3.11: Poder en el Dominio de la Frecuencia
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- Reexpresión de la potencia del elemento mediante impedancias.
Recordando que la potencia instantánea consumida por un elemento de circuito o un circuito equivalente que representa una colección de elementos es igual al voltaje por la corriente que ingresa al terminal de voltaje positivo:
\[p(t)=v(t)i(t) \nonumber \]
¿Cuál es la expresión equivalente usando impedancias? El cálculo resultante revela más sobre el consumo de energía en los circuitos y la introducción del concepto de potencia promedio.
Cuando todas las fuentes producen sinusoides de frecuencia f, el voltaje y la corriente para cualquier elemento de circuito o colección de elementos son sinusoides de la misma frecuencia.
\[v(t)=\left | V \right |cos(2\pi ft+\varphi )\\ i(t)=\left | I \right |cos(2\pi ft+\theta ) \nonumber \]
Aquí, la amplitud compleja de la tensión y la corriente viene dada por:
\[V=\left | V \right |e^{i\varphi }\\ I=\left | I \right |e^{i\theta } \nonumber \]
También podemos escribir el voltaje y la corriente en términos de sus amplitudes complejas usando la fórmula de Euler.
\[v(t)=\frac{1}{2}\left ( Ve^{i2\pi ft} +\overline{V}e^{-(i2\pi ft)}\right )\\ i(t)=\frac{1}{2}\left ( Ie^{i2\pi ft} +\overline{I}e^{-(i2\pi ft)}\right ) \nonumber \]
Multiplicar estas dos expresiones y simplificar da
\[p(t)=\frac{1}{4}\left ( V\overline{I}+\overline{V}I+VIe^{i4\pi ft}+\overline{V}\overline{I}e^{-(i4\pi ft)} \right ) \nonumber \]
\[p(t)=\frac{1}{2}\Re (V\overline{I})+\frac{1}{2}\Re (VIe^{i4\pi ft}) \nonumber \]
\[p(t)=\frac{1}{2}\Re (V\overline{I})+\frac{1}{2}\left | V \right |\left | I \right |\cos (4\pi ft+\varphi +\theta ) \nonumber \]
\[\frac{1}{2}V\overline{I} \nonumber \]Definimos como un poder complejo. La parte real de la potencia compleja es el primer término y como no cambia con el tiempo, representa la potencia consumida/producida consistentemente por el circuito. El segundo término varía con el tiempo a una frecuencia dos veces mayor que la de la fuente. Conceptualmente, este término detalla cómo el poder “sloshes” de un lado a otro en el circuito debido a la fuente sinusoidal.
Desde otro punto de vista, la parte real del poder complejo representa el consumo/producción de energía a largo plazo. La energía es la integral del poder y, a medida que aumenta el intervalo de integración, el primer término se aprecia mientras que el término variable en el tiempo “sloshes”. En consecuencia, la definición más conveniente de la potencia promedio consumida/producida por cualquier circuito es en términos de amplitudes complejas:
\[P_{ave}=\frac{1}{2}\Re (V\overline{I}) \nonumber \]
Supongamos que las amplitudes complejas de la tensión y la corriente tienen magnitudes fijas. ¿Qué relación de fase entre voltaje y corriente maximiza la potencia promedio? En otras palabras, ¿cómo son φ yrelacionado para la disipación de potencia máxima?
Solución
Para una disipación de potencia máxima, la parte imaginaria de la potencia compleja debe ser cero. Como el poder complejo viene dado por:
\[V\overline{I}=\left | V \right |\left | I \right |e^{i(\varphi -\theta )} \nonumber \]
La parte imaginaria cero ocurre cuando las fases de la tensión y las corrientes coinciden.
Debido a que las amplitudes complejas del voltaje y la corriente están relacionadas por la impedancia equivalente, la potencia promedio también se puede escribir como
\[P_{ave}=\frac{1}{2}\Re (Z)(\left | I \right |)^{2}=\frac{1}{2}\Re \left ( \frac{1}{Z} \right )(\left | V \right |)^{2} \nonumber \]
Estas expresiones generalizan los resultados que obtuvimos para circuitos de resistencia. Hemos derivado un resultado fundamental: Solo la parte real de la impedancia contribuye a la disipación de energía a largo plazo. De los elementos del circuito, solo la resistencia disipa la potencia. Los capacitores e inductores no disipan energía a largo plazo. Es importante darse cuenta de que estas declaraciones se aplican únicamente para fuentes sinusoidales. Si enciende una fuente de voltaje constante en un circuito de CC, cargar el condensador consume energía.
En un problema anterior, encontramos que el valor rms de una sinusoide era su amplitud dividida por\[\sqrt{2} \nonumber \] ¿Qué es la potencia promedio expresada en términos de los valores rms de la tensión y la corriente (V rms e I rms respectivamente)?
Solución
\[P_{ave}=V_{rms}I_{rms}\cos (\varphi -\theta ) \nonumber \]
El término coseno se conoce como factor de potencia.