18.4: Restricciones analíticas- El efecto “lecho de agua”

Una limitación del rendimiento de los sistemas LTI SISO Feedback (estos sistemas tienen funciones racionales de transferencia de sensibilidad), se conoce como el efecto de lecho de agua. Hablando vagamente, cuando uno diseña un controlador para “empujar” la función de sensibilidad en una dirección particular, otra parte de la función de sensibilidad necesariamente “tira” hacia atrás en la dirección opuesta. Este efecto se debe a una propiedad de las funciones analíticas\(f (s)\) como lo establece el teorema de Cauchy. En palabras, este teorema dice que la línea integral de una función analítica alrededor de cualquier contorno cerrado simple\(C\) en una región R es cero, es decir,

\[\int_{C} f(s) d s=0\nonumber\]

para cada contorno\(C\) en R.

Una prueba de este teorema no se mostrará aquí sino que se puede encontrar en los libros de texto estándar de análisis complejos. Una consecuencia de este teorema es la siguiente restricción integral (conocida como Integral de Bode) sobre la función de transferencia de sensibilidad racional\(S(jw)\):

\[\int_{0}^{\infty} \ln |S(j w \mid d w=\sum_{i} \pi \operatorname{Re}\left(p_{i}\right).\nonumber\]

donde\(\sum_{i} \pi \operatorname{Re}\left(p_{i}\right)\) es la suma sobre los polos inestables de bucle abierto (polos de\(P (jw)K(jw)\)). Este resultado se mantiene para todos los sistemas de circuito cerrado siempre y cuando el producto\(P K\) tenga un grado relativo dos. El resultado implica que hacer\(S(jw)\) pequeñas en casi todas las frecuencias (un objetivo común de rendimiento) es imposible ya que el valor integrado de\(\ln |S(j w)|\) sobre todas las frecuencias debe ser constante. Esta constante es cero para sistemas estables de bucle abierto (\(P K\)estable) y positiva en otros casos. Por lo tanto, al disminuir la función de sensibilidad en un rango de frecuencias, aumenta la misma función en otro rango, de ahí el nombre de “efecto de lecho de agua”. La figura 18.5 a continuación ilustra este fenómeno.

Restricciones en gráficas de valores singulares

Por lo que ya hemos visto, es claro que las gráficas de valores singulares sobre todas las frecuencias son los análogos del sistema MIMO de las parcelas de Bode. El siguiente hecho establece algunos límites simples que involucran valores singulares de\(S\) y\(T\):

Hecho 18.5.1

Si\(S=(I+P K)^{-1}\) y\(T=(I+P K)^{-1}P K\) luego la siguiente retención

\[\left|1-\sigma_{\max }(S)\right| \leq \sigma_{\max }(T) \leq 1+\sigma_{\max }\tag{S}\]

y

\[\left|1-\sigma_{\max }(T)\right| \leq \sigma_{\max }(S) \leq 1+\sigma_{\max }\tag{T}\]

Prueba

Desde\(S + T = I\) entonces claramente

\[\sigma_{\max }(T)=\sigma_{\max }(I-S) \leq \sigma_{\max }(I)+\sigma_{\max }\tag{S}\]

y por lo tanto\(\sigma_{\max }(T) \leq 1+\sigma_{\max }(S)\nonumber\). Para cualquier elemento\(x \in \mathbb{C}^{n}\) con\(\|x\|_{2}=1\) nosotros tenemos

\ [\ begin {alineado}
X-s x &=T x\
\ izquierda|\ |x\ |_ {2} -\ |S x\ |_ {2}\ derecha| &\ leq\ |x-S x\ |_ {2} =\ |T x\ |_ {2}\\
\ izquierda|1-\ |S x\ |_ {2}\ derecha| &\ izquierda\ sigma_ {\ max} (T)\\
\ izquierda|1-\ sigma_ {\ max} (S)\ derecha| &\ leq\ sigma_ {\ max} (T)
\ end {alineado}\ nonumber\]

Combinando esta relación con\(\sigma_{\max }(T) \leq 1+\sigma_{\max }(S)\nonumber\), obtenemos

\[\left|1-\sigma_{\max }(S)\right| \leq \sigma_{\max }(T) \leq 1+\sigma_{\max }\tag{S}\]

La otra relación sigue exactamente de la misma manera.