12.1: La Matriz de Funciones de Transferencia

Es evidente a partir de (10.20) que la matriz de función de transferencia para el sistema, que relaciona la transformada de entrada con la transformada de salida cuando la condición inicial es cero, viene dada por

\[H(z)=C(z I-A)^{-1} B+D \ \tag{12.1}\]

Para un sistema multi-entrada, multi-salida (MIMO) con\(m\) entradas y\(p\) salidas, esto da como resultado una\(p \times m\) matriz de funciones racionales de\(z\). Para tener una idea de la naturaleza de estas funciones racionales, expresamos la matriz inversa como la matriz anexa dividida por el determinante, de la siguiente manera:

\[H(z)=\frac{1}{\operatorname{det}(z I-A)} C[\operatorname{adj}(z I-A)] B+D\nonumber\]

El\(n\) determinante\(det(zI - A)\) en el denominador es un polinomio monico de\(n\) orden th (\(z\)es decir, coeficiente de es 1) en\(z\), conocido como el polinomio característico de\(A\) y denotado por\(a(z)\). Las entradas de la matriz anexa (los cofactores) se computan a partir de menores de\((zI - A)\), que son polinomios de grado menor que\(n\). De ahí las entradas de las matrices

\[(z I-A)^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(z I-A)} \operatorname{adj}(z I-A)\nonumber\]

y

\[H(z)-D=\frac{1}{\operatorname{det}(z I-A)} C \operatorname{adj}(z I-A) B\nonumber\]

son estrictamente propios, es decir, tienen un grado de numerador estrictamente menor que su grado denominador. Con el\(D\) término agregado en,\(H(z)\) se vuelve propio que es que todas las entradas tienen numerador grado menor o igual al grado del denominador. Para\(|z| \nearrow \infty, H(z) \rightarrow D\).

El polinomio\(a(z)\) forma los denominadores de todas las entradas de\((zI - A)^{-1}\) y\(H(z)\), salvo que en algunas, o incluso todas, de las entradas puede haber cancelaciones de factores comunes que ocurren entre\(a(z)\) y los numeradores respectivos. Tendremos mucho más que decir más adelante sobre estas cancelaciones y su relación con los conceptos de alcanzabilidad (o controlabilidad) y observabilidad. Para calcular la transformada inversa de\((zI - A)^{-1}\) (que es la secuencia\(A^{k-1}\)) y la transformada inversa de\(H(z)\) (que es una secuencia matricial cuyos componentes son las respuestas de muestra unitaria de estado cero de cada entrada a cada salida), necesitamos encontrar la transformada inversa de los racionales cuyo denominador es\(a(z)\) (aparte de cualquier cancelación). Las raíces de\(a(z)\) - también denominadas raíces características o frecuencias naturales del sistema, por lo tanto juegan un papel crítico en la determinación de la naturaleza de la solución. A medida que avanzamos, surgirá un panorama más completo.

Polos y ceros multivariables

Está familiarizado con las definiciones de polos, ceros y sus multiplicidades para las funciones de transferencia escalar asociadas con sistemas LTI de entrada única y salida única (SISO). Para el caso de la matriz de función de\(p \times m\) transferencia\(H(z)\) que describe el comportamiento de entrada/salida de estado cero de un sistema LTI\(m\)\(p\) -input, -output, las definiciones de polos y ceros son más sutiles. Aquí incluimos alguna discusión preliminar, pero dejaremos una mayor elaboración para más adelante en el curso.

Está claro en qué nos gustaría que nuestras definiciones eventuales de polos y ceros MIMO se especializaran en el caso en que no\(H(z)\) sea cero solo en sus posiciones diagonales, porque esto corresponde a funciones de transferencia escalar completamente desacopladas. Para este caso diagonal, evidentemente nos gustaría decir que los polos de\(H(z)\) son los polos de las entradas diagonales individuales de\(H(z)\), y de manera similar para los ceros. Por ejemplo, dado

\[H(z)=\operatorname{diagonal}\left(\frac{z+2}{(z+0.5)^{2}}, \frac{z}{(z+2)(z+0.5)}\right)\nonumber\]

diríamos que\(H(z)\) tiene polos de multiplicidad 2 y 1 en\(z = -0.5\), y un polo de multiplicidad 1 en\(z = -2\); y que tiene ceros de multiplicidad 1 at\(-2\), at\(z = 0\), y at\(z = \infty\). Tenga en cuenta que en el caso MIMO podemos tener polos y ceros a la misma frecuencia (por ejemplo, los que están\(-2\) en el ejemplo anterior), ¡sin ninguna cancelación! También tenga en cuenta que un polo o cero no se caracteriza necesariamente por una sola multiplicidad; en cambio, podemos tener un conjunto de índices de multiplicidad (por ejemplo, según sea necesario para describir el polo\(-0.5\) en el ejemplo anterior). El caso diagonal deja claro que no queremos definir un polo o ubicación cero de\(H(z)\) en el caso general para que sea una frecuencia donde todas las entradas de\(H(z)\) respectivamente tengan polos o ceros.

Por diversas razones, la definición apropiada de la ubicación de un poste es la siguiente:

• Ubicación del poste:\(H(z)\) tiene un polo a una frecuencia\(p_{0}\) si alguna entrada de\(H(z)\) tiene un poste en\(z=p_{0}\).

La definición completa (que presentaremos más adelante en el curso) también nos muestra cómo determinar el conjunto de multiplicidades asociadas a cada frecuencia polar. De igual manera, resulta que la definición apropiada de una ubicación cero es la siguiente:

• Ubicación Cero:\(H(z)\) tiene un cero a una frecuencia\(\eta_{0}\) si el rango de\(H(z)\) cae en\(z=\eta_{0}\).

Nuevamente, la definición completa también nos permite determinar el conjunto de multiplicidades asociadas a cada frecuencia cero. La determinación de si el rango de\(H(z)\) caídas a algún valor de\(z\) se complica por el hecho de que también\(H(z)\) puede tener un polo a ese valor de\(z\); sin embargo, todo esto se puede resolver muy bien.