4.9: Sistemas lineales invariantes en el tiempo
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- Aplicación de entrada periódica a sistemas lineales invariables en el tiempo.
Cuando aplicamos una entrada periódica a un sistema lineal, invariable en el tiempo, la salida es periódica y tiene coeficientes de serie de Fourier iguales al producto de la respuesta de frecuencia del sistema y los coeficientes de Fourier de la entrada (Filtrado de Señales Periódicas). La forma en que derivamos el espectro de señal no periódica de las periódicas deja claro que el mismo tipo de resultado funciona cuando la entrada no es periódica.
Si x (t) sirve como entrada a un sistema lineal, invariable en el tiempo que tiene respuesta de frecuencia H (f), el espectro de la salida es X (f) H (f).
Usemos esta relación de entrada/salida en el dominio de la frecuencia para sistemas lineales e invariantes en el tiempo para encontrar una fórmula para la respuesta del circuito RC a una entrada de pulso. Tenemos expresiones para el espectro de entrada y la respuesta de frecuencia del sistema.
\[P(f)=e^{-(i\pi f\Delta )}( \frac{\sin (\pi f\Delta )}{\pi f} \nonumber \]
\[H(f)=\frac{1}{1+i2\pi fRC} \nonumber \]
Por lo tanto, la transformada de Fourier de la salida es igual
\[Y(f)=e^{-(i\pi f\Delta )}\frac{\sin (\pi f\Delta )}{\pi f}\frac{1}{1+i2\pi fRC} \nonumber \]
No encontrarás esta transformada de Fourier en nuestra tabla, y la integral requerida es difícil de evaluar tal y como está la expresión. Esta situación requiere inteligencia y comprensión de las propiedades de la transformada de Fourier. En particular, recordar la relación de Euler para el término sinusoidal y observar el hecho de que la multiplicación por un exponencial complejo en el dominio de la frecuencia equivale a un retardo de tiempo. Hagamos momentáneamente la expresión de Y (f) más complicada.
\[e^{-(i\pi f\Delta )}\frac{\sin (\pi f\Delta )}{\pi f}=e^{-(i\pi f\Delta )}\frac{e^{i\pi f\Delta }-e^{-(i\pi f\Delta )}}{i2\pi f} \nonumber \]
\[e^{-(i\pi f\Delta )}\frac{\sin (\pi f\Delta )}{\pi f}=\frac{1}{i2\pi f}\left ( 1- e^{-(i\pi f\Delta )}\right ) \nonumber \]
En consecuencia,
\[Y(f)=\frac{1}{i2\pi f}\left ( 1- e^{-(i\pi f\Delta )}\right )\frac{1}{1+i2\pi fRC} \nonumber \]
La tabla de propiedades de la transformada de Fourier sugiere pensar en esta expresión como producto de términos.
- La multiplicación por 1/i2πf significa integración.
- Multiplicación por las\[e^{-(i2\pi f\Delta )} \nonumber \] medias exponenciales complejas de retardo por Δ segundos en el dominio del tiempo.
- El término\[1-e^{-(i2\pi f\Delta )} \nonumber \] significa, en el dominio del tiempo, restar la señal retardada en el tiempo de su original.
- La transformación inversa de la respuesta de frecuencia es\[\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}u(t) \nonumber \]
Podemos traducir cada uno de estos productos de dominio de frecuencia en operaciones de dominio de tiempo en cualquier orden que nos guste porque el orden en que ocurren las multiplicaciones no afecta el resultado. Empecemos con el producto de 1/i2πf (integración en el dominio del tiempo) y la función de transferencia:
\[\frac{1}{i2\pi f}\frac{1}{1+i2\pi fRC}\leftrightarrow \left ( 1-e^{-\frac{t}{RC}} \right )u(t) \nonumber \]
El término medio en la expresión para Y (f) consiste en la diferencia de dos términos: la constante 1 y la exponencial compleja\[e^{-(i2\pi f\Delta )} \nonumber \]
Debido a la linealidad de la transformada de Fourier, simplemente restamos los resultados.
\[Y(f)\leftrightarrow \left ( 1-e^{-\frac{t}{RC}} \right )u(t)-\left ( 1-e^{-\frac{t-\Delta }{RC}} \right )u(t-\Delta ) \nonumber \]
Tenga en cuenta que al retrasar la señal cómo incluimos cuidadosamente el paso de la unidad. El segundo término en este resultado no comienza hasta t = Δ. Así, las formas de onda mostradas en el ejemplo de Filtrado de Señales Periódicas mencionado anteriormente son exponenciales. Decimos que la constante de tiempo de una señal que decae exponencialmente es igual al tiempo que tarda en disminuir 1/e de su valor original. Así, la constante de tiempo de las porciones ascendentes y descendentes de la salida es igual al producto de la resistencia y capacitancia del circuito.
