5.5: Átomos, moléculas y materiales

Con nuestro creciente repertorio de análisis dimensionales, podemos explorar cada vez más el mundo. Quizás la propiedad más fundamental del mundo es que está compuesto por átomos. Feynman argumentó a favor de la importancia de la teoría atómica en sus famosas conferencias sobre física [14, Vol. 1, p. 1-2]:

Si en algún cataclismo se destruyera todo el conocimiento científico, y sólo se pasara una frase a la siguiente generación de criaturas, ¿qué afirmación contendría más información en la menor cantidad de palabras? Creo que es la hipótesis atómica (o el hecho atómico, o como quieras llamarlo) que todas las cosas están hechas de átomos, pequeñas partículas que se mueven en movimiento perpetuo, atrayéndose entre sí cuando están a poca distancia, pero repeliendo al ser apretadas el uno en el otro. En esa frase, verás, hay una enorme cantidad de información sobre el mundo... [énfasis en el original]

La teoría atómica fue declarada por primera vez hace más de 2000 años por el antiguo filósofo griego Demócrito. Usando la mecánica cuántica, podemos predecir las propiedades de los átomos con gran detalle, pero el análisis involucra matemáticas complicadas que entierran las ideas centrales. Mediante el análisis dimensional, podemos mantener las ideas centrales a la vista.

5.5.1 Análisis dimensional del hidrógeno

Estudiaremos el átomo más simple: el hidrógeno. El análisis dimensional explicará su tamaño, y su tamaño a su vez explicará el tamaño de átomos y moléculas más complejos. El análisis dimensional también nos ayudará a estimar la energía necesaria para desmontar un átomo de hidrógeno. Esta energía a su vez explicará las energías de enlace en las moléculas. Estas energías explicarán la rigidez de los materiales, la velocidad del sonido y el contenido energético de la grasa y el azúcar, ¡todo a partir del hidrógeno!

En el análisis dimensional del tamaño del hidrógeno, el paso cero es darle un nombre al tamaño. El nombre y símbolo habituales para el radio de hidrógeno es el radio de Bohr a ₀.

El primer paso es encontrar las cantidades que determinan el tamaño. Esa determinación requiere un modelo físico de hidrógeno. Un modelo simple es un electrón que orbita un protón a una distancia a ₀. Su atracción electrostática proporciona la fuerza F que mantiene el electrón en órbita:

\[F = \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{1}{a^{2}_{0}},\]

donde e es la carga de electrones. Nuestra lista de cantidades debe incluir las cantidades en esta ecuación; de esa manera, enseñamos análisis dimensional sobre qué tipo de fuerza mantiene unido al átomo. Así, de alguna manera debemos incluir e y\(\epsilon_{0}\). Como cuando estimamos la potencia irradiada por una carga acelerante (Sección 5.4.3), incluiremos e y\(\epsilon_{0}\) como una cantidad,\(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0}\).

La fuerza sobre el electrón no determina por sí misma el movimiento del electrón. Más bien, el movimiento está determinado por su aceleración. El cálculo de la aceleración a partir de la fuerza requiere la masa de electrones m _e, por lo que nuestra lista debe incluir m _e.

\(a_{0}\)	L	tamaño
\ (a_ {0}\) ">\(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0}\)	ML ^3 T ^-2	electrostáticos
\ (a_ {0}\) ">\(m_{e}\)	M	masa de electrones

Estas tres cantidades hechas de tres dimensiones independientes producen cero grupos adimensionales (otra aplicación del teorema de Buckingham Pi introducida en la Sección 5.1.2). Sin ningún grupo adimensional, no podemos decir nada sobre el tamaño del hidrógeno. La falta de un grupo adimensional nos dice que nuestro modelo simple de hidrógeno es demasiado simple.

Hay dos posibles resoluciones, cada una involucrando nueva física que agrega una nueva cantidad a la lista. La primera posibilidad es agregar relatividad especial agregando la velocidad de la luz c. Esa elección produce un grupo adimensional y por lo tanto un tamaño. Sin embargo, este tamaño no tiene nada que ver con el hidrógeno. Más bien, es del tamaño de un electrón, considerándolo como una nube de carga (Problema 5.37).

El otro problema con este enfoque es que la radiación electromagnética viaja a la velocidad de la luz, por lo que una vez que la lista incluye la velocidad de la luz, el electrón podría irradiar. Como encontramos en la Sección 5.4.3, la potencia irradiada por una carga acelerante es

\[P \sim \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{a^{2}}{c^{3}}.\]

Un electrón en órbita es un electrón acelerante (acelerando hacia adentro con la aceleración circular\(a = v^{2}/a_{0}\)), por lo que el electrón irradiaría. La radiación arrastraría la energía del electrón, el electrón entraría en espiral hacia el protón, y el hidrógeno no existiría, ni ningún otro átomo. Así que sumar la velocidad de la luz solo agraria nuestro problema.

La segunda resolución es en cambio agregar mecánica cuántica. Su ecuación fundamental es la ecuación de Schrödinger:

\[(-\frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla^{2} + V) \psi = E \psi.\]

La mayoría de los símbolos en esta ecuación parcial-diferencial no son importantes para el análisis dimensional; este desprecio es cómo el análisis dimensional simplifica los problemas. Para el análisis dimensional, el punto crucial es que la ecuación de Schrödinger contiene una nueva constante de la naturaleza:\(\hbar\), que es la constante de Planck h dividida por\(2 \pi\). Podemos incluir la mecánica cuántica en nuestro modelo de hidrógeno simplemente incluyendo\(\hbar\) en nuestra lista de cantidades relevantes. De esa manera, enseñamos análisis dimensional sobre mecánica cuántica.

