(\theta\) son respectivamente la longitud y latitud y\(R\) es el radio de la tierra.