12.3: Solución en Coordenadas Modal

La elección adecuada de una transformación de similitud puede producir un nuevo modelo de sistema que será más adecuado para fines analíticos. Una de esas transformaciones lleva al sistema a lo que se conoce como coordenadas modales. Describiremos esta transformación ahora para el caso en que la matriz\(A\) en el modelo estado-espacio pueda ser diagonalizada, en un sentido que se definirá a continuación; dejamos el caso general para más adelante.

Las coordenadas modales se construyen alrededor de los vectores propios de\(A\). Para tener una idea de por qué los vectores propios pueden estar involucrados en la obtención de una simple elección de coordenadas para estudiar la dinámica del sistema, examinemos la posibilidad de encontrar una solución de la forma

\[x(k)=\lambda^{k} v, \quad v \neq 0 \ \tag{12.9}\]

para el sistema LTI no accionado

\[x(k)=Ax(k) \ \tag{12.9}\]

Sustituyendo (12.9) en (12.10), encontramos la condición requerida para ser que

\[(\lambda I-A) v=0 \ \tag{12.11}\]

es decir, que\(\lambda\) sea un valor propio de\(A\), y\(v\) un autovector asociado. Obsérvese de (12.11) que multiplicar cualquier vector propio por un escalar distinto de cero nuevamente produce un autovector, por lo que los vectores propios solo se definen hasta un escalado distinto de cero; se puede usar cualquier escalado o normalización conveniente. En otras palabras, (12.9) es una solución del sistema no impulsado iff\(\lambda\) es una de las\(n\) raíces\(\lambda_{i}\) del polinomio característico

\[a(z)=\operatorname{det}(z I-A)=z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{0} \ \tag{12.12}\]

y\(v\) es un vector propio correspondiente\(v_{i}\). Una solución de la forma\(x(k)=\lambda_{i}^{k} v_{i}\) se conoce como un modo del sistema, en este caso el modo\(i\) th. La correspondiente\(\lambda_{i}\) es la\(i\) frecuencia modal o frecuencia natural, y\(v_{i}\) es la forma modal correspondiente. Tenga en cuenta que podemos excitar solo el modo\(i\) th asegurando que la condición inicial es\(x(0)=\lambda_{i}^{0} v_{i}=v_{i}\). El movimiento resultante se limita entonces a la dirección de\(v_{i}\), con una escala\(\lambda_{i}\) en cada paso.

Se puede demostrar con bastante facilidad que los vectores propios asociados con distintos valores propios son (linealmente) independientes, es decir, ninguno de ellos puede escribirse como una combinación lineal ponderada de los restantes. Por lo tanto, si los\(n\) valores propios de\(A\) son distintos, entonces los vectores propios\(n\) correspondientes\(v_{i}\) son independientes, y en realidad pueden formar una base para el espacio de estados. Sin embargo, no son necesarios valores propios distintos para asegurar que existe una selección de vectores propios\(n\) independientes. En cualquier caso, nos limitaremos por ahora al caso en el que -por distintos valores propios o de otro modo- la matriz\(A\) tenga vectores propios\(n\) independientes. Tal\(A\) se denomina diagonalizable (por una razón que se hará evidente en breve), o no defectuoso. Existen matrices que no son diagonalizables, como veremos cuando examinemos en detalle la forma Jordan más adelante en este curso.

Debido a que (12.10) es lineal, una combinación lineal ponderada de soluciones modales también lo satisfará, así que

\[x(k)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i} \lambda_{i}^{k}\ \tag{12.13}\]

será una solución de (12.10) para pesos arbitrarios\(\alpha_{i}\), con condición inicial

\[x(0)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i} \ \tag{12.14}\]

Dado que los\(n\) vectores propios\(v_{i}\) son independientes bajo nuestra suposición de diagonalizable\(A\), el lado derecho de (12.14) puede hacerse igual a cualquier deseado\(x(0)\) mediante la elección adecuada de los coeficientes\(\alpha_{i}\), y estos coeficientes son únicos. Por lo tanto, especificando la condición inicial del sistema no accionado (12.10) especifica la\(\alpha_{i}\) vía (12.14) y así, vía (12.13), especifica la respuesta del sistema no accionado. Nos referimos a la expresión en (12.13) como la descomposición modal de la respuesta no impulsada. Tenga en cuenta que la contribución a la descomposición modal a partir de un par conjugado de valores propios\(\lambda\) y\(\lambda^{*}\) será un término real de la forma\(\alpha v \lambda^{k}+\alpha^{*} v^{*} \lambda^{* k}\)