La nueva cantidad\(\hbar\) es un momento angular, que es una longitud (el brazo de palanca) multiplicado por el impulso lineal (mv). Por lo tanto, sus dimensiones son

\[\underbrace{L}_{[r]} \times \underbrace{M}_{[m]} \times \underbrace{LT^{-1}}_{[v]} = ML^{2}T^{-1}.\]

El\(\hbar\) podría ahorrar hidrógeno. Aporta una cuarta cantidad sin una cuarta dimensión independiente. Por lo tanto, crea un grupo adimensional independiente.

\(a_{0}\)	L	tamaño
\ (a_ {0}\) ">\(e^{2}/4\pi \epsilon_{0}\)	ML ^3 T ^-2	lío electrostático
\ (a_ {0}\) ">\(m_{e}\)	M	masa de electrones
\ (a_ {0}\) ">\(\hbar\)	ML ^2 T ^-1	cuántico

Para encontrarlo, busque una dimensión que aparezca en sólo dos cantidades. El tiempo aparece en\(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0}\) como\(T^{-2}\) y en\(\hbar\) como\(T^{-1}\). Por lo tanto, el grupo contiene el cociente\(\hbar^{2}/(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0})\). Sus dimensiones son ML, que se pueden cancelar dividiendo por\(m_{e}a_{0}\). El grupo adimensional resultante es

\[\frac{\hbar^{2}}{m_{e}a_{0}(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0})}.\]

Como único grupo adimensional independiente, debe ser una constante adimensional. Por lo tanto, el tamaño (como el radio) del hidrógeno viene dado por

\[a_{0} \sim \frac{\hbar^{2}}{m_{e}(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0})}.\]

Ahora vamos a enchufar las constantes. Podríamos simplemente mirar hacia arriba cada constante, pero ese enfoque da latigazo exponente; los poderes de diez se balancean hacia arriba y hacia abajo y terminan en un valor aparentemente aleatorio. Para obtener información, usaremos los números para los dorsos de los sobres (p. xvii). Esa tabla deliberadamente no tiene entrada para\(\hbar\) por sí misma, ni para la masa de electrones m _e. Ambas omisiones pueden resolverse con una operación de simetría (Problema 5.35).

Problema 5.35 Atajos para cálculos atómicos

Muchos problemas atómicos, como el tamaño o la energía de unión del hidrógeno, terminan en expresiones con\(\hbar\), la masa de electrones m _e, y\(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0}\). Puede evitar recordar esas constantes recordando en su lugar los siguientes valores:

\[\hbar c \approx 200 eV nm = 2000 eV \mathring{A} \]

\[m_{e}c^{2} \sim 0.5 \times 10^{6} eV \: \textrm{(the electron rest energy)}\]

\[\frac{e^{2}/4 \pi \epsilon_{0}}{\hbar c} \equiv \alpha \approx 1/137 \: \textrm{(the fine-structure constant)}.\]

Usa estos valores y análisis dimensional para encontrar la energía de un fotón de luz verde (que tiene una longitud de onda de aproximadamente 0.5 micrómetros), expresando tu respuesta en electrón voltios.

En nuestra expresión para el radio Bohr,\(\hbar^{2}/m_{e}(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0})\), podemos reemplazar\(\hbar\) con\(\hbar c\) y m _e con\(m_{e}c^{2}\) simultáneamente: Multiplicar por 1 en la forma\(c^{2}/c^{2}\); es una operación de simetría conveniente.

\[a_{0} \sim \frac{\hbar^{2}}{m_{e}(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0})} \times \frac{c^{2}}{c^{2}} = \frac{(\hbar c)^{2}}{m_{e}c^{2}(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0})}.\]

Ahora la tabla proporciona los valores necesarios: for\(\hbar c\),\(m_{e}c^{2}\), y\(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0}\). Sin embargo, podemos hacer una simplificación más porque el desorden electrostático\(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0}\) está relacionado con una constante adimensional. Para ver la relación, multiplicar y dividir por\(\hbar c\):

\[\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} = \underbrace{(\frac{e^{2}/4\pi \epsilon_{0}}{\hbar c})}_{\alpha} \hbar c.\]

El factor entre paréntesis se conoce como la constante de estructura fina\(\alpha\); es una medida adimensional de la fuerza de la electrostática, y su valor numérico es cercano a 1/137 o aproximadamente 0.7 ×10 ⁻². Entonces

\[\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} = \alpha \hbar c.\]

Esta sustitución simplifica aún más el tamaño del hidrógeno:

\[a_{0} \sim \frac{(\hbar c)^{2}}{m_{e}c^{2} \times e^{2}/4 \pi \epsilon_{0}} = \frac{(\hbar c)^{2}}{m_{e}c^{2} \times \alpha \hbar c} = \frac{\hbar c}{\alpha \times m_{e}c^{2}}.\]

Sólo ahora, habiendo simplificado el cálculo hasta abstracciones dignas de recordar (\(\alpha\)\(m_{e}c^{2}\),, y\(\hbar c\)), enchufamos las entradas de la tabla.

\[a_{0} \sim \frac{\overbrace{200 eV nm}^{\hbar c}}{\underbrace{0.7 \times 10^{-2}}_{\alpha} \times \underbrace{5 \times 10^{5} eV}_{m_{e}c^{2}}}.\]

Este cálculo lo podemos hacer mentalmente. Las unidades de electrón voltios cancelan, dejando solo nanómetros (nm). Las dos potencias de diez arriba (en el numerador) y las tres potencias de diez abajo (en el denominador) dan como resultado 10 ⁻¹ nanómetros o 1 ångström (10 ⁻¹⁰ metros). Los factores restantes resultan en un factor de 1/2:2/ (0.7 × 5) ≈ 1/2.