Derive la salida del filtro considerando los términos de la ecuación Y (f) anterior en el orden dado. Integrar último en lugar de primero. Deberías obtener la misma respuesta.
Solución
La transformación inversa de la respuesta de frecuencia es\[\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}u(t) \nonumber \]
Multiplicando la respuesta de frecuencia por\[1-e^{-(i2\pi f\Delta )} \nonumber \] medio restar de la señal original su versión retardada en el tiempo. Retrasar la versión de dominio de tiempo de la respuesta de frecuencia por Δ da como resultado\[\frac{1}{RC}e^{-\frac{(t-\Delta) }{RC}}u(t-\Delta ) \nonumber \]
Restar de los rendimientos de la señal no retardada
\[\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}u(t)-\frac{1}{RC}e^{-\frac{(t-\Delta) }{RC}}u(t-\Delta ) \nonumber \]
Ahora integramos esta suma. Debido a que la integral de una suma es igual a la suma de las integrales de componentes (la integración es lineal), podemos considerar cada una por separado. Debido a que la integración y el retardo de señal son lineales, la integral de una señal retardada es igual a la versión retardada de la integral. La integral se proporciona en el ejemplo anterior.
En este ejemplo, utilizamos la tabla extensamente para encontrar la transformada inversa de Fourier, confiando principalmente en lo que\[e^{-(i2\pi f\Delta )} \nonumber \] significó la multiplicación por ciertos factores, como 1/i2πf y. Básicamente tratamos la multiplicación por estos factores como si fueran funciones de transferencia de algún circuito ficticio. La función de transferencia 1/i2πf correspondía a un circuito que integraba, y\[e^{-(i2\pi f\Delta )} \nonumber \] a uno que retrasaba. ¡Incluso interpretamos implícitamente la función de transferencia del circuito como el espectro de la entrada! Este enfoque para encontrar transformaciones inversas —descomponer una expresión complicada en productos y sumas de componentes simples— es la forma del ingeniero de descomponer el problema en varios subproblemas que son mucho más fáciles de resolver y luego unir los resultados. En el camino podemos hacer que el sistema sirva como entrada, pero en la regla
\[Y(f)=X(f)H(f) \nonumber \]
qué término es la entrada y cuál es la función de transferencia es meramente una materia notacional (etiquetamos un factor con una X y el otro con una H).
Funciones de transferencia
La noción de función de transferencia se aplica mucho más allá de los circuitos lineales. Aunque todavía no tenemos todo lo que necesitamos para demostrar el resultado, todos los sistemas lineales invariantes en el tiempo tienen una relación de entrada/salida en el dominio de la frecuencia dada por el producto de la transformada de Fourier de la entrada y la función de transferencia del sistema. Así, los circuitos lineales son un caso especial de sistemas lineales invariables en el tiempo. A medida que abordemos problemas más sofisticados en la transmisión, manipulación y recepción de información, asumiremos sistemas lineales que tienen ciertas propiedades (funciones de transferencia) sin preocuparnos por qué circuito tiene la propiedad deseada. En este punto, puede que le preocupe que este enfoque sea glib, y con razón. Más adelante mostraremos que al involucrar software, realmente no necesitamos preocuparnos por construir una función de transferencia a partir de elementos de circuito y amplificadores operacionales.
Funciones de transferencia conmutativa
Otra noción interesante surge de la propiedad conmutativa de la multiplicación (explotada en el ejemplo anterior). Podemos elegir arbitrariamente un orden en el que aplicar cada producto. Considera una cascada de dos sistemas lineales invariantes en el tiempo. Porque la transformada de Fourier de la salida del primer sistema es:
\[X(f)H_{1}(f) \nonumber \]
y sirve como entrada del segundo sistema, el espectro de salida de la cascada es:
\[X(f)H_{1}(f)H_{2}(f) \nonumber \]
Porque este producto también es igual
\[X(f)H_{2}(f)H_{1}(f) \nonumber \]
la cascada que tiene los sistemas lineales en el orden opuesto produce el mismo resultado. Además, la cascada actúa como un solo sistema lineal, teniendo función de transferencia
\[H_{1}(f)H_{2}(f) \nonumber \]
Este resultado también se aplica a otras configuraciones de sistemas lineales invariantes en el tiempo; vea este Problema de Dominio de Frecuencia. Los ingenieros explotan esta propiedad determinando qué función de transferencia quieren, luego dividiéndola en componentes dispuestos de acuerdo con configuraciones estándar. Usando el hecho de que los circuitos op-amp se pueden conectar en cascada con la función de transferencia igualando el producto de la función de transferencia de su componente (vea este problema de procesamiento de señal analógica), encontramos una forma lista de realizar diseños. Ahora entendemos por qué las implementaciones op-amp de las funciones de transferencia son tan importantes.