11.2: El caso LTI
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Para sistemas lineales invariantes de tiempo en tiempo continuo, es posible dar una fórmula explícita para la matriz de transición de estado,\(\Phi(t, \tau)\). En este caso\(A(t) = A\), una matriz constante. Definamos la matriz exponencial de\(A\) por una serie infinita de la misma forma que se utiliza (o puede ser) para definir el exponencial escalar:
\ [\ begin {alineado}
e^ {\ izquierda (t-t_ {0}\ derecha) A} &=I+\ izquierda (t-t_ {0}\ derecha) A+\ frac {1} {2!} \ izquierda (t-t_ {0}\ derecha) ^ {2} A^ {2} +\ ldots\\
&=\ sum_ {k=0} ^ {\ infty}\ frac {1} {k!} \ izquierda (t-t_ {0}\ derecha) ^ {k} A^ {k}
\ final {alineado}\\ etiqueta {11.13}\]
Resulta que esta serie se comporta tan bien como en el caso escalar: converge absolutamente para todos\(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) y para todos\(t \in \mathbb{R}\), y puede diferenciarse o integrarse término por término. Existen métodos para computarlo, aunque la tarea está plagada de dificultades numéricas.
Con la definición anterior, es fácil verificar que la matriz exponencial satisface las condiciones definitorias (11.2) y (11.3) para la matriz de transición de estado. Por lo tanto, la solución de (11.1) en el caso LTI viene dada por
\[x(t)=e^{\left(t-t_{0}\right) A} x\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} e^{A(t-\tau)} B u(\tau) d \tau \ \tag{11.14}\]
Después de determinar\(x(t)\), la salida del sistema se puede obtener por
\[y(t)=C x(t)+D u(t) \ \tag{11.15}\]
Solución de Transform-Domain de Modelos LTI
Ahora podemos hacer paralelo a nuestro tratamiento de dominio de transformación del caso DT, excepto que ahora usamos la transformada de Laplace unilateral en lugar de la\(\mathcal{Z}\) transformada -transform:
Definición 11.1: Transformación de Laplace de un solo lado
La transformada unilateral de Laplace,\(F (s)\), de la señal\(f (t)\) viene dada por
\[F(s)=\int_{t=0-}^{\infty} e^{-s t} f(t) d t \nonumber\]
para todos\(s\) donde se define la integral, denotada por la región de convergencia (R.O.C.).
Siguen las diversas propiedades de la transformación de Laplace. La propiedad shift de las\(\mathcal{Z}\) transformaciones que utilizamos en el caso DT se sustituye por la siguiente propiedad de diferenciación: Supongamos que\(f(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} F(s)\). Entonces
\[g(t)=\frac{d f(t)}{d t} \Longrightarrow G(s)=s F(s)-f\tag{0-}\]
Ahora, dado el modelo estado-espacio (11.1) en el caso LTI, podemos tomar allí transformaciones en ambos lados de las ecuaciones. Usando la propiedad transform que se acaba de describir, obtenemos
\ [\ comenzar {alineado}
s X (s) -x (0-) &=A X (s) +B U (s)\ (11.16)\\
Y (s) &=C X (s) +D U (s)\ (11.17)
\ final {alineado}\ nonumber\]
Esto se resuelve para rendir
\ [\ begin {array} {ll}
X (s) = & (s I-A) ^ {-1} x (0-) + (s I-A) ^ {-1} B U (s)\\
Y (s) = & C (s I-A) ^ {-1} x (0-) +\ underbrackets {\ left [C (s I-A) ^ {-1} B+D\ derecha] _ {\ text {Función de transferencia}} U (s)\ (10.18)
\ end {array}\ nonumber\]
que es muy similar al caso DT.
Un dato importante que surge al comparar (11.18) con su versión de dominio temporal (11.14) es que
\[\mathcal{L}\left(e^{A t}\right)=(s I-A)^{-1} \nonumber\]
Por lo tanto, una forma de calcular la matriz de transición de estado (¡una buena manera para pequeños ejemplos!) es evaluando la transformación inversa entrada por entrada de\((sI - A)^{-1}\).
Ejemplo 11.2
Encuentra la matriz de transición de estado asociada con el (¡no diagonalizable!) matriz
\ [A=\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 2\\
0 & 1
\ end {array}\ right]\ nonumber\]
Usando la fórmula anterior,
\ [\ begin {aligned}
\ mathcal {L}\ left (e^ {A t}\ right) & =( s I-A) ^ {-1} =\ left [\ begin {array} {cc}
s-1 & -2\\
0 & s-1
\ end {array}\ right] ^ {-1}\\
&=\ left [\ begin {array} {cc}
\ frac {1} {s-1} &\ frac {2} {(s-1) ^ {2}}\\
0 &\ frac {1} {s-1}
\ end {array}\ right]
\ end {alineado}\ nonumber\]
Al tomar la transformada inversa de Laplace de la matriz anterior obtenemos
\ [e^ {A t} =\ left [\ begin {array} {cc}
e^ {t} & 2 t e^ {t}\\
0 & e^ {t}
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]