Por lo tanto, el tamaño del hidrógeno, el radio de Bohr, es de aproximadamente 0.5 ångströms:

\[a_{0} \sim 0.5 \times 10^{-10} m = 0.5 \mathring{A}.\]

Sorprendentemente, el prefactor adimensional que falta es 1. Por lo tanto, los átomos son del tamaño de ångström. De hecho, el hidrógeno es de 1 ångström de diámetro. Todos los demás átomos, que tienen más electrones y por lo tanto más conchas de electrones, son más grandes. Una regla general útil es que un diámetro atómico típico es de 3 ångströms.

¿Qué energía de unión produce este tamaño?

La energía de unión es la energía requerida para desmontar el átomo quitando el electrón y arrastrándolo hasta el infinito. Esta energía, denotada E ₀, debe ser aproximadamente la energía electrostática de un protón y un electrón separados por el radio de Bohr a ₀:

\[E_{0} \sim \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{a_{0}}.\]

Con nuestro resultado para un ₀, la energía de unión se convierte en

\[E_{0} \sim m_{e} (\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}})^{2} \frac{1}{\hbar^{2}}.\]

El prefactor adimensional que falta es solo 1/2:

\[E_{0} = \frac{1}{2} m_{e} (\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}})^{2} \frac{1}{\hbar^{2}}.\]

Problema 5.36 Atajo para calcular la energía de unión del hidrógeno

Utilice los atajos del Problema 5.35 para mostrar que la energía de unión del hidrógeno es aproximadamente de 14 electrón voltios. A partir de su expresión simbólica para la energía, que es también la energía cinética del electrón, estime su velocidad como una fracción de c.

En el Problema 5.36, mostraste, usando los valores de\(\hbar c\),\(m_{e}c^{2}\), y\(\alpha\), que esta energía es aproximadamente de 14 electrón voltios. Por el bien de un número redondo, llamemos a la energía de enlace aproximadamente 10 electrón voltios.

Esta energía establece la escala para los enlaces químicos. En la Sección 3.2.1, calculamos, por conversión unitaria, que 1 electrón voltio por molécula correspondía aproximadamente a 100 kilojulios por mol. Por lo tanto, romper un enlace químico requiere aproximadamente 1 megajulio por mol (de enlaces). Como estimación aproximada, no está muy lejos. Por ejemplo, si la molécula consiste en unos pocos átomos relacionados con la vida (carbono, oxígeno e hidrógeno), entonces la masa molar es de aproximadamente 50 gramos, una pequeña rosquilla de gelatina. Por lo tanto, quemar una rosquilla de gelatina, como lo hace nuestro cuerpo lentamente cuando comemos la rosquilla, debería producir aproximadamente 1 megajulio, una regla empírica útil y una forma de imaginar un megajulio.

Problema 5.37: Sumando la velocidad de la luz

Si asumimos que un ₀ depende de\(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0}\), m _e y c, ¿qué tamaño predeciría el análisis dimensional para el hidrógeno? Este tamaño se llama el radio electrónico clásico y se denota r ₀. ¿Cómo se compara con el radio real de Bohr?

Problema 5.38: Expansión térmica

Estimar un coeficiente típico de expansión térmica, también denotado\(\alpha\). Se define como

\[\alpha \equiv \frac{\textrm{fractional change in a substance's length}}{\textrm{change in temperature}}.\]

El coeficiente de expansión térmica depende de la energía de unión E ₀. Suponiendo E ₀ ~ 10 eV, compare su estimación\(\alpha\) con su valor para sustancias cotidianas.

Provlem 5.39: Difracción en el ojo

La luz que pasa a través de una abertura, como una abertura del telescopio o la pupila en el ojo, se difracta (se extiende). Al estimar el ángulo de difracción\(\theta\), podremos comprender aspectos del diseño del ojo.

a. ¿Cuáles son las relaciones adimensionales válidas que conectan el ángulo de difracción\(\theta\), la longitud de onda\(\lambda\) de la luz y el diámetro de la pupila D?

b. La difracción es el resultado de que los fotones en el haz adquieren un impulso vertical\(\Delta p_{y}\). ¿En qué se encuentra el exponente de\(\beta\) escalado\(\theta \: \alpha \: (\Delta p_{y})^{\beta}\)?

c. El principio de incertidumbre de Heisenberg a partir de la mecánica cuántica dice que la incertidumbre en el momento vertical del fotón\(\Delta p_{y}\) es inversamente proporcional al diámetro de la pupila D. ¿En qué consiste, pues, el exponente de\(\gamma\) escalado\(\theta \: \alpha \: D^{\gamma}\)?

d. Por lo tanto\(\theta\), encontrar en función de\(\lambda\) y D.

e. Estimar el diámetro de la pupila y el ángulo de difracción resultante. Las células sensibles a la luz en la retina que utilizamos en luz brillante son los conos. Son más densos en la fovea, la región central de la retina que utilizamos para la lectura y cualquier otra tarea que requiera visión aguda. En esa ubicación, su densidad es aproximadamente 0.5×10 ⁷ por centímetro cuadrado. ¿Eso es lo que predecirías?

Problema 5.40: Tercera ley de Kepler para leyes de fuerza no cuadrada inversa

Con una fuerza de cuadrado inverso, la tercera ley de Kepler, la relación entre el radio de órbita y el período, es\(T \: \propto \: r^{3/2}\) (Sección 4.2.2). Ahora generalizar la ley a fuerzas de la forma\(F \: \propto \: r^{n}\), utilizando el análisis dimensional para encontrar el exponente de escala\(\beta\) en el periodo\(T \: \propto \: r^{\beta}\) orbital en función del exponente de escalado n en la ley de fuerza.

