7.4: Serie Taylor

Una serie Taylor es una representación de una función en forma de suma infinita. Cada término se calcula a partir del uso de una derivada de la función así como un factorial. La siguiente ecuación es la ecuación definitoria de una serie de Taylor:

\[f(x)=\int(a)-\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\frac{f^{(3)}(a)}{3 !}(x-a)^{3}+\cdots-\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n} \label{eq1} \]

donde\(a\) está el punto, alrededor del cual se define la función.

La aproximación de Taylor es más precisa en\(a\), y se vuelve menos precisa a medida que aumenta la distancia desde a. La siguiente ecuación es la misma que la Ecuación\ ref {eq1} mencionada anteriormente, en notación de suma:

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n} \nonumber \]

Primero consideraremos un ejemplo simple, la función,\(e^x\), definida alrededor del punto, 0:

\[e^{x}=e^{0}+\frac{1}{1 !}(x-0)+\frac{1}{2 !}(x-0)^{2}+\frac{1}{3 !}(x-0)^{3}+\cdots+\frac{1}{n !}(x-0)^{n} \nonumber \]

Los numeradores de cada ecuación son todos 1, porque cualquier nivel derivado de\(e^x\) es\(e^x\), y\(e^x\), definido en 0 es siempre 1. La expansión de Taylor se simplifica a la siguiente ecuación:

\[e^{x}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !} \nonumber \]

También tenga en cuenta que una serie de Taylor centrada alrededor de 0 se llama serie Maclaurin. Además de la serie e ^x Maclaurin, algunas otras series comunes y simplificadas de Maclaurin se enumeran aquí:

\ [\ begin {alinear*}\ cos (x) &=1-\ frac {1} {2!} x^ {2} +\ frac {1} {4!} x^ {4} -\ frac {1} {6!} x^ {6} +\ cdots\\ [4pt]
\ sin (x) &=\ frac {1} {1!} x-\ frac {1} {3!} x^ {3} +\ frac {1} {5!} x^ {5} -\ frac {1} {7!} x^ {7} +\ cdots\\ [4pt]
\ cosh (x) &=1+\ frac {1} {2!} x^ {2} +\ frac {1} {4!} x^ {4} +\ frac {1} {6!} x^ {6} +\ cdots\\ [4pt]
\ sinh (x) &=\ frac {1} {1!} x+\ frac {1} {3!} x^ {3} +\ frac {1} {5!} x^ {5} +\ frac {1} {7!} x^ {7} +\ cdots\\ [4pt]
\ frac {1} {1-x} &=1+x+x^ {2} +x^ {3} +\ cdots+x^ {n}\\ [4pt]
\ ln (1+x) & =x-\ frac {1} {2} x^ {2} +\ frac {1} {3} x^ {3} -\ frac {1} {4} x^ {4} +\ cdots+\ frac {(-1) ^ {n+1}} {n} x^ {n}\ end {align*}\ nonumber\]

Estas series de Maclaurin se pueden modificar para convertirse en series de Taylor cuando la ecuación no se centra alrededor de cero.

La expansión de funciones usando la serie Taylor puede ser útil en derivaciones. La serie Maclaurin será útil para cuando la función se aproxime para valores pequeños de x. El uso de un número infinito de términos generalmente es innecesario para modelar la función alrededor del punto central. Los primeros términos de una serie de Taylor o Maclaurin suelen aproximarse suficientemente a la función.

Una discusión estimulante de la serie Taylor se puede encontrar en “Calcul pratique des coeficientes de Taylor d'une fonction algébrique” de Comtet (Enseign. Math. 10, 267-270, 1964) así como el emblemático tratado de Whittaker y Watson, “Formas del resto en la serie de Taylor”. encontrado en Un curso de análisis moderno, 4a ed.