1.6: Modelos de Variables de Estado

Modelos de Variables de Estado

Los modelos de variables de estado son modelos de dominio de tiempo que expresan el comportamiento del sistema como derivadas de tiempo de variables de estado, es decir, las variables para expresar el estado del proceso. Las variables de estado se seleccionan típicamente como las variables naturales asociadas con los elementos de almacenamiento de energía en el proceso, pero también se pueden usar variables alternativas. Las ecuaciones de estado del sistema describen las derivadas de tiempo de las variables de estado. Cuando las ecuaciones de estado son lineales, se expresan en forma vector-matriz.

En el caso de las redes eléctricas, los voltajes de los condensadores y las corrientes inductoras sirven como variables de estado natural. En el caso de los sistemas mecánicos, las posiciones y velocidades de las masas inerciales sirven como variables de estado natural. En los sistemas térmicos, el flujo de calor es una variable de estado natural. En los sistemas hidráulicos, el cabezal (altura del líquido en el reservorio) es una variable de estado natural.

El número de variables de estado determina el orden del sistema, sin embargo, la elección de las variables de estado para un modelo de sistema no es única. Por ejemplo, en un modelo de sistema mecánico, la posición y el momento pueden servir como variables de estado en lugar de posición y velocidad.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Un circuito RLC serie accionado por una fuente de voltaje constante contiene dos elementos de almacenamiento de energía, un inductor y un condensador. En consecuencia, deje que la corriente del inductor\(i(t)\), y la tensión del condensador\(v_ c (t)\), sirvan como variables de estado. Entonces, el comportamiento del circuito se representa por las siguientes ecuaciones:

\[C\frac{ dv_ c }{ dt} =i,\, \, \, L\frac{ di}{ dt} =V_ s -v_ c -Ri \]

En forma vector-matriz, las ecuaciones de estado se representan como:

\[\frac d{ dt} \left[\begin{array}{c} {v_ c } \\ {i} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {0} & {1/C} \\ {-1/L} & {-R/L} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {v_ c } \\ {i} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {0} \\ {1/L} \end{array}\right]V_ s \]

Dejar\(v_ c\) denotar la salida del circuito; entonces, la ecuación de salida se forma como:

\[v_ c =\left[\begin{array}{cc} {1} & {0} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {v_ c } \\ {i} \end{array}\right] \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

La ecuación dinámica del sistema masa-resorte-amortiguador se da como:

\[m\frac{ d^{2} x(t)}{ dt^{2} } +b\frac{ dx(t)}{ dt} +kx(t)=f(t) \]

Deje que la posición,\(x(t)\), y la velocidad,\(v(t)=\dot{x}(t)\) sirvan como las variables de estado, y que\(x(t)\) representen la salida; entonces, las ecuaciones de estado y salida para el modelo se dan como:

\[\frac {d}{ dt} \left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {-k/m} & {-b/m} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {0} \\ {1/m} \end{array}\right] f\]

\[x=\left[\begin{array}{cc} {1} & {0} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right] \]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Las ecuaciones dinámicas para el motor de CC se dan como:

\[L\frac{ di_{a} (t)}{ dt} +Ri_a (t)+k_b \omega (t)=V_a (t)\]

\[J\frac{ d\omega (t)}{ dt} +b\omega (t)-k_t i_a (t)=0\]

Dejar\(i_a (t),\; \omega (t)\) servir como las variables de estado, y dejar\(\omega (t)\) representar la salida; entonces, el modelo de variable de estado del motor de CC se da como:

\[\frac {d}{ dt} \left[\begin{array}{c} {i_a} \\ {\omega} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} {-R/L} & {-k_b /L} \\ {k_{t} /J} & {-b/J} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} {i_a} \\ {\omega} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {1/L} \\ {0} \end{array}\right] V_{a} \]

\[\omega =\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]\]

Para un motor de CC pequeño, supongamos los siguientes valores de parámetros:\(R=1\Omega ,\; L=1\; mH,\; \; J=0.01\; kg \cdot m^2 ,\; b=0.1\; \frac{{ N}\cdot s}{rad} ,\; k_t = k_b =0.05\). Entonces, el modelo de variable de estado del motor se da como:

\[\frac {d}{ dt} \left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {-100} & {-5} \\ {5} & {-10} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {100} \\ {0} \end{array}\right] V_{ a}\]

\[\omega =\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]\]

Los modelos de variables de estado se tratan con más detalle en los Capítulos 8-10.