Problema 5.41: Energía de estado fundamental para potenciales generales

Así como podemos aplicar el análisis dimensional a órbitas clásicas (Problema 5.40), podemos aplicarlo a órbitas cuánticas. Cuando la ley de fuerza es\(F \: \propto \: r^{-2}\) (electrostática), o el potencial lo es\(V \: \propto \: r^{-1}\), tenemos hidrógeno, para lo cual estimamos la energía vinculante o de estado fundamental. Ahora generalizar a potenciales donde\(V = Cr^{\beta}\).

Las cantidades relevantes son la energía del estado fundamental E ₀, la constante de proporcionalidad C en el potencial, la constante\(\hbar\) cuántica y la masa de la partícula m. Estas cuatro cantidades, construidas a partir de tres dimensiones, forman un grupo adimensional independiente. Pero no es fácil de encontrar. Por lo tanto, utilizar álgebra lineal para encontrar los exponentes\(\gamma\),\(\delta\), y\(\epsilon\) que hacen\(E_{0}C^{\gamma}\hbar^{\delta}m^{\epsilon}\) adimensional. En el caso\(\beta = -1\) (electrostática), comprueba que tu resultado coincida con nuestro resultado para hidrógeno.

5.5.2 Radiación de cuerpo negro

Con la mecánica cuántica y su nueva constante\(\hbar\), podemos explicar las temperaturas superficiales de los planetas o incluso de las estrellas. La base es la radiación de cuerpo negro: un objeto caliente, el llamado cuerpo negro, irradia energía. (Aquí, “caliente” significa más cálido que el cero absoluto, así que cada objeto está caliente). Los objetos más calientes irradian más, por lo que el flujo de energía radiada F depende de la temperatura T del objeto.

¿Cómo se\(T\) conectan el flujo de energía\(F\) y la temperatura de la superficie?

Declaré la conexión en la Sección 4.2, pero ahora conocemos el análisis dimensional suficiente para derivar casi todo el resultado sin un estudio detallado de la teoría cuántica de la radiación. Así, sigamos los pasos del análisis dimensional para encontrar F, y comencemos enumerando las cantidades relevantes.

La lista comienza con el objetivo, el flujo de energía F. La radiación de cuerpo negro se puede entender adecuadamente a través de la teoría cuántica de la radiación, que es el matrimonio de la mecánica cuántica con la electrodinámica clásica. (Un diagrama de la conexión, que requiere la herramienta posterior de cajas fáciles, se encuentra en la Sección 8.4.2.) Para los fines del análisis dimensional, esta teoría suministra dos constantes de la naturaleza:\(\hbar\) de la mecánica cuántica y la velocidad de la luz c de la electrodinámica clásica. La lista también incluye la temperatura T del objeto, de manera que el análisis dimensional sepa qué tan caliente está el objeto; pero lo incluiremos como la energía térmica\(k_{B}T\).

Las cuatro cantidades construidas a partir de tres dimensiones independientes producen un grupo adimensional independiente. Nuestra ruta habitual para encontrar este grupo, al buscar dimensiones que aparecen solo en una o dos variables, falla porque la masa, como la longitud, aparece en tres cantidades, y el tiempo aparece en las cuatro. Una alternativa es aplicar álgebra lineal, como practicaste en Problema 5.41. Pero es desordenado.

Una alternativa menos fuerza bruta y más significativa físicamente es elegir un sistema de unidades donde\(c \equiv 1\) y\(\hbar \equiv 1\). Cada una de estas dos opciones tiene un significado físico. Antes de usar las opciones, vale la pena entender estos significados. De lo contrario, volvemos a empujar símbolos alrededor.

La primera opción,\(c \equiv 1\), expresa la unidad del espacio y el tiempo incrustada y encarnada en la teoría de la relatividad especial de Einstein. Con\(c \equiv 1\), longitud y tiempo tienen las mismas dimensiones y se miden en las mismas unidades. Entonces podemos decir que el Sol está a 8.3 minutos de la Tierra. Ese tiempo equivale a la distancia de 8.3 minutos luz (la distancia que recorre la luz en 8.3 minutos).

La elección\(c \equiv 1\) también expresa la equivalencia entre masa y energía. Usamos esta elección implícitamente cuando decimos que la masa de un electrón es de 5 × 10 ⁵ voltios de electrones, que es una energía. El enunciado completo es que, en las unidades habituales, la energía de reposo del electrón\(m_{e}c^{2}\) es de 5 × 10 ⁵ electrón voltios. Pero cuando elegimos\(c \equiv 1\), entonces 5×10 ⁵ electrón voltios es también la masa m _e.

La segunda opción,\(\hbar \equiv 1\), expresa la visión fundamental de la mecánica cuántica, que la energía es la frecuencia (angular). La conexión completa entre energía y frecuencia es

\[E = \hbar \omega\]

Cuando\(\hbar \equiv 1 \), entonces E es\(\omega\).

Estas dos opciones unitarias incorporan implícitamente sus significados físicos en nuestro análisis. Además, las elecciones simplifican así nuestra tabla de dimensiones que podemos encontrar la proporcionalidad entre flujo y temperatura sin ningún álgebra lineal.

Primero, elegir\(c \equiv 1\) hace que las dimensiones de longitud y tiempo sean equivalentes:

\[c \equiv 1 \: \textrm{implies} \: L \equiv T.\]

Así, en la tabla podemos sustituir T por L.

