7.1: Decibelios

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Objetivos de aprendizaje

Trabajando con amplitud y la escala de decibelios.

La escala de decibelios expresa amplitudes y valores de potencia logarítmicamente. Las definiciones de estos difieren, pero son consistentes entre sí.

\[power(s,\; in\; decibels)=10\log\frac{power(s)}{power(s_{0})} \nonumber \]

\[amplitude(s,\; in\; decibels)=20\log\frac{amplitude(s)}{amplitude(s_{0})} \nonumber \]

Aquí la potencia (s ₀) y la amplitud (s ₀) representan una potencia de referencia y una amplitud, respectivamente. Cuantificar la potencia o amplitud en decibelios significa esencialmente que estamos comparando cantidades con un estándar o que queremos expresar cómo cambiaron. Escuchará declaraciones como “La señal bajó en 3 dB” y “La ganancia del filtro en la banda de parada es -60" (Decibelios se abrevia dB.).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

El prefijo “deci” implica una décima; un decibelio es una décima de una Bel. ¿De quién se nombra esta medida?

Solución

Campana Alexander Graham. Lo desarrolló porque parece que percibimos cantidades físicas como sonoridad y brillo logarítmicamente. Es decir, el porcentaje, no las diferencias absolutas, nos importan. Hoy usamos decibelios porque los valores comunes son enteros pequeños. Si usáramos Bel, serían fracciones decimales, que no son tan elegantes.

La consistencia de estas dos definiciones surge porque la potencia es proporcional al cuadrado de amplitud:

\[power(s)\propto amplitude^{2}(s) \nonumber \]

Conectando esta expresión a la definición de decibelios, encontramos que

\[10\log\frac{power(s)}{power(s_{0})}=10\log\frac{amplitude^{2}(s)}{amplitude^{2}(s_{0})}=20\log\frac{amplitude(s)}{amplitude(s_{0})} \nonumber \]

Debido a esta consistencia, afirmar el cambio relativo en términos de decibelios es inequívoco. ¡Un factor de aumento de 10 en amplitud corresponde a un incremento de 20 dB tanto en amplitud como en potencia!

La tabla que acompaña proporciona valores de decibelios “agradables”. Convertir valores de decibelios de un lado a otro es divertido, y pone a prueba su capacidad para pensar en los valores de decibelios como sumas y/o diferencias de los valores conocidos y de las proporciones como productos y/o cocientes. Esta conversión se apoya en la naturaleza logarítmica de la escala de decibelios. Por ejemplo, para encontrar el valor de decibelios para\[\sqrt{2} \nonumber \] nosotros reducimos a la mitad el valor de decibelios para 2; 26 dB es igual a 10+10+6 dB que corresponde a una relación de 10×10×4=400. Las cantidades de decibelios suman; los valores de relación se multiplic

Una razón por la que los decibelios se usan tanto es la relación entrada-salida en el dominio de la frecuencia para los sistemas lineales:

\[Y(f)=X(f)H(f) \nonumber \]

Debido a que la función de transferencia multiplica el espectro de la señal de entrada, para encontrar la amplitud de salida a una frecuencia dada simplemente agregamos la ganancia del filtro en decibelios (relativa a una referencia de uno) a la amplitud de entrada en esa frecuencia. Este cálculo es una razón por la que trazamos la magnitud de la función de transferencia en una escala vertical logarítmica expresada en decibelios.