11.3: Ejercicios

Ejercicio 11.1 Matrices de Acompañantes

a) Se dice que las siguientes dos matrices y sus transpuestas son matrices compañeras del polinomio\(q(z)=z^{n}+q_{n-1} z^{n-1}+\ldots+q_{0}\). Determinar los polinomios característicos de estas cuatro matrices, y de ahí explicar el origen del nombre. (Pista: Primero encuentre explicaciones de por qué las cuatro matrices deben tener el mismo polinomio característico, luego determinar el polinomio característico de cualquiera de ellas).

\ [A_ {1} =\ left (\ begin {array} {ccccc}
-q_ {n-1} & 1 & 0 &\ ldots &\\
-q_ {n-2} & 0 & 1 &\ ldots & 0\\ vdots &
\ vdots &\ vdots &\ ddots &\ vdots &\ vdots &\ vdots\\
-q_ {1} & 0 &\ ldots & 1\\
-q_ {0} & 0 &\ ldots & 0
\ end {array}\ derecha)\ quad A_ {2} =\ left (\ begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 0 &\ ldots & 0\\ 0 &
0 &\ ldots & 0 &\ ldots & 0\
\ ldots &\ vdots &\ vdots &\ ddots &\ vdots\\
0 & 0 &\ ldots & 1\\
-q_ {0} & -q_ {1} & -q_ {2} &\ ldots & -q_ {n-1}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

(b) Demostrar que la matriz\(A_{2}\) anterior tiene solo un vector propio (derecho) para cada valor propio distinto\(\lambda_{i}\), y que este vector propio tiene la forma\ (\ left [\ begin {array} {lllll}
1 &\ lambda_ {i} &\ lambda_ {i} ^ {2} &\ ldots &\ lambda_ {i} ^ {n-1}
\ end {array} derecha ] ^ {T}\).

c) Si

\ [A=\ left (\ begin {array} {ccc}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
6 & 5 & -2
\ end {array}\ right)\ nonumber\]

qué son\(A^{k}\) y\(e^{At}\) (Tus respuestas pueden quedar como producto de tres -o menos- matrices; no te molestes en multiplicarlas.)

Ejercicio 11.2

Supongamos que se le da la ecuación estado-espacio

\[\dot{x}(t)=A x(t)+B u\tag{t}\]

con una entrada\(u(t)\) que es constante por tramos a lo largo de intervalos de longitud\(T\):

\[u(t)=u[k], \quad k T<t \leq(k+1) T\nonumber\]

(a) Demostrar que el estado muestreado\(x[k] = x(kT )\) se rige por un modelo estado-espacio de datos muestreados de la forma

\[x[k+1]=F x[k]+G u[k]\nonumber\]

para matrices constantes\(F\) y\(G\) (es decir, matrices que no dependen de\(t\) o\(k\)), y determinar estas matrices en términos de\(A\) y\(B\). (Sugerencia: El resultado involucrará la matriz exponencial,\(e^{At}\).) ¿Cómo se\(F\) relacionan los valores propios y los vectores propios de\(A\)?

(b) Calcular\(F\) y\(G\) en el anterior modelo de datos muestreados en tiempo discreto cuando

\ [A=\ left (\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
-\ omega_ {0} ^ {2} & 0
\ end {array}\ right),\ quad B=\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

(c) Supongamos que implementamos una ley estatal de control de retroalimentación de la forma\(u[k] = Hx[k]\), donde\(H\) es una matriz de ganancia. ¿Qué elección de\(H\) provocará que el estado del sistema de bucle cerrado resultante\(x[k + 1] = (F + GH)x[k]\),, vaya a 0 en como máximo dos pasos, desde cualquier condición inicial (entonces\(H\) se dice que produce un comportamiento “deadbeat”)? Para simplificar la notación de tus cálculos, denota\(\cos \omega_{0} T\) por\(c\) y\(\sin \omega_{0} T\) por\(s\). Asume ahora eso\(\omega_{0} T=\pi / 6\), y verifique su resultado sustituyendo en su computado\(H\) y viendo si hace lo que pretendía.

(d) Para\(\omega_{0} T=\pi / 6\) y\(\omega_{0} T=1\), sus matrices de (b) deberían funcionar para ser

\ [F=\ left (\ begin {array} {ll}
\ sqrt {3}/2 & 1/2\\
-1/2 &\ sqrt {3}/2
\ end {array}\ right),\ quad G=\ left (\ begin {array} {c}
1- (\ sqrt {3}/2)\\
1/2
\ end {array}\ right)\ nonumber\]

Utilice Matlab para calcular y trazar la respuesta de cada una de las variables de estado desde\(k = 0\) hasta\(k = 10\), asumiendo\(x[0]=[4,0]^{T}\) y con las siguientes opciones para\(u[k]\):

• i) el sistema de bucle abierto, con\(u[k] = 0\);
• (ii) el sistema de bucle cerrado con\(u[k] = Hx[k]\), donde\(H\) está la ganancia de retroalimentación que computó en (c), con\(\omega_{0} T=1\) también plot\(u[k]\) en este caso.

(e) Ahora supongamos que el controlador está basado en computadora. La ley de control anterior\(u[k] = Hx[k]\) es imple- mentable si el tiempo necesario para computar\(Hx[k]\) es despreciable en comparación con\(T\). A menudo, sin embargo, se necesita una fracción considerable del intervalo de muestreo para hacer este cálculo, por lo que el control que se aplica al sistema en el momento\(k\) se ve obligado a utilizar la medición de estado en el instante anterior. Supongamos por tanto que\(u[k] = Hx[k - 1]\). Encuentre un modelo estado-espacio para el sistema de bucle cerrado en este caso, escrito en términos de\(F\)\(G\), y\(H\). (Sugerencia: ¡El controlador basado en computadora ahora tiene memoria!) ¿Cuáles son los valores propios del sistema de bucle cerrado ahora, con\(H\) como en (c)? Nuevamente utilice Matlab para trazar la respuesta del sistema a la misma condición inicial que en (d), y comparar con los resultados en (d) (ii). ¿Hay otra opción de\(H\) que pueda producir un comportamiento muerto? Si es así, encuéntralo; si no, sugiera cómo modificar la ley de control para obtener un comportamiento muerto.

Ejercicio 11.3

Dada la matriz

\ [A=\ izquierda [\ begin {array} {cc}
\ sigma &\ omega\
-\ omega &\ sigma
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

demostrar que

\ [\ exp\ left (\ begin {array} {ll}
\ left.t\ left [\ begin {array} {cc}
\ sigma &\ omega\
-\ omega &\ sigma
\ end {array}\ right]\ right) =\ left [\ begin {array} {cc}
e^ {\ sigma t}\ cos (omega\ t) & e^ {\ sigma t}\ sin (\ omega t)\\
- e^ {\ sigma t}\ sin (\ omega t) & e^ {\ sigma t}\ cos (\ omega t)
\ end {array}\ right]
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Ejercicio 11.4

Supongamos que A y B son matrices cuadradas constantes. Demostrar que

\ [\ exp\ left (t\ left [\ begin {array} {cc}
A & 0\\
0 & B
\ end {array}\ right]\ right) =\ left [\ begin {array} {cc}
e^ {t A} & 0\\
0 & e^ {t B}
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Ejercicio 11.5

Supongamos\(A\) y\(B\) son matrices cuadradas constantes. Demostrar que la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales,

\[\dot{x}(t)=e^{-t A} B e^{t A} x\tag{t}\]

está dado por

\[x(t)=e^{-t A} e^{\left(t-t_{0}\right)(A+B)} e^{t_{0} A} x\left(t_{0}\right)\nonumber\]

Ejercicio 11.6

Supongamos que\(A\) es una matriz cuadrada constante, y\(f (t)\) es una función escalar continua de\(t\). Mostrar que la matriz de transición de estado para el sistema

\[\dot{x}(t)=f(t) A x\tag{t}\]

está dado por

\[\Phi\left(t, t_{0}\right)=\exp \left(\left(\int_{t_{0}}^{t} f(\tau) d \tau\right) A\right)\nonumber\]

Ejercicio 11.7 (Teoría del Floquete)

Considerar el sistema

\[\dot{x}(t)=A(t) x\tag{t}\]

donde\(A(t)\) es una matriz periódica con periodo\(T\), entonces\(A(t + T ) = A(t)\). Queremos estudiar la matriz de transición de estado\(\Phi(t, t_{0})\) asociada a este sistema periódicamente variable en el tiempo.

1. Primero comencemos con la matriz de transición de estado\(\Phi(t, 0)\), que satisface

\ [\ comenzar {alineado}
\ punto {\ Phi} &=A (t)\ Phi\
\ Phi (0,0) &=I
\ fin {alineado}\ nonumber\]

Definir la matriz\(\Psi(t, 0)=\Phi(t+T, 0)\) y mostrar que\(\Psi\) satisface

\ [\ begin {alineado}
\ punto {\ Psi} (t, 0) &=A (t)\ Psi (t, 0)\
\ Psi (0,0) &=\ Phi (T, 0)
\ end {alineado}\ nonumber\]

2. Demostrar que esto implica eso\(\Phi(t+T, 0)=\Phi(t, 0) \Phi(T, 0)\).

3. Usando la fórmula de Jacobi-Liouville, demuestre que\(\Phi(T, 0)\) es invertible y por lo tanto se puede escribir como\(\Phi(T, 0)=e^{TR}\).

4. Definir

\[P(t)^{-1}=\Phi(t, 0) e^{-t R}\nonumber\]

y demostrar que\(P(t)^{-1}\), y en consecuencia\(P (t)\), son periódicos con periodo\(T\). Demuéstralo también\(P (T ) = I\). Esto significa que

\[\Phi(t, 0)=P(t)^{-1} e^{t R}\nonumber\]

5. \(\Phi\left(0, t_{0}\right)=\Phi^{-1}\left(t_{0}, 0\right)\)Demuéstralo. Usando el hecho de que\(\Phi\left(t, t_{0}\right)=\Phi(t, 0) \Phi\left(0, t_{0}\right)\), mostrar que

\[\Phi\left(t, t_{0}\right)=P(t)^{-1} e^{\left(t-t_{0}\right) R} P\left(t_{0}\right)\nonumber\]

¿Cuál es el significado de este resultado?