1.4: La señal fundamental
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- Se presenta una descripción de la señal fundamental utilizada en los sistemas de comunicaciones, la sinusoide, así como varias de las propiedades de la sinusoide.
- Se discute el concepto de modulación por una sinusoide.
La sinusoide
La señal más ubicua e importante en la ingeniería eléctrica es la sinusoide.
Definición de seno
\[s(t)=A\cos (2\pi ft+\varphi )\: \: or\: \: A\cos (\omega t+\varphi ) \nonumber \]
A A se conoce como la amplitud de la sinusoide, y determina el tamaño de la sinusoide. La amplitud transmite las unidades físicas de la sinusoide (voltios, lúmenes, etc.). La frecuencia f tiene unidades de Hz (Hertz) o s -1, y determina la rapidez con la que oscila la sinusoide por unidad de tiempo. La variable temporal t siempre tiene unidades de segundos, y así la frecuencia determina cuántas oscilaciones/segundo tiene la sinusoide. Las estaciones de radio AM tienen frecuencias portadoras de aproximadamente 1 MHz (un mega-hercio o 10 6 Hz), mientras que las estaciones FM tienen frecuencias portadoras de aproximadamente 100 MHz. La frecuencia también puede ser expresada por el símbolo\[\omega \nonumber \]
que tiene unidades de radianes/segundo. Claramente,
\[\omega =2\pi f \nonumber \]
En las comunicaciones, la mayoría de las veces expresamos frecuencia en Hertz.
Por último,
\[\varphi \nonumber \]
es la fase, y determina el comportamiento de la onda sinusoidal en el origen (t=0). Tiene unidades de radianes, pero podemos expresarlo en grados, dándonos cuenta de que en los cálculos debemos convertir de grados a radianes. Tenga en cuenta que si
\[\varphi = -\frac{\pi }{2} \nonumber \]
la sinusoide corresponde a una función sinusoidal, teniendo un valor cero en el origen.
\[A\sin (2\pi ft+\varphi )=A\cos \left ( 2\pi ft+\varphi -\frac{\pi }{2}\right ) \nonumber \]
Así, la única diferencia entre una señal sinusoidal y coseno es la fase; denominamos o bien sinusoide.
También podemos definir una variante de tiempo discreto de la sinusoide:
\[A\cos (2\pi ft+\varphi ) \nonumber \]
Aquí, la variable independiente es n y representa los enteros. La frecuencia ahora no tiene dimensiones, y toma valores entre 0 y 1.
Demostrar que
\[cos (2\pi fn)= \cos (2\pi (f+1)n) \nonumber \]
lo que significa que una sinusoide que tiene una frecuencia mayor que una corresponde a una sinusoide que tiene una frecuencia menor que uno.
Solución
\[As \cos (\alpha +\beta )= \cos (\alpha) \cos (\beta) - \sin (\alpha )\sin (\beta )\\ cos (2\pi (f+1)n)= cos (2\pi fn)cos (2\pi n) - \sin (2\pi fn)sin (2\pi n) = cos (2\pi fn) \nonumber \]
Observe que llamaremos a cualquiera de las sinusoides una señal analógica. Solo cuando la señal de tiempo discreto adquiere un conjunto finito de valores puede considerarse una señal digital.
¿Se te ocurre una señal simple que tenga un número finito de valores pero que se defina en tiempo continuo? Tal señal es también una señal analógica.
Solución
Una onda cuadrada toma los valores 1 y -1 alternativamente. Ver la trama en el módulo Señales elementales.
Comunicar información con señales
La idea básica de la ingeniería de comunicaciones es utilizar los parámetros de una señal para representar números reales u otras señales. El término técnico es modular los parámetros de la señal portadora para transmitir información de un lugar a otro. Para explorar la noción de modulación, podemos enviar un número real (la temperatura actual, por ejemplo) cambiando la amplitud de una sinusoide en consecuencia. Si quisiéramos enviar la temperatura diaria, mantendríamos la frecuencia constante (para que el receptor supiera qué esperar) y cambiaríamos la amplitud a medianoche. Podríamos relacionar la temperatura con la amplitud por la fórmula
\[A = A_{0}(1+kT) \nonumber \]
donde A 0 y k son constantes que tanto el transmisor como el receptor deben conocer.
Si tuviéramos dos números que quisiéramos enviar al mismo tiempo, podríamos modular la frecuencia de la sinusoide así como su amplitud. Este esquema de modulación supone que podemos estimar la amplitud y frecuencia de la sinusoide; aprenderemos que esto es realmente posible.
Ahora supongamos que tenemos una secuencia de parámetros para enviar. Hemos explotado todos los dos parámetros de la sinusoide. Lo que podemos hacer es modularlos por un tiempo limitado (digamos T segundos), y enviar dos parámetros cada T. Esta simple noción corresponde a cómo funciona un módem. Aquí, los caracteres mecanografiados se codifican en ocho bits, y los bits individuales se codifican en la amplitud y frecuencia de una sinusoide. Aprenderemos cómo se hace esto en módulos posteriores y, lo que es más importante, aprenderemos cuáles son los límites en tales esquemas de comunicación digital.