22.2: El problema de la alcanzabilidad

En conferencias anteriores hemos examinado soluciones de modelos estado-espacio, la estabilidad de modelos no impulsados, algunas propiedades de las interconexiones y la estabilidad entrada-salida. Pasamos ahora a un examen más detallado de cómo los insumos afectan a los estados, para el sistema\(n^{th}\) -order DT

\[x(i+1)=A x(i)+B u(i)\label{22.1}\]

(La discusión de la alcanzabilidad en el caso DT es generalmente más simple que en el caso CT que consideraremos el próximo Capítulo, pero algunas sutilezas estructurales que se ocultan en el caso CT se hacen más evidentes en el caso DT. En su mayor parte, sin embargo, los resultados de DT son paralelos a los resultados de TC bastante de cerca.

Recordemos que

\ [\ begin {alineado}
x (k) &=A^ {k} x (0) +\ sum_ {i=0} ^ {k-1} A^ {k-i-1} B u (i)\\
&=A^ {k} x (0) +\ izquierda [A^ {k-1} B\ izquierda|A^ {k-2} B\ derecha|\ cdots\ medio B derecho\]\\
&=A^ {k} x (0) +R_ {k}\ mathcal {U} _ {k}
\ final {alineado}\ etiqueta {22.2}\]

donde la definición de\(R_{k}\) y\(U_{k}\) debe quedar clara a partir de la ecuación que los precede. Ahora considere si y cómo podemos elegir la secuencia de entrada\(u(i), i \in[0, k-1]\), para mover el sistema de\(x(0) = 0\) a un estado objetivo deseado\(x(k) = d\) en un momento dado\(k\). Si hay tal entrada, decimos que el estado\(d\) es alcanzable en\(k\) pasos. Es evidente a partir de (22.2) que | suponiendo que no hay restricciones en la entrada - el conjunto\(\mathbb{R}_{k}\) de estados alcanzables desde el origen en\(k\) pasos, o el conjunto\(k\) -alcanzable, es precisamente el rango de\(R_{k}\), i.e.

\[\mathbb{R}_{k}=R a\left(R_{k}\right)\label{22.3}\]

El conjunto\(k\) -alcanzable es por lo tanto un subespacio, y puede ser referido como el subespacio\(k\) -alcanzable. Llamamos a la matriz\(R_{k}\) la matriz de alcanzabilidad\(k\) -step.

Teorema\(\PageIndex{22.1}\)

Para\(k \leq n \leq \ell\),

\[R a\left(R_{k}\right) \subseteq R a\left(R_{n}\right)=R a\left(R_{\ell}\right)\label{22.4}\]

por lo que el conjunto de estados alcanzables desde el origen en algún número (finito) de pasos por la elección apropiada de control es precisamente el subespacio de estados alcanzables en\(n\) pasos.

Prueba

El hecho de que\(R a\left(R_{k}\right) \subseteq R a\left(R_{n}\right)\) para\(k \leq n\) se desprende trivialmente del hecho de que las columnas de\(R_{k}\) están en- cluidas entre las de\(R_{n}\). Para demostrar que\(R a\left(R_{n}\right)=R a\left(R_{\ell}\right)\) para\(\ell \geq n\), nota del teorema de Cayley-Hamilton que\(A^{i}\) para se\(i \geq n\) puede escribir como una combinación lineal de\(A^{n-1}, \cdots, A, I\), por lo que todas las columnas de\(R_{\ell}\) for\(\ell \geq n\) son combinaciones lineales de las columnas de\(R_{n}\). Así se prueba (22.4), y el resto de la afirmación del teorema sigue directamente.

En vista del Teorema 22.1, el subespacio de estados alcanzables en\(n\) etapas\(Ra(Rn)\), es decir, se conoce como el subespacio alcanzable, y se denotará simplemente por\(\mathbb{R}\); cualquier estado objetivo alcanzable, es decir, cualquier estado en\(\mathbb{R}\), es alcanzable en\(n\) pasos (o menos). El sistema se denomina un sistema alcanzable si todo\(\mathbb{R}^{n}\) es accesible, es decir, si\(rank(R_{n}) = n\). La matriz

\ [R_ {n} =\ izquierda [A^ {n-1} B\ izquierda|A^ {n-2} B\ derecha|\ cdots\ mediados B\ derecha]\ etiqueta {22.5}\)

se denomina la matriz de alcanzabilidad (a menudo escrita con sus entradas de bloque ordenadas de manera opuesta al orden que hemos usado aquí, pero esto no es significativo).

Ejemplo\(\PageIndex{22.1}\)

Considere el sistema de entrada única

\ [\ left [\ begin {array} {l}
x_ {1} (k+1)\\
x_ {2} (k+1)
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
x_ {1} (k)\\
x_ {2} (k)
\ end {array}\ right] +\ left [\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ right] u\ tag {k}\]

El subespacio alcanzable es evidentemente (desde la simetría) la línea\(x_{1}=x_{2}\). Este sistema no es accesible.

La siguiente caracterización alternativa de\(\mathbb{R}_{k}\) es útil, particularmente porque su versión TC jugará un papel importante en nuestro desarrollo de la historia de la alcanzabilidad de la TC. Primero definamos la alcanzabilidad de k-step Gramian\(\mathcal{P}_{k}\