20.6: El Teorema de la Pequeña Ganancia

Dado que todos los términos en\(G_{wz}\) otros que\((I-M \Delta)^{-1}\) se sabe que son estables, tendremos estabilidad y\(G_{wz}\), por lo tanto, una estabilidad garantizada del sistema de bucle cerrado real, si\((I-M \Delta)^{-1}\) es estable para todos los permitidos\(\Delta\). En lo que sigue, llegaremos a una condición -la condición de pequeña ganancia - que garantice la estabilidad de\((I-M \Delta)^{-1}\). También se puede demostrar (ver Apéndice) que si se viola esta condición, entonces hay un establo\(\Delta\) con\(\|\Delta\|_{\infty} \leq 1\) tal que\((I-M \Delta)^{-1}\) y\(\Delta (I-M \Delta)^{-1}\) son inestables, y\(G_{wz}\) es inestable para alguna elección de\(z\) y\(w\).

Teorema 20.1 (Teorema de Pequeña Ganancia “No Estructurada”)

Definir el conjunto de matrices de perturbación estables\(\Delta \triangleq\left\{\Delta \mid\|\Delta\|_{\infty} \leq 1\right\}\). Si\(M\) es estable, entonces\((I-M \Delta)^{-1}\) y\(\Delta (I-M \Delta)^{-1}\) son estables para cada uno\(\Delta\) en\(Delta\) si y solo si\(\|M\|_{\infty}<1\).

Prueba

La prueba de necesidad (ver Apéndice) es por construcción de un permitido\(\Delta\) que cause\((I-M \Delta)^{-1}\) y\(\Delta(I-M \Delta)^{-1}\) sea inestable si\(\|M\|_{\infty} \geq 1\), y asegura que\(G_{wz}\) es inestable. Para aquí, nos enfocamos en la prueba de suficiencia. Tenemos que demostrar que si\(\|M\|_{\infty}<1\) entonces no\((I-M \Delta)^{-1}\) tiene polos en el semiplano derecho cerrado para alguno\(\Delta \in \Delta\), o equivalentemente eso no\(I-M \Delta\) tiene ceros ahí. Para arbitrarios\(x \neq 0\) y cualquiera\(s_{+}\) en el semiplano derecho cerrado (CRHP), y utilizando el hecho de que ambos\(M\) y\(\Delta\) están bien definidos a lo largo del CRHP, podemos deducir que

\ [\ comenzar {alineado}
\ izquierda\ |\ izquierda [I-M\ izquierda (s_ {+}\ derecha)\ Delta\ izquierda (s_ {+}\ derecha)\ derecha] x\ derecha\ |_ {2} &\ geq\ |x\ |_ {2} -\ izquierda\ |M\ izquierda (s_ {+}\ derecha)\ Delta\ izquierda (s_ {+} derecha\) x\ derecha\ |_ {2}\\
&\ geq\ |x\ |_ {2} -\ sigma_ {\ max}\ izquierda [M\ izquierda (s_ {+}\ derecha)\ Delta\ izquierda (s_ {+}\ derecha)\ derecha]\ |x\ |_ {2}\\
&\ geq\ |x\ |_ {2} -\ |M\ |_ {\ infty}\ |\ Delta\ |_ {\ infty}\ |x\ |_ {2}\
&>0
\ end {alineado}\\ tag {20.10}\]

La primera desigualdad anterior es una simple aplicación de la desigualdad triangular. La tercera desigualdad anterior resulta del Teorema de Módulo Máximo del análisis complejo, que dice que la mayor magnitud de una función compleja sobre una región del plano complejo se encuentra en el límite de la región, si la función es analítica dentro y en el límite de la región. En nuestro caso, ambos\(q^{\prime} M^{\prime} M q\) y\(q^{\prime} \Delta^{\prime} \Delta q\) son estables, y por lo tanto analíticos, en el CRHP, para vectores unitarios\(q\); de ahí que sus mayores valores sobre el CRHP se encuentren en el eje imaginario. La desigualdad final en el conjunto anterior es consecuencia de las hipótesis del teorema, y establece que\(I-M \Delta\) es no singular -y por lo tanto no tiene ceros- en el CRHP.