18.5: Ejercicios

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Ejercicio 18.1

Supongamos que una planta de tiempo discreto viene dada por

\ [P=\ left (\ begin {array} {c}
\ frac {1-2 z^ {-1}} {1-.5 z^ {-1}}\\
\ frac {1-z^ {-1}} {1-.5 z^ {-1}}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

¿Existe un controlador que atenúe uniformemente la función de sensibilidad de entrada\((I+P K)^{-1}\), es decir,\(\left\|(I+K P)^{-1}\right\|_{\infty}<1\). Explique.

Ejercicio 18.2

Deja que una planta sea dada por

\ [G (s) =\ left (\ begin {array} {cc}
\ frac {s-1} {s+1} & -5\\
\ frac {s+2} {(s+1) ^ {2}} &\ frac {s-1} {s+1}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Nos interesa verificar si existe o no un controlador\(K\) tal que la sensibilidad de salida\(S=(I+P K)^{-1}\) satisfaga\(\|S\|_{\infty}<1\) (es decir, el valor singular máximo es estrictamente inferior a 1 para todas las frecuencias). Si esto es posible, nos gustaría encontrar un controlador de este tipo.

Un ingeniero argumentó lo siguiente: Dado que las funciones de transferencia de u1 a y1 y u2 a y2 tienen ceros de fase no mínima, entonces la sensibilidad no puede atenuarse uniformemente. ¿Aceptas este argumento? Si es así, explícale su razonamiento, y si no explique por qué no.
Otro ingeniero sugirió que el controlador puede invertir la planta y agregar un factor de escalado, de manera que la sensibilidad sea uniformemente inferior a 1. Nuevamente discutir esta opción y argumentar a favor o en contra de ella.

Ejercicio 18.3

Considere la siguiente planta MIMO\(P (s)\) cuya descripción del espacio de estado es

\ [\ punto {x} (t) =\ left [\ begin {array} {cccc}
-1.5 & 1 & 0 & 1\\
2 & -3 & 2 & 0 & 0\\
0 & .5 & -2 & 1\\
1 & -1.5 & 0 & -5
\ end {array}\ right] x (t) +\ left [\ begin {array} {cc}
1 & 0\\
0 & 0\\
1 & 1\\
0 & 1.8
\ end {array}\ derecha] u\ tag {t}\]

\ [y (t) =\ left [\ begin {array} {cccc}
0 & 2.4 & -3.1 & 1\\
1 & 6 & -.5 & -2.8
\ end {array}\ derecha] x\ tag {t}\]

(a) Utilice Matlab para calcular los polos y los ceros de la planta, así como las direcciones de cero de entrada asociadas. (Los ceros de transmisión deberían estar alrededor\(-.544 \pm j 2.43\).)

(b) Trazar los valores singulares de P (j!) para\(\omega \in\left[-10^{-2}, 10^{2}\right]\) rad/seg. Relacionar las formas de los valores singulares con el polo y las frecuencias cero de\(P (s)\).

c) Calcular\(\|P\|_{\infty}\) usando la matriz hamiltoniana y la “iteración gamma”, y comparar el resultado con la parte b).

(d) Considerar el bucle de servo retroalimentación MIMO estándar con un compensador de matriz de transferencia que\(K(s)\) precede\(P (s)\) en el bucle directo. La entrada al compensador es la señal de error\(e(t) = r(t)-y(t)\), donde\(r(t)\) es una señal de referencia externa. Diseño\(K(s)\) para tener las siguientes propiedades: (i)\(K(s)\) debe ser estrictamente apropiado, de segundo orden (es decir, una realización mínima del mismo es de segundo orden), sin ceros de transmisión, y con polos que cancelen exactamente los ceros de transmisión de\(P (s) -\) por lo que\(P (s)K(s)\) no tiene estos ceros.

ii)\(\lim _{s \rightarrow 0} P(s) K(s)=40 I\)

También obtener una descripción estado-espacio de\(K(s)\).

e) Trazar los valores singulares de la respuesta de frecuencia de bucle abierto\(P(j \omega) K(j \omega)\), la función de sensibilidad y (\ S (j\ omega)\), y la respuesta de frecuencia de bucle cerrado (o función de sensibilidad complementaria)\(T(j \omega)=I-S(j \omega)\).

(f) Predecir el valor de estado estacionario del vector de salida\(y(t)\) cuando la entrada de referencia al sistema de bucle cerrado (que se asume inicialmente en reposo) es el paso

\ [r (t) =\ left [\ begin {array} {c}
7\\
-3
\ end {array}\ derecha],\ quad t\ geq 0\\ tag {18.13}\]

y verificar por computación (¡con Matlab!) la respuesta transitoria para la entrada de paso anterior. Al examinar cuidadosamente los transitorios de las señales de entrada y salida de control, se discuten las implicaciones de tener polos oscilatorios en el compensador que cancelen los ceros de las transmisiones de la planta.

(g) Predecir el valor máximo y mínimo en estado estacionario del error de seguimiento\(e(t)\) cuando el vector de entrada de comando comprende sinusoides unitarios a una frecuencia de\ (\ omega=1) rad/seg. Repita para\ (\ omega= 2.5) rad/seg.