De (12.14), se deduce que\(\alpha=V^{-1} x(0)\), donde\(\alpha\) es un vector con componentes\(\alpha_{i}\). Dejar\(W = V^{-1}\), y\(w_{i}^{\prime}\) ser la\(i^{th}\) fila de\(W\), entonces

\[x(k)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{k} v_{i} w_{i}^{\prime} x(0) \ \tag{12.15}\]

Es fácil ver que\(w_{i}\) es un vector propio izquierdo correspondiente al valor propio\(\lambda_{i}\). La descomposición modal anterior del sistema no impulsado es la misma que obtener la forma diádica de\(A^{k}\). La contribución de\(x(0)\) a la\(i^{th}\) modalidad se captura en el término\(w_{i}^{\prime} x(0)\).

Antes de proceder a examinar la respuesta completa de un modelo lineal invariante en el tiempo en términos modales, cabe señalar que los resultados anteriores ya permiten obtener una condición precisa para la estabilidad asintótica del sistema, al menos en el caso de diagonalizable\(A\) (resulta que la condición a continuación es la correcta incluso para el caso general). Recordando la definición del Ejemplo 10.1, vemos inmediatamente de la descomposición modal que el sistema LTI (12.10) es asintóticamente estable\(\left|\lambda_{i}\right|<1\) para todos\(1 \leq i \leq n\), es decir, si todas las frecuencias naturales del sistema están dentro del círculo unitario. Dado que ciertamente es posible tener esta condición retenida incluso cuando\(\|A\|\) es arbitrariamente mayor que 1, vemos que la condición suficiente dada en el Ejemplo 1 es en efecto bastante débil, al menos para el caso invariable en el tiempo.

Pasemos ahora a la versión LTI del sistema completo en (10.1). En lugar de acercarse a su solución modal en el mismo estilo que se hizo para el caso no controlado, lo abordaremos (para un punto de vista diferente) a través de una transformación de similitud a coordenadas modales, es decir, a coordenadas definidas por los vectores propios\(\left\{v_{i}\right\}\) del sistema. Considere usar la transformación de similitud

\[x(k)=V r(k) \ \tag{12.16}\]

donde la columna\(i\) th de la\(n \times n\) matriz\(V\) es el\(i\) th eigenvector,\(v_{i}\):

\ [V=\ left (\ begin {array} {llll}
v_ {1} & v_ {2} &\ cdots & v_ {n}
\ end {array}\ derecha)\\ tag {12.17}\]

Nos referimos\(V\) como la matriz modal. Bajo nuestro supuesto de diagonalizable\(A\), los vectores propios son independientes, por lo que\(V\) se garantiza que sean invertibles, y (12.16) por lo tanto sí constituye una transformación de similitud. Nos referimos a esta transformación de similitud como una transformación modal, y las variables\(r_{i}(k)\) definidas a través de (12.16) se denominan variables modales o coordenadas modales. Lo que hace que esta transformación sea interesante y útil es el hecho de que la matriz de evolución de estado\(A\) ahora se transforma en una matriz diagonal\(\Lambda\):

\ [V^ {-1} A V=\ nombreoperador {diagonal}\ izquierda\ {\ lambda_ {1},\ cdots,\ lambda_ {n}\ right\} =\ left [\ begin {array} {cccc}
\ lambda_ {1} & 0 &\ cdots & 0\\
0 &\ lambda_ {2} &\ cdots & 0\
\ vdots &\ vdots &\ ddots &\ vdots\\
0 & 0 &\ cdots &\ lambda_ {n}
\ end {array}\ derecha] =\ lambda\\ tag {12.18}\]

La forma más fácil de verificar esto es establecer la condición equivalente que\(AV = V \Lambda\), que a su vez es simplemente la ecuación (12.11), escrita para\(i=1, \cdots, n\) y apilada en forma de matriz. La razón para llamar\(A\) “diagonalizable” cuando tiene un conjunto completo de vectores propios independientes es ahora evidente.

