12.4.5: Sistema de ecuaciones diferenciales generales

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Para un modelo de masa puntual, el sistema de ecuaciones diferenciales generales que gobierna el movimiento de una aeronave se establece de la siguiente manera:

\[-mg \sin \gamma + T \cos \epsilon \cos v - D = m (\dot{V}),\label{eq12.4.4.1}\]

\[mg \cos \gamma \sin \mu + T \cos \epsilon \sin v - Q = - mV (\dot{\gamma} \sin \mu + \dot{\chi} \cos \gamma \cos \mu),\]

\[mg \cos \gamma \cos \mu - T \sin \epsilon - L = - mV (\dot{\gamma} \cos \mu - \dot{\chi} \cos \gamma \sin \mu),\]

\[\dot{x}_e = V \cos \gamma \cos \chi + W_x,\]

\[\dot{y}_e = V \cos \gamma \sin \chi + W_y,\]

\[\dot{z}_e = - V \sin \gamma,\]

\[\dot{m} + \phi = 0.\label{eq12.4.4.7}\]

Si asumimos la siguiente hipótesis:

Hipótesis 12.9 Vuelo simétrico

Suponemos que la aeronave tiene un plano de simetría, y que la aeronave vuela en vuelo simétrico, es decir, todas las fuerzas actúan sobre el centro de gravedad y el empuje y las fuerzas aerodinámicas se encuentran en el plano de simetría. Esto conduce a no deslizamiento lateral, es decir\(\beta = ν = 0\), y fuerza aerodinámica no lateral, es decir\(Q = 0\), supuestos.

Hipótesis 12.10 Ángulo de ataque de empuje pequeño

Asumimos que el ángulo de ataque de empuje es pequeño\(\epsilon \ll 1\), es decir,\(\cos \epsilon \approx 1\) y\(\sin \epsilon \approx 0\). Para los aviones comerciales, las actuaciones típicas no exceden\(\epsilon = \pm 2.5 [deg] (\cos 2.5 = 0.999)\); en el despegue rara vez puede llegar hasta\(\epsilon = 5 - 10 [deg]\), pero aún así\(\cos 10 = 0.98\)

El sistema ODE (\(\ref{eq12.4.4.1}\)-\(\ref{eq12.4.4.7}\)) es el siguiente:

\[-mg \sin \gamma + T - D = m (\dot{V}),\]

\[mg \cos \gamma \sin \mu = -m V (\dot{\gamma} \sin \mu - \dot{\chi} \cos \gamma \cos \mu),\label{eq12.4.4.9}\]

\[mg \cos \gamma \cos \mu - L = -m V (\dot{\gamma} \cos \mu + \dot{\chi} \cos \gamma \sin \mu),\label{eq12.4.4.10}\]

\[\dot{x}_e = V \cos \gamma \cos \chi + W_x,\]

\[\dot{y}_e = V \cos \gamma \sin \chi + W_y,\]

\[\dot{z}_e = -V \sin \gamma,\]

\[\dot{m} + \phi = 0.\]

Ecuación Operativa (\(\ref{eq12.4.4.9}\))\(\cdot \cos \mu\) - Ecuación (\(\ref{eq12.4.4.10}\))\(\cdot \sin \mu\) que produce:

\[L \sin \mu = m V\dot{\chi} \cos \gamma.\]

Ecuación Operativa (\(\ref{eq12.4.4.9}\))\(\cdot \sin \mu\) + Ecuación (\(\ref{eq12.4.4.10}\))\(\cdot \cos \mu\) rinde:

\[L \cos \mu - mg \cos \gamma = m V \dot{\gamma}.\]