18.3: Restricciones algebraicas

En general, nos gustaría diseñar controladores de retroalimentación para atenuar tanto el ruido como las perturbaciones en la salida. Hemos examinado las condiciones SISO y MIMO que garantizan el rechazo de perturbaciones de baja frecuencia, así como condiciones similares para el rechazo de ruido de alta frecuencia. Sin embargo, uno podría preguntarse si podemos

1. minimizar la influencia del ruido o las perturbaciones en todas las frecuencias, y/o
2. minimizar la influencia tanto del ruido como de las perturbaciones a la misma frecuencia.

Comencemos esta discusión recordando lo siguiente:

• \(S=(I+P K)^{-1}\)es la función de transferencia que mapea perturbaciones a la salida;
• \(T=P K(I+P K)^{-1}\)es la función de transferencia que mapea el ruido a la salida.

Como mencionamos anteriormente, en un diseño de control suele ser deseable hacer\(S\) tanto como\(T\) pequeños. Sin embargo, debido a las restricciones algebraicas, ambos objetivos no son alcanzables simultáneamente con la misma frecuencia. Estas restricciones son las siguientes.

Limitaciones Generales

\(S + T = I\)para todas las frecuencias complejas (dominio Laplace)\(s\). Esto se verifica fácilmente, ya que

\ [\ begin {alineado}
S+T & =( I+P K) ^ {-1} +P K (I+P K) ^ {-1}\\
& =( I+P K) (I+P K) ^ {-1}\\
&=I
\ end {alineado}\ nonumber\]

Este resultado implica que si\(\sigma_{\max }[S(j \omega)]\) es pequeño en algún rango de frecuencia,\(\sigma_{\max }[T(j \omega)] \sim 1\). Lo contrario también es cierto.

Afortunadamente, rara vez necesitamos hacer que ambas funciones sean pequeñas en la misma región de frecuencia.

Limitaciones debido a ceros y polos RHP

Antes de discutir estas limitaciones, citamos el siguiente hecho a partir de análisis complejos:

\(H(s)\)Sea un sistema de tiempo continuo estable, causal, lineal invariante en el tiempo. El principio del módulo máximo implica que

\[\sigma_{\max }[H(s)] \leq \sup _{\omega} \sigma \max [H(j \omega)]=\|H\|_{\infty} \quad \forall s \in \operatorname{RHP}\nonumber\]

Es decir, una función estable, que es analítica en el RHP, logra su valor máximo sobre el RHP cuando se evalúa en el eje imaginario.

Con este resultado, podemos llegar a relaciones entre polos y ceros de la planta\(P\) ubicada en el RHP y limitaciones en el rendimiento (e.g., perturbación y rechazo de ruido).

Sistemas SISO: rechazo de perturbaciones

Considere la función de sensibilidad estable\(S=(1+P K)^{-1}\) para cualquier controlador estabilizador\(K\); entonces,

\ [\ begin {aligned}
&S\ left (z_ {i}\ right) =\ left (1+P\ left (z_ {i}\ right) K\ left (z_ {i}\ right)\ right) ^ {-1} =1\ quad\ text {for all}\ operatorname {RHP}\ text {ceros} z_ {i}\ text {of} P\
&S\ izquierda (p_ {i}\ derecha) =\ izquierda (1+P\ izquierda (p_ {i}\ derecha) K\ izquierda (p_ {i}\ derecha)\ derecha) ^ {-1} =0\ quad\ texto {para todos}\ nombreoperador {RHP}\ texto {polos} p_ {i}\ texto {de} P
\ end {alineado}\ nonumber\]

Dado que la\(\mathcal{H}_{\infty}\) norma limita la ganancia de un sistema en todas las frecuencias,

\[1=\left|S\left(z_{i}\right)\right| \leq\|S\|_{\infty}\nonumber\]

Esto significa que no podemos atenuar uniformemente las perturbaciones en todo el rango de frecuencias si hay ceros en el RHP.

Sistemas SISO: Rechazo de Ruido

Dado que la función de transferencia que relaciona una entrada de ruido con la salida es\(T=P K(1+P K)^{-1}\), se\(S\) puede hacer un argumento para\(T\) similar a, pero con los roles de polos y ceros intercambiados. En este caso, los polos RHP de la planta nos restringen de manera uniforme atenuar el ruido en todo el rango de frecuencias.

Sistemas MIMO: rechazo de perturbaciones

Supongamos que\(P\) tiene un cero de transmisión\(\tilde{z} \in \mathrm{RHP}\) con dirección cero de entrada izquierda\(\eta^{*}\). Entonces\(\eta^{*} P(\tilde{z}) K(\tilde{z})=0\), y así

\[\eta^{*}(I+P(\tilde{z}) K(\tilde{z}))^{-1}=\eta^{*}\nonumber\]

Declarado de manera equivalente,

\[\eta^{*} S(\tilde{z})=\eta^{*} \ \tag{18.10}\]

Además, tomando la transposición conjugada de ambos lados,

\[S^{*}(\tilde{z}) \eta=\eta \ \tag{18.11}\]

Luego multiplicamos las expresiones en (18.10) y (18.11), obteniendo

\[\eta^{*} S(\tilde{z}) S^{*}(\tilde{z}) \eta=\eta^{*} \eta \nonumber\]

que puede escribirse alternativamente como

\[\frac{\eta^{*} S(\tilde{z}) S^{*}(\tilde{z}) \eta}{\eta^{*} \eta}=1 \ \tag{18.12}\]

Aplicando el principio de módulo máximo (es decir,\(\max _{s \in \operatorname{RHP}} \sigma_{\max }[S(s)]\) ocurre en el eje imaginario) y observando que el lado izquierdo de (18.12) es menor o igual a\(\sigma_{\max }^{2}[S(\tilde{z})]\), concluimos que

\[\|S\|_{\infty}^{2} \geq \frac{\eta^{*} S(\tilde{z}) S^{*}(\tilde{z}) \eta}{\eta^{*} \eta}=1\nonumber\]

Así, la conclusión con respecto al rechazo de perturbaciones para los sistemas MIMO es la misma que la conclusión a la que llegamos para los sistemas SISO. A saber, los ceros RHP hacen imposible la atenuación de perturbaciones en todas las frecuencias.