Luego agregar la elección\(\hbar \equiv 1\) contribuye a la ecuación dimensional

\[\underbrace{ML^{2}T^{-2}}_{[E]} \equiv \underbrace{T^{-1}}_{[\omega]}\]

Parece un desastre inútil; sin embargo, reemplazar T por L (from\(c \equiv 1\)) lo simplifica:

\[M \equiv L^{-1}.\]

En resumen, establece\(c \equiv 1\) y\(\hbar \equiv 1\) hace que las dimensiones de longitud y tiempo sean equivalentes y hace que las dimensiones de masa y longitud inversa sean equivalentes.

Con estas equivalencias, reescribamos la tabla de dimensiones, una cantidad a la vez.

1. Flujo F. Sus dimensiones, en el sistema habitual, fueron MT ⁻³. En el nuevo sistema, T ⁻³ es equivalente a M ³, por lo que las dimensiones del flujo se convierten en M ⁴.

2. Energía térmica\(k_{B}T\). Sus dimensiones fueron ML ² T ⁻². En el nuevo sistema, T ⁻² es equivalente a L ⁻², por lo que las dimensiones de la energía térmica se convierten en M. Y deberían: Elegir\(c \equiv 1\) hace que la energía sea equivalente a la masa.

3. Constante cuántica\(\hbar\). Por fiat (cuando elegimos\(\hbar \equiv 1\)), ahora es adimensional y apenas 1, así que no lo enumeramos.

4. Velocidad de la luz c. También por fiat, c es solo 1, así que tampoco lo enumeramos

Nuestra lista se ha vuelto más corta y las dimensiones en ella son más simples. En el sistema habitual, la lista tenía cuatro cantidades (F\(k_{B}T\),\(\hbar\), y c) y tres dimensiones independientes (M, L y T). Ahora la lista tiene sólo dos cantidades (F y k _B T) y sólo una dimensión independiente (M). En ambos sistemas, sólo hay un grupo adimensional.

F	M ^4	flujo de energía
k B T	M	energía térmica

En el sistema habitual, el cálculo de Buckingham Pi es el siguiente:

4 Cantidades

- 3 dimensiones independientes

___________________________

1 grupo adimensional independiente

En el nuevo sistema, el cálculo es

2 Cantidades

- 1 dimensión independiente

_____________________________

1 grupo adimensional independiente

(Si el número de grupos adimensionales independientes no hubiera sido el mismo, sabríamos que habíamos cometido un error al convertirnos al nuevo sistema). En el sistema más simple, el grupo adimensional independiente proporcional a F es ahora casi obvio. Debido a que F contiene M ⁴ y k _B T contiene M ¹, el grupo es justo\(F/(k_{B}T)^{4}\).

Ay, ningún almuerzo es gratis y ninguna buena acción queda impune. Ahora pagamos el precio por la sencillez: Tenemos que restaurar c y\(\hbar\) para encontrar el grupo equivalente en el sistema habitual de unidades. Afortunadamente, la restauración no requiere ningún álgebra lineal.

El primer paso es calcular las dimensiones habituales de\(F/(k_{B}T)^{4}\):

\[[\frac{F}{(k_{B}T)^{4}}] = \frac{MT^{-3}}{(ML^{2}T^{-2})^{4}} = M^{-3}L^{-8}T^{-5}.\]

El resto del análisis para hacer este cociente adimensional solo rueda cuesta abajo sin nuestra necesidad de tomar ninguna decisión. La única manera de deshacerse de M ⁻³ es multiplicar por\(\hbar^{3}\): Solo\(\hbar\) contiene una dimensión de masa.

El resultado tiene dimensiones L ⁻² T ²:

\[[\frac{F}{(k_{B}T)^{4}}\hbar^{3}] = \underbrace{M^{-3}L^{-8}T^{-5}}_{[F/(k_{B}T)^{4}]} \times \underbrace{(ML^{2}T^{-1})^{3}}_{[\hbar]} = L^{-2}T^{2}.\]

Para despejar estas dimensiones, multiplicar por c ². Por lo tanto, el grupo adimensional independiente proporcional a F es

\[\frac{F \hbar^{3}c^{2}}{(k_{B}T)^{4}}.\]

Como único grupo adimensional independiente, es una constante, por lo que

\[F \sim \frac{(k_{B}T)^{4}}{\hbar^{3}c^{2}}.\]

Incluyendo el prefactor adimensional oculto en el twiddle (~),

\[F = \underbrace{\frac{\pi^{2}}{60} \frac{k_{B}^{4}}{\hbar^{3}c^{2}}}_{\sigma} T^{4}.\]

Este resultado es la ley Stefan—Boltzmann, y todas las constantes se agrupan en\(\sigma\), la constante Stefan—Boltzmann:

\[\sigma \equiv \frac{\pi^{2}}{60} \frac{k_{B}^{4}}{\hbar^{3}c^{2}}.\]

En la Sección 4.2.1, se utilizó el exponente de escala en la ley Stefan—Boltzmann para estimar la temperatura superficial de Plutón: Partimos de la temperatura superficial de la Tierra y utilizamos razonamiento proporcional. Ahora que conocemos la ley completa de Stefan—Boltzmann, podemos calcular directamente una temperatura superficial. En el Problema 5.43, estimarás la temperatura superficial de la Tierra (y luego tratarás de explicar la discrepancia que salva vidas entre la predicción y la realidad). Aquí, calcularemos la temperatura superficial del Sol usando la ley Stefan—Boltzmann, el flujo solar en la parte superior de la atmósfera terrestre y el razonamiento proporcional.