Bajo esta transformación modal, el sistema no impulsado se transforma en ecuaciones escalares\(n\) desacopladas:

\[r_{i}(k+1)=\lambda_{i} r_{i}(k) \ \tag{12.19}\]

para\(i=1,2, \cdots, n\). Cada uno de estos es trivial de resolver: tenemos\(r_{i}(k)=\lambda_{i}^{k} r_{i}(0)\). Combinando esto con (12.16) rendimientos (12.13) nuevamente, pero con la visión adicional de que

\[\alpha_{i}=r_{i}(0) \ \tag{12.20}\]

Aplicando la transformación modal (12.16) al sistema completo, es fácil ver que el sistema transformado toma la siguiente forma, que una vez más se desacopla en subsistemas escalares\(n\) paralelos:

\ [\ begin {alineado}
r_ {i} (k+1) &=\ lambda_ {i} r_ {i} (k) +\ beta_ {i} u (k),\ quad i=1,2,\ lpuntos, n\ (12.21)\\
y (k) &=\ xi_ {1} r_ {1} (k) +\ cdots+\ xi_ {n} r_ {n} (k) +D u (k)\ (12.22)
\ final {alineado}\]

donde los\(\beta_{i}\) y\(\xi_{i}\) se definen a través de

\ [V^ {-1} B=\ left [\ begin {array} {c}
\ beta_ {1}\
\ beta_ {2}\\
\ vdots\\
\ beta_ {n}
\ end {array}\ derecha],\ quad C V=\ left [\ begin {array} {llll}
\ xi_ {1} &\ xi_ {2} &\ cdots\ xi_ {n}
\ end {array}\ derecha]\\ etiqueta {12.23}\]

Las ecuaciones escalares anteriores se pueden resolver explícitamente por métodos elementales (compare también con la expresión en (22.2):

\[r_{i}(k)=\underbrace{\lambda_{i}^{k} r_{i}(0)}_{\mathrm{ZIR}}+\underbrace{\sum_{0}^{k-1} \lambda_{i}^{k-l-1} \beta_{i} u(l)}_{\mathrm{ZSR}} \ \tag{12.24}\]

donde “ZIR” denota la respuesta de entrada cero y “ZSR” la respuesta de estado cero. A partir de la expresión anterior, se puede obtener una expresión para\(y(k)\). Además, sustituyendo (12.24) en (12.16), podemos derivar una representación modal correspondiente para el vector de estado original\(x(k)\). Te dejamos escribir estos datos.

Por último, los mismos conceptos se mantienen para los sistemas de TC. Dejamos los detalles como ejercicio.

Ejemplo 12.1

Considere el siguiente sistema:

\ [\ left [\ begin {array} {l}
\ dot {x_ {1}}\
\ punto {x_ {2}}
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
8 & -2
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
x_ {1}\\
x_ {2}
\ end {array}\ derecha] +\ left [\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ right] u\\ tag {12.25}\]

Consideraremos la descomposición modal de este sistema para la respuesta de entrada cero. Los valores propios de\(A\) son -4 y 2 y los vectores propios asociados son\ (\ left [\ begin {array} {ll}
1 & -4
\ end {array}\ right] ^ {\ prime}\) y\ (\ left [\ begin {array} {ll}
1 & -4
\ end {array}\ right] ^ {\ prime}\). La matriz modal se construye a partir de los vectores propios anteriores:

\ [V=\ left (\ begin {array} {cc}
1 & 1\\
-4 & 2
\ end {array}\ derecha)\\ tag {12.26}\]

Su inversa viene dada por

\ [W=V^ {-1} =\ frac {1} {6}\ left [\ begin {array} {cc}
2 & -1\\
4 & 1
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

De ello se deduce que:

\ [W A V=\ lambda=\ left [\ begin {array} {cc}
\ lambda_ {1} & 0\\
0 &\ lambda_ {2}
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {cc}
-4 & 0\\
0 & 2
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Ahora definamos\(r\) en coordenada modal como

\[x(t)=T r \rightarrow r(t)=T^{-1} x\tag{t}\]

Entonces en términos de\(r\), el sistema original se puede transformar en lo siguiente:

\ [\ left [\ begin {array} {c}
\ dot {r_ {1}}\\
\ punto {r_ {2}}
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {cc}
-4 & 0\\
0 & 2
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
r_ {1}\\
r_ {2}
fin {array}\ derecha]\\ tag {12.7}\]

La respuesta del sistema para un estado inicial dado y entrada cero ahora se puede expresar como:

