5: Dimensiones
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En 1906, Los Ángeles recibió 540 milímetros de precipitación (lluvia, nieve, aguanieve y granizo).
¿Esta precipitación es grande o pequeña?
Por un lado, 540 es un número grande, por lo que la precipitación es grande. Por otro lado, la precipitación también es de 0.00054 kilómetros, y 0.00054 es un número minúsculo, por lo que la precipitación es pequeña. Estos argumentos se contradicen entre sí, por lo que al menos uno debe estar equivocado. Aquí, ambas son tonterías.
Un argumento válido proviene de una comparación significativa, por ejemplo, comparando 540 milímetros por año con la lluvia promedio mundial, que estimamos en la Sección 3.4.3 como 1 metro por año. En comparación con esta precipitación, Los Ángeles en 1906 fue seca. Otra comparación significativa es con la precipitación promedio en Los Ángeles, que es de aproximadamente 350 milímetros al año. En comparación, 1906 fue un año húmedo en Los Ángeles.
En los argumentos sin sentido, cambiar las unidades de longitud cambió el resultado de la comparación. En contraste, las comparaciones significativas son independientes del sistema de unidades: No importa qué unidades seleccionemos por longitud y tiempo, la relación de lluvias no cambia. En el lenguaje de la simetría, que conocimos en el Capítulo 3, cambiar unidades es la operación de simetría, y las comparaciones significativas son las invariantes. Son invariantes porque no tienen dimensiones. Cuando haya cambio, busque lo que no cambia: Haga solo comparaciones adimensionales.
Este criterio es necesario para evitar tonterías; sin embargo, no es suficiente. Para ilustrar la dificultad, comparemos las precipitaciones con la velocidad orbital de la Tierra. Ambas cantidades tienen dimensiones de velocidad, por lo que su relación es invariante bajo un cambio de unidades. Sin embargo, juzgar la humedad o sequedad de Los Ángeles comparando sus precipitaciones con la velocidad orbital de la Tierra produce tonterías.
Aquí está la moraleja de las comparaciones precedentes. Una cantidad con dimensiones es, por sí misma, carente de sentido. Adquiere sentido sólo cuando se compara con una cantidad relevante que tiene las mismas dimensiones. Este principio subyace a nuestra siguiente herramienta: el análisis dimensional.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Book boxes are heavy
En el Problema 1.1, estimaste la masa de una pequeña caja móvil llena de libros. Modifique su cálculo para utilizar una caja móvil mediana, con un volumen de aproximadamente 0.1 metros cúbicos. ¿Puedes pensar en un (significativo!) comparación para convencer a alguien de que la masa resultante es grande?
Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Making energy consumption meaningful
El consumo de energía anual de Estados Unidos es de aproximadamente 10 20 julios. Sugerir dos comparaciones para que esta cantidad sea significativa. (Busca cualquier cantidad que necesites para hacer la estimación, ¡excepto el consumo de energía en sí!)
Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Making solar power meaningful
En el Problema 3.31, deberías haber encontrado que la energía solar que cae sobre la Tierra es aproximadamente de 10 a 17 vatios. Sugerir una comparación para que esta cantidad sea significativa.
Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Energy consumption by the brain
a. El cerebro humano consume alrededor de 20 vatios, y tiene una masa de 1—2 kilogramos. a. Hacer que el poder sea más significativo estimando la fracción cerebral del consumo de energía del cuerpo:
\[\frac{\textrm{brain power}}{\textrm{basal metabolism}}.\]
b. Hacer que esta fracción sea aún más significativa estimando la proporción
\[\frac{\textrm{the brain's fraction of the body's power consumption}}{\textrm{the brain's fraction of the body's mass}}.\]
Ejercicio\(\PageIndex{5}\): Making oil imports meaningful
En la Sección 1.4, estimamos que Estados Unidos importa aproximadamente 3×10 9 barriles de petróleo al año. Esta cantidad necesita una comparación para que sea significativa. Como una posibilidad, estimar la relación
\[\frac{\textrm{cost of the imported oil}} {\textrm{US military spending to "defend" oil-rich regions}}.\]
Si esta relación es inferior a 1, sugerir por qué el gobierno de Estados Unidos no cancela esa parte del presupuesto militar y utiliza los ahorros para proporcionar a los consumidores estadounidenses petróleo importado gratis.
Exercise \(\PageIndex{6}\): Making the energy in a 9-volt battery meaningful
Using your estimate in Problem 1.11 for the energy in a 9–volt battery, estimate
\[\frac{\textrm{energy content of the battery}}{\textrm{cost of the battery}}.\]
Compare that quotient to the same quotient for electricity from the wall socket.