Trabajemos hacia atrás desde nuestra meta hacia lo que sabemos. Nos gustaría encontrar la temperatura superficial del Sol T _Sol. Si conociéramos el flujo de energía F _Sol en la superficie del Sol, entonces la ley Stefan—Boltzmann nos daría la temperatura:

\[T_{Sun} = (\frac{F_{Sun}}{\sigma})^{1/4}.\]

Podemos encontrar F _Sol desde el flujo solar F en la órbita de la Tierra usando razonamiento proporcional. El flujo, como argumentamos en la Sección 4.2.1, es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado, porque el mismo flujo de energía (una potencia) se mancha sobre una superficie proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente. Por lo tanto,

\[\frac{F_{\textrm{Sun's surface}}}{F} = (\frac{r_{\textrm{Earth's orbit}}}{R_{\textrm{Sun}}})^{2},\]

donde R _Sol es el radio del Sol. Una relación de distancia relacionada es

\[\frac{D_{Sun}}{r_{\textrm{Earth's orbit}}} = \frac{2R_{Sun}}{r_{\textrm{Earth's orbit}}},\]

donde D _Sol es el diámetro del Sol. Esta relación es el diámetro angular del Sol, denotado\(\theta_{Sun}\). Por lo tanto,

\[\frac{r_{\textrm{Earth's orbit}}}{R_{Sun}} = \frac{2}{\theta_{Sun}}.\]

A partir de un experimento doméstico que mide el diámetro angular de la Luna, que tiene el mismo diámetro angular que el Sol, o de la tabla de constantes, el diámetro angular\(\theta_{Sun}\) es de aproximadamente 10 ⁻². Por lo tanto, la relación de distancia es aproximadamente 200, y la relación de flujo es aproximadamente 2002 o 4×10 ⁴.

Continuando desenrollando la cadena de razonamiento, obtenemos el flujo en la superficie del Sol:

\[F_{\textrm{Sun's surface}} \approx 4 \times 10^{4} \times \underbrace{1300 W m^{-2}}{F} \approx 5 \times 10^{7} W m^{-2}.\]

Este flujo, de la ley Stefan—Boltzmann, corresponde a una temperatura superficial de aproximadamente 5400 K

\[T_{Sun} \approx (\frac{5 \times 10^{7}Wm^{-2}}{6 \times 10^{-8}Wm^{-2}K^{-4}})^{1/4} \approx 5400K.\]

Esta predicción es bastante cercana a la temperatura medida de 5800 K.

Problema 5.42: Rehacer el análisis de radiación de cuerpo negro usando álgebra lineal

Usa álgebra lineal para encontrar los exponentes y, z y w que hacen que la combinación sea\(F \times (k_{B}T)^{y}\hbar^{z}c^{w}\) adimensional.

Problema 5.43: Temperatura del cuerpo negro de la Tierra

Utilice la ley Stefan—Boltzmann\(F = \sigma T^{4}\) para predecir la temperatura superficial de la Tierra. Tu predicción debería ser algo más fría que la realidad. ¿Cómo se explica la diferencia (salvavidas) entre predicción y realidad?

Problema 5.44: Longitudes relacionadas por la constante de estructura fina

Organice estas importantes longitudes de física atómica en orden de tamaño creciente:

a. el radio electrónico clásico (Problema 5.37)\(r_{0} \equiv (e^{2}/4 \pi \epsilon_{0})/m_{e}c^{2}\) (aproximadamente el radio de un electrón si su energía de reposo fuera completamente electrostática).

b. el radio de Bohr a ₀ de la Sección 5.5.1.

c. la longitud\(\lambda\) de onda reducida de un fotón con energía 2 E ₀, donde\(\cancel{\lambda} \equiv \lambda/2\pi\) (análogamente a cómo\(\hbar \equiv h/2 \pi\) o\(f = \omega/2\pi\)) y E ₀ es la energía de unión del hidrógeno. (La energía 2 E ₀, también el valor absoluto de la energía potencial en hidrógeno, se llama Rydberg).

d. la longitud de onda Compton reducida del electrón, definida como\(\hbar/m_{e}c\).

Coloque las longitudes en una escala logarítmica y etiquete los huecos (las proporciones de longitudes sucesivas) en términos de la constante de estructura fina\(\alpha\).

5.5.3 Energías de unión molecular

Estudiamos el hidrógeno, que como elemento apenas existe en la Tierra, principalmente para entender los enlaces químicos. Los enlaces químicos están formados por atracciones entre electrones y protones, por lo que el átomo de hidrógeno es el enlace químico más simple. El principal defecto de este modelo es que el enlace electron-protón en un átomo de hidrógeno es mucho más corto que en la mayoría de los enlaces. Un enlace químico típico es aproximadamente 1.5 ångströms, tres veces más grande que el radio de Bohr. Debido a que la energía electrostática escala como\(E \: \alpha \: 1/r\), una energía de enlace típica debe ser menor que la energía de unión de hidrógeno en un factor de 3. La energía de unión del hidrógeno es aproximadamente de 14 electrón voltios, por lo que E _{b ond} es aproximadamente 4 voltios de electrones, de acuerdo con los valores de energía de enlace tabulados en la Sección 2.1.

Otro enlace importante es el enlace de hidrógeno. Estos enlaces intermoleculares, que mantienen unidas las moléculas de agua, son más débiles que los enlaces intramoleculares de hidrógeno-oxígeno dentro de una molécula de agua. Pero los enlaces de hidrógeno determinan importantes propiedades del líquido más importante de nuestro planeta. Por ejemplo, la energía de enlace de hidrógeno determina el calor de vaporización del agua, lo que determina gran parte de nuestro clima, incluida la precipitación promedio en la Tierra (como encontramos en la Sección 3.4.3).

Para estimar la fuerza de los enlaces de hidrógeno, utilice la proporcionalidad

\[E_{electrostatic} \alpha \frac{q_{1}q_{2}}{r}.\]

Un enlace de hidrógeno es ligeramente más largo que un enlace típico. En lugar de los típicos 1.5 ångströms, es aproximadamente 2 ångströms. La longitud del enlace está en el denominador, por lo que la mayor longitud reduce la energía de enlace en un factor de 4/3.

Además, las cargas involucradas, q ₁ y q ₂, son menores que las cargas en un enlace intramolecular regular. Un enlace regular es entre un protón completo y un electrón completo de carga. Un enlace de hidrógeno, sin embargo, se encuentra entre el exceso de carga sobre el oxígeno y el déficit de carga correspondiente en hidrógeno. El exceso y el déficit son significativamente menores que una carga completa. En oxígeno el exceso puede ser 0.5 e (donde e es la carga electrónica). En cada hidrógeno, por conservación, sería entonces 0.25 e. Estas reducciones en la carga aportan factores de 1/2 y 1/4 a la energía del enlace de hidrógeno. La energía resultante es aproximadamente 0.4 electrón voltios:

\[4eV \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \approx 0.4 eV.\]

Esta estimación no está mal considerando los números aproximados que utilizó. Empíricamente, un enlace de hidrógeno típico es de 23 kilojulios por mol o aproximadamente 0.25 electrón voltios. Cada molécula de agua forma cerca de cuatro enlaces de hidrógeno (dos del oxígeno a los hidrógenos extraños, y uno de cada hidrógeno a un oxígeno extraño). Así, cada molécula obtiene crédito por casi dos enlaces de hidrógeno, la mitad del total por molécula para evitar contar cada enlace dos veces. Por molécula de agua, el resultado es 0.4 electrón voltios

Debido a que la vaporización del agua rompe los enlaces de hidrógeno, pero no los enlaces intramoleculares, el calor de vaporización del agua debe ser de aproximadamente 0.4 electrón voltios por molécula. En unidades macroscópicas, serían aproximadamente 40 kilojulios por mol, utilizando el factor de conversión de la Sección 3.2.1, que 1 electrón voltio por molécula es aproximadamente 100 kilojulios por mol.

Debido a que la masa molar de agua es 1.8×10 ⁻² kilogramos, el calor de vaporización también es 2.2 megajuolos por kilogramo:

\[\frac{40kJ}{mol} \times \frac{1mol}{1.8 \times 10^{-2} kg} \approx \frac{2.2 \times 10^{6} J}{kg}.\]

Y lo es (p. xvii). Se utilizó este valor en la Sección 3.4.3 para estimar la precipitación promedio mundial. La cantidad de lluvia, y así la velocidad a la que crecen muchas plantas, está determinada por la fuerza de los enlaces de hidrógeno.

Problema 5.45: Energías rotacionales

La constante cuántica\(\hbar\) es también el momento angular más pequeño posible de un sistema giratorio. Use esa información para estimar la energía rotacional de una molécula pequeña como el agua (en electrón-voltios). ¿A qué longitud de onda electromagnética corresponde esta energía, y en qué parte del espectro electromagnético se encuentra (por ejemplo, ondas de radio, rayos ultravioleta, rayos gamma)?

5.5.4 Rigidez y velocidades de sonido

Una consecuencia macroscópica importante de las energías por átomo y por molécula es la existencia de materia sólida: sustancias que resisten la flexión, torsión, compresión y estiramiento. Estas propiedades de resistencia son análogas a las constantes de resorte.

Sin embargo, una constante elástica no es la cantidad a estimar primero, porque no es invariante bajo simples cambios. Por ejemplo, una barra gruesa resiste el estiramiento más que una barra delgada. Del mismo modo, una barra más corta resiste el estiramiento más que una barra más larga. La propiedad independiente de la forma o cantidad de sustancia, invariante a estos cambios, es la rigidez o el módulo elástico. Existen varios módulos elásticos, de los cuales el módulo de Young es el más ampliamente útil. Se define por

\[Y = \frac{\textrm{stress } \sigma \textrm{ applied to the substance}}{\textrm{fractional change in its length } [(\Delta l)(l)]}.\]

La relación en el denominador ocurre tan a menudo que tiene su propio nombre y símbolo: la cepa\(\epsilon\).

La tensión, al igual que la presión de cantidad estrechamente relacionada, es la fuerza por área: Es la fuerza aplicada F dividida por el área de la sección transversal. El denominador, el cambio fraccionario de longitud, es la relación adimensional\((\Delta l)/l\). Así, las dimensiones de la rigidez son las dimensiones de la presión, que también son las dimensiones de la densidad de energía. Para ver la conexión entre la presión y la densidad de energía, multiplique la definición de presión (fuerza por área) por longitud sobre longitud:

\[\textrm{pressure} = \frac{\textrm{force}}{\textrm{area}} \times \frac{\textrm{length}}{\textrm{length}} = \frac{\textrm{energy}}{\textrm{volume}}.\]

Como energía por volumen, podemos estimar un módulo elástico típico Y. _{Para el numerador, una energía adecuada es la energía de unión típica por átomo, la energía E que se requiere para eliminar el átomo de la sustancia rompiendo sus enlaces con los átomos circundantes.} Para el denominador, un volumen adecuado es un volumen atómico típico a ³, donde a es un espaciado interatómico típico (3 ångströms). El resultado es

\[Y \sim \frac{E_{binding}}{a^{3}}.\]

Esta derivación es ligeramente incompleta: Al multiplicar la definición de presión por longitud sobre longitud, solo sabíamos que las dos longitudes tienen las mismas dimensiones, pero no si tienen valores comparables. Si no lo hacen, entonces la estimación para Y necesita un prefactor adimensional, que podría estar lejos de 1. Por lo tanto, antes de estimar Y, confirmemos la estimación usando un segundo método, una analogía, una forma de abstracción que aprendimos en la Sección 2.4.

La analogía, con la que también iniciamos esta discusión de rigidez, es entre una constante de resorte (k) y un módulo de Young (Y). Hay tres cantidades físicas en la analogía.

1. Rigidez. Para un solo resorte, medimos la rigidez usando k. Para un material, utilizamos el módulo Y de Young. Por lo tanto, k e Y son análogos.

2. Prórroga. Para un solo resorte, medimos la extensión usando el cambio absoluto de longitud\(\Delta x\). Para un material, utilizamos el cambio de longitud fraccional\((\Delta l)/l\) (la deformación\(\epsilon\)). Por lo tanto,\(\Delta x\) y\((\Delta l)/l\) son análogos.

3. Energía. Para un solo resorte, medimos la energía usando la energía E directamente. Para un material, utilizamos una cantidad intensiva, la densidad de energía\(\varepsilon \equiv \frac{E}{V}\). Por lo tanto, E y\(\varepsilon\) son análogos.

Porque la energía en una primavera es

\[E \sim k (\Delta x)^{2},\]

por analogía la densidad de energía en un material será

\[\epsilon \sim Y(\frac{\Delta{l}}{l})^{2}.\]

Estimemos Y configurando\(\Delta l \sim l\). Físicamente, esta elección significa estirar o comprimir cada enlace por su propia longitud. Este tratamiento duro es, como suposición razonable, suficiente para romper el enlace y liberar la energía de unión. Entonces el lado derecho se convierte simplemente en el módulo Y de Young.

El lado izquierdo, la densidad de energía, se convierte simplemente en la energía de enlace por volumen. Para el volumen, si usamos el volumen de un átomo, aproximadamente un ³, entonces la energía de enlace contenida en este volumen es la energía de unión de un átomo. Entonces el módulo de Young se convierte

\[Y \sim \frac{E_{binding}}{a^{3}}.\]

Este resultado es lo que predijimos en base a las dimensiones de la presión. Sin embargo, ahora tenemos un modelo físico del módulo de Young, basado en una analogía entre éste y la constante elástica.

Habiendo llegado a esta conclusión desde dimensiones y desde una analogía, vamos a aplicarla para estimar un módulo típico de Young. Para estimar el numerador, la energía de unión, comienza con la energía de enlace típica de 4 electrón voltios por enlace. Con cada átomo está conectado a, digamos, otros cinco o seis átomos, la energía total es aproximadamente de 20 electrón voltios. Debido a que los enlaces son conexiones entre pares de átomos, estos 20 electronvoltios cuentan cada enlace dos veces. Por lo tanto, una energía de unión típica es de 10 electrón voltios por átomo.

Usando un ~ 3 ångströms, una rigidez típica o módulo de Young es

\[Y \sim \frac{E_{binding}}{a^{3}} \sim \frac{10eV}{(3 \times 10^{-10} m)^{3}} \times \frac{1.6 \times 10^{-19}J}{eV} \sim \frac{1}{2} \times 10^{11} J m^{-3}.\]

Para estimaciones muy aproximadas, un valor conveniente para recordar es de 10 ¹¹ julios por metro cúbico. Debido a que la densidad de energía y la presión tienen las mismas dimensiones, esta densidad de energía también es de 10 ¹¹ pascales o 10 ⁶ atmósferas. (Debido a que la presión atmosférica es de solo 1 atmósfera, un factor de 1 millón menor, tiene poco efecto sobre los sólidos).

	Y (10 ^11 Pa)
diamante	12
acero	2
Cu	1.2
Al	0.7
vidrio	0.6
granito	0.3
Pb	0.18
concreto	0.17
roble	0.1
hielo	0.1

Usando una rigidez típica, podemos estimar las velocidades de sonido en sólidos. La velocidad depende no sólo de la rigidez, sino también de la densidad: los materiales más densos responden más lentamente a las fuerzas debidas a la rigidez, por lo que el sonido viaja más lentamente en sustancias más densas. A partir de la rigidez\(Y\) y la densidad\(\rho\), la única manera dimensionalmente correcta de hacer una velocidad es\(\sqrt{Y/\rho}\). Si esta velocidad es la velocidad del sonido, entonces

\[c_{s} \sim \sqrt{\frac{Y}{\rho}}.\]

Basado en un módulo típico de Young de 0.5×10 ¹¹ pascales y una densidad típica de 2.5 × 10 ³ kilogramos por metro cúbico (por ejemplo, roca), una velocidad típica del sonido es de 5 kilómetros por segundo:

\[c_{s} \sim \sqrt{\frac{0.5 \times 10^{11} Pa}{2.5 \times 10^{3} kg m^{-3}}} \approx 5 km s^{-1}.\]

¡Esta predicción es razonable para la mayoría de los sólidos y es exactamente correcta para el acero! Con esta estimación, terminamos nuestro recorrido de análisis dimensional de las propiedades de los materiales. Mira lo que nos ha dado el análisis dimensional, combinado con la analogía y el razonamiento proporcional: el tamaño de los átomos, las energías de los enlaces químicos, la rigidez de los materiales y la velocidad del sonido.