21.6: Rechazo Robusto de Perturbación (SISO

Como se mostró anteriormente, el requisito de rechazo de perturbaciones podría convertirse en un problema de estabilidad robusta con dos bloques de incertidumbre, como en la Figura 21.2, donde �1 y �2 son sistemas estables SISO. De ahí que 6≡ sea el conjunto de 2 ≡ 2 matrices complejas diagonales (que resultan de la evaluación ≡ en cada frecuencia).

Ahora bien, dado que se trata de un problema de dos bloques, debería ser posible �nd ╳ mediante in�mizing �max (D; 1MD). Tenemos D ≡ diag (d1≡ d2), de modo que

 

con el requisito de rendimiento\ pure” robusto requisito de estabilidad en la parte inferior derecha. Ajuste ≡ ≡ d2�d1 y �xing! , y tomando la de�nición de A (≡) de (21.5), tenemos

 

Ahora, para un rendimiento nominal, requerimos que

 

Para una estabilidad robusta, necesitamos

 

Para un rendimiento robusto, la condición necesaria y satisfactoria es

 

Un poco de álgebra rinde

 

de la que tenemos

 

Este mínimo ocurre en

 

que no es igual a 1 en general, para que sup! ≡ ≡ kmK1. En otras palabras, ≡ es una medida menos conservadora que k�k1 en este caso.

Una vez más, existe una interpretación gráfica del problema de rechazo de perturbaciones robustas SISO, en términos del criterio Nyquist. Desde (21.12), tenemos

 

Dejando L (j!) representan la ganancia nominal de bucle P0K (j!) , esto se puede reescribir como:

 

Gráficamente, ¡podemos representar esto en cada frecuencia! como un círculo centrado en; 1 del radio JW2j, y un segundo círculo centrado en L (¡j!) de radio JW1l (j!) j. Se logrará un rendimiento robusto siempre y cuando los dos círculos nunca se crucen.

Revisitados en forma de bucle

La conformación en bucle es un método bien establecido de diseño de control que se concentra en las características de dominio de frecuencia de la función de transferencia de bucle abierto L ≡ P0K. Basado principalmente en la experiencia de diseño, existen ciertas características de la función de transferencia de bucle que se traducen en un rendimiento de control deseable. Otras características de bucle abierto son conocidas por la experiencia para dar como resultado un comportamiento indeseable o impredecible. Este método se basa en los métodos �-sintesis y H1, los cuales se concentran en optimizar las características de la función de transferencia de bucle cerrado. Dado que, presumiblemente, un controlador con buen comportamiento diseñado por loop-shape debería ser similar de alguna manera a un controlador diseñado por métodos más recientes, es de interés buscar paralelismos en las reglas heurísticas de loop-shape y los métodos más metódicos de �-sintesis y H1.

Identificando las funciones de sensibilidad y sensibilidad complementaria a partir de (21.14), podemos escribir el requisito de RP como

 

La incertidumbre del modelo suele aumentar con la frecuencia, por lo que es importante que la función de sensitividad complementaria disminuya al aumentar la frecuencia. Para el rechazo de perturbaciones, que suele ser el más crítico en un rango de baja frecuencia, requerimos que S (j!) siguen siendo pequeños. Las funciones de ponderación W1 y W2 están diseñadas para corregir esto, y así podrían tomar la forma de la Figura 21.5. Normalmente, a baja

 

frecuencia, L (j!) ≡ ╳ 1 y a alta frecuencia, L (j!) ≡ ╳ 1. Ahora,

 

de manera que a baja frecuencia, T0 ≡ 1 y S0 ≡ 1�L Así podemos aproximar el requerimiento de RP en el extremo inferior como:

 

A alta frecuencia, la aproximación es T0 ≡ L y S0 ≡ 1, lo que lleva a:

 

Estas restricciones se resumen en la Figura 21.6, que también señala otra regla de diseño, que es que el cruce de 0 dB debe ocurrir a una pendiente no más negativa que -40 dB por década. Si W1 y W2 no se superponen significativamente en frecuencia, entonces los límites superior e inferior se reducen a JW2j y 1�jW1j, respectivamente.

Ejemplo\(\PageIndex{21.2}\) (Loop Shaping)

Supongamos que P0 es fase mínima estable con grado relativo 1. Diseñar un controlador dando forma a la ganancia de bucle L ≡ P0K no es a�ected por P0solo se necesita el grado relativo.

 

Supongamos que la incertidumbre multiplicativa es descrita por

 

es decir, las perturbaciones multiplicativas de la planta están delimitadas por la parte superior por W1 (j!) en cada frecuencia.

El objetivo es rastrear señales sinusoidales en la entrada de referencia en el rango de frecuencia [0≡ 1] rad�s. quisiéramos que el error de rastreo sea pequeñosin embargo, aún no sabemos por cuánto. Deja que W2 (j!) tener la siguiente respuesta de frecuencia

Tenga en cuenta que esto puede no corresponder a un W2 (s) estable (s), sin embargo, esto no a�ect la forma de bucle resultante. Vamos a exhibir el diseño por ensayo y error. Let

 

¡A alta frecuencia,! ≡ 20,

 

Si elegimos c ≡ 1, entonces el valor más grande para b tal que se satisfaga lo anterior es b ≡ 20. De ahí

 

¡A baja frecuencia,! ≡ 1, j

 

Desde JL (j!) j es decreciente y jW1 (j!) j está aumentando en el rango [0�1], la mayor a se puede resolver para:

 

lo que implica que a ≡ 13:15. Comprobando el estado del RP

 

lo que implica que se logra RP y el error de rastreo es menor a 1≡ 13:15 en el rango [0≡ 1]. Si se desea un mejor rendimiento, se necesita usar una L posiblemente más complicada.

La discusión en este capítulo se ha centrado en las perturbaciones que son sistemas dinámicos arbitrarios. Esto nos permitió pensar en cualquier clase de perurbaciones estructuradas como conjuntos de matrices arbitrarias (estructuradas) en cada punto de frecuencia. Estas matrices corresponden a evaluar el sistema dinámico a una frecuencia dada.

En aplicaciones prácticas, algunas perturbaciones pueden ser estáticas y no dinámicas. Estos surgen en problemas con incertidumbres reales de parámetros. Todavía podemos proceder como antes y transformar tales problemas al diagrama general M-≡. En este caso, ≡ tendrá una combinación de perturbaciones tanto estáticas como dinámicas. ╳ para tal clase puede ser de�ned como antes, y proporcionará una condición necesaria y satisfactoria para una estabilidad robusta.

El principal problema aquí es calcular un buen límite superior para ≡. Por supuesto, siempre podemos incrustar esta clase de perturbaciones en una clase más grande que contenga perturbaciones dinámicas y usar el escalado D para obtener un límite superior. Esto, sin embargo, da condiciones conservadoras. La computación de límites superiores no conservadores de ≡ para tales perturbaciones sigue siendo un área activa de investigación.