\ [\ begin {alineado}
x (t) &=\ operatorname {Vr} (t) =V e^ {\ lambda\ left (t-t_ {0}\ right)} W x\ left (t_ {0}\ right)\\
&=\ left [\ begin {array} {cc}
1 & 1\\
-4 & 2
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {cc}
e^ {-4\ izquierda (t-t_ {0}\ derecha)} & 0\\
0 & e^ {2\ izquierda (t-t_ {0}\ derecha)}
\ end {array}\ derecha]\ frac {1} {6}\ izquierda [\ begin {array} {cc}
2 & -1\\
4 & 1
\ end {array}\ derecha] x\ izquierda (t_ {0}\ derecha)
\ end {alineado}\ nonumber\]

Por ejemplo, si el vector inicial se elige en la dirección del primer vector propio, es decir,\ (x\ left (t_ {0}\ right) =v_ {1} =\ left [\ begin {array} {cc}
1 & -4
\ end {array}\ right] ^ {\ prime}\) entonces la respuesta viene dada por:

\ [x (t) =\ left [\ begin {array} {c}
1\\
-4
\ end {array}\ right] e^ {-4\ left (t-t_ {0}\ derecha)}\ nonumber\]

Ejemplo 12.2 Péndulo invertido

Considere el modelo linealizado del péndulo invertido en el Ejemplo 7.6 con los parámetros dados por:\(m = 1, M = 10, l = 1\), y\(g = 9.8\). Los valores propios de la matriz\(A\) son\(0, 0, 3.1424\), y\(-3.1424\). En este caso, se repite el valor propio en 0, y por lo tanto la matriz\(A\) puede no ser diagonalizable. Sin embargo, todavía podemos construir la forma Jordan de\(A\) encontrando los vectores propios generalizados correspondientes a 0, y los vectores propios correspondientes a los otros autovalores.

La forma Jordana de\(A\),\(\Lambda=T^{-1} A T\) y la transformación correspondiente\(T\) están dadas por:

\ [\ lambda=\ left [\ begin {array} {cccc}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3.1424 & 0\\
0 & 0 & 0 & -3.1424
\ end {array}\ derecha], T=\ left [\ begin {array} {ccccc}
0.0909 & 0 & -0.0145 & 0.0145\\
0 & 0.0909 & -0.0455 & -0.0455\\
0 & 0 & 0.1591 & -0.1591\\
0 & 0 & 0 & 0.5000 & 0.5000
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Todavía podemos obtener bastante información de esta descomposición. Considere la respuesta de entrada cero, y deje\ (x (0) =v_ {1} =\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 0 & 0 &] ^ {\ prime}
\ end {array}\ right.\). Este es un vector propio correspondiente al valor propio cero, y corresponde a una distancia fija\(s\), velocidad cero, posición angular cero y velocidad angular cero. En ese caso, el sistema permanece en la misma posición y la respuesta es igual a\(x(0)\) para todos los tiempos futuros. Ahora, vamos\ (x (0) =v_ {2} =\ left [\ begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 0 & 0 &] ^ {\ prime}
\ end {array}\ right.\), que corresponde a una velocidad distinta de cero y posición cero, ángulo y velocidad angular. Este no es un vector propio sino más bien un autovector generalizado, es decir, satisface\(Av_{2} = v_{1}\). Podemos calcular fácilmente la respuesta para que sea\ (x (t) =\ left [\ begin {array} {ccccc}
t & 1 & 0 & 0 &] ^ {\ prime}
\ end {array}\ right.\) lo que implica que el carro se desviará con velocidad constante pero permanecerá en posición vertical. Observe que la respuesta se encuentra en el lapso lineal de\(v_{1}\) y\(v_{2}\).

El caso donde\(x(0) = v_{3}\) corresponde al valor propio\(\lambda= 3.1424\). En este caso, el carro se mueve hacia la izquierda mientras que el péndulo se inclina hacia la derecha con velocidad angular en el sentido de las agujas del reloj. Así, el péndulo se inclina más hacia la derecha, lo que corresponde a un comportamiento inestable. El caso donde\(x(0) = v_{4}\) corresponde al valor propio\(\lambda= -3.1424\). El carro nuevamente se mueve hacia la izquierda con velocidad angular en el sentido de las agujas del reloj, pero el péndulo se inclina hacia la izquierda. Con una combinación apropiada de estas variables (dada por el vector propio\(v_{4}\)) la respuesta del sistema converge a la posición de equilibrio vertical en el origen.