12.2: Transformaciones de similitud

Supongamos que hemos caracterizado un sistema dinámico dado a través de una representación particular del espacio de estado, digamos con variables de estado\(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\). La evolución del sistema corresponde entonces a una trayectoria de puntos en el espacio de estados, descrita por la sucesión de valores tomados por las variables de estado. Es decir, las variables de estado pueden verse como constitutivas de las coordenadas en términos de las cuales hemos elegido para describir el movimiento en el espacio de estados.

Somos libres, por supuesto, de elegir bases coordinadas alternativas -es decir, variables alternativas de estado- para describir la evolución del sistema. Esta evolución no cambia por la elección de coordenadas; solo la descripción de la evolución cambia su forma. Por ejemplo, en el ejemplo del circuito LTI del capítulo anterior, podríamos haber usado\(i_{L}-v_{C}\) y\(i_{L}+v_{C}\) en lugar de\(i_{L}\) y\(v_{C}\). La información en un conjunto es idéntica a la del otro, y la existencia de una descripción estado-espacio con un conjunto implica la existencia de una descripción estado-espacio con el otro, como ahora mostramos de manera más concreta y más general. La flexibilidad para elegir un sistema de coordenadas adecuado puede ser muy valiosa, y nos encontraremos invocando esos cambios de coordenadas muy a menudo.

Dado que tenemos un vector de estado\(x\), supongamos que definimos un mapeo lineal invertible constante de\(x\) a\(r\), de la siguiente manera:

\[r=T^{-1} x \quad, \quad x=T r \ \tag{12.2}\]

Dado que\(T\) es invertible, esto mapea cada trayectoria\(x(k)\) a una trayectoria única\(r(k)\), y viceversa. Nos referimos a tal transformación como una transformación de similitud. La matriz\(T\) encarna los detalles de la transformación de\(x\) coordenadas a\(r\) coordenadas - es fácil ver a partir de (12.2) que las columnas de\(T\) son las representaciones de los vectores unitarios estándar de\(r\) en el sistema de coordenadas de\(x\), que es todo eso para definir completamente el nuevo sistema de coordenadas.

Sustituyendo\(x(k)\) en el estándar (versión LTI del) modelo estado-espacio (10.1), tenemos

\ [\ comenzar {alineado}
T r (k+1) &=A (T r (k)) +B u (k)\ (12.3)\\
y (k) &=C (T r (k)) +D u (k)\ (12.4)
\ final {alineado}

o

\ [\ comenzar {alineado}
r (k+1) &=\ izquierda (T^ {-1} A T\ derecha) r (k) +\ izquierda (T^ {-1} B\ derecha) u (k)\ (12.5)\\
&=\ sombrero ancho {A} r (k) +\ sombrero ancho {B} u (k)\ (12.6)\\
y (k) & =( C T) r (k) +D u (k)\ (12.7)\\
&=\ sombrero ancho {C} r (k) +D u (k)\ (12.8)
\ final { alineado}\ nonumber\]

Ahora tenemos una nueva representación de la dinámica del sistema; se dice que es similar a la representación original. Es crítico entender, sin embargo, que las propiedades dinámicas del modelo no se ven afectadas en absoluto por este cambio de coordenadas en el espacio de estados. En particular, el mapeo de\(u(k)\) a\(y(k)\), es decir, el mapa de entrada/salida, no cambia por una transformación de similitud.