1.4: Matrices

Nuestra noción habitual de matriz es la de una matriz rectangular de escalares. Las definiciones de suma matricial, multiplicación, etc., tienen como objetivo representar y analizar de forma compacta sistemas de ecuaciones de la forma

\ [\ begin {alineado}
a_ {11} x_ {1} +\ cdots+a_ {1 n} x_ {n} &=y_ {1}\
\ cdots &\ vdots\\
a_ {m 1} x_ {1} +\ cdots+a_ {m n} x_ {n} &=y_ {m}
\ end {alineado}\]

Este sistema de ecuaciones se puede escribir como Ax = y si definimos

\ [A=\ left (\ begin {array} {ccc}
a_ {11} &\ cdots & a_ {1 n}\\
\ vdots &\ cdots &\ vdots &\ vdots\\
a_ {m 1} &\ cdots & a_ {m n}
\ end {array}\ derecha),\ quad x=\ left (\ begin {array} {c}
x_ {1}\\
\ vdots\\
x_ {n}
\ end {array}\ derecha),\ quad y=\ left (\ begin {array} {c}
y_ {1}\\
\ vdots\\
y_ {m}
\ end {array}\ derecha)\]

Las reglas de adición de matriz, multiplicación matricial y multiplicación escalar de una matriz permanecen sin cambios si las entradas de las matrices con las que tratamos son matrices en sí mismas (dimensionadas conformablemente) en lugar de escalares. Una matriz con entradas de matriz se conoce como una matriz de bloques o una matriz particionada.

Por ejemplo, el\(a_{i j}\),\(x_{j}\) y\(y_{i}\) en respectivamente A, x e y anteriores pueden ser matrices, y P la ecuación Ax = y seguirá manteniendo, siempre y cuando las dimensiones de las diversas submatrices sean conformables con las expresiones\(\sum a_{i j} x_{j}=y_{i} \text { for } i=1, \cdots, m\) y\(j=1, \cdots, n\). Lo que esto requiere es que el número de filas en\(a_{i j}\) debe ser igual al número de filas en\(y_{i}\), el número de columnas en\(a_{i j}\) debe ser igual al número de filas en\(x_{j}\), y el número de columnas en el\(x_{j}\) y\(y_{i}\) debe ser el mismo.

• Verifica que

\ [\ left (\ begin {array} {cc|c}
1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 3\\
1 & 1 & 7
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {cc}
4 & 5\\
8 & 9\
&\ &\\
\ hline &\\
2 & 0
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {cc}
1 & 2\\
0 & 1\\
1 & 1
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {cc}
4 & 5\\
8 & 9
\ end {array}\ right) +\ left (\ begin {array} {c}
2\\
3\\
7
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {cc}
2 & 0
\ end {array}\ derecha)\]

Además de estas reglas simples para la adición de matrices, la multiplicación matricial y la multiplicación escalar de matrices particionadas, existe una regla simple, y simplemente verificada, para la transposición (conjugada compleja) de una matriz particionada: si\([A]_{i j}=a_{i j}\), entonces\(\left[A^{\prime}\right]_{i j}=a_{j i}^{\prime}\), es decir, el bloque (i, j) -ésimo elemento de\(A^{\prime}\) es la transposición del elemento de bloque (j, i) -ésimo de A.

Para operaciones matriciales más involucradas, se tiene que proceder con precaución. Por ejemplo, el determinante de la matriz de bloques cuadrados

\ [A=\ left (\ begin {array} {ll}
A_ {1} & A_ {2}\\
A_ {3} & A_ {4}
\ end {array}\ derecha)\]

¡Claramente no es\(A_{1} A_{4}-A_{3} A_{2}\) a menos que todos los bloques sean realmente escalares! Te llevaremos a la correcta expresión (en el caso donde\(A_{1}\) sea cuadrado e invertible) en una tarea futura.

Matrices como Transformaciones Lineales

T es una transformación o mapeo de X a Y, dos espacios vectoriales, si asocia a cada uno\(x \in X\) un elemento único\(y \in Y\). Esta transformación es lineal si satisface

\[T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)\]

• Verifique que una matriz N x m A sea una transformación lineal de\(\mathbf{R}^{m}\) a\(\mathbf{R}^{n}\).

¿Cada transformación lineal tiene una representación matricial? Supongamos que tanto X como Y son espacios dimensionales finitos con bases respectivas\(\left\{x_{1}, \ldots x_{m}\right\}\) y\(\left\{y_{1}, \ldots y_{n}\right\}\). Cada uno se\(x \in X\) puede expresar de manera única como:\(x=\sum_{i=1}^{m} a_{i} x_{i}\). Equivalentemente, cada x se representa de manera única en términos de un elemento.\(a \in \mathbf{R}^{m}\) De manera similar, cada elemento\(y \in Y\) se representa de manera única en términos de un elemento\(b \in \mathbf{R}^{n}\). Ahora: T (\(x_{j}\)) =\(\sum_{i=1}^{n} b_{i j} y_{i}\) y por lo tanto

\[T(x)=\sum_{j=1}^{m} a_{j} T\left(x_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n} y_{i}\left(\sum_{j=1}^{m} a_{j} b_{i j}\right)\]

A continuación, una representación matricial viene dada por B = (\(b_{i j}\)). Es evidente que una representación matricial no es única y depende de la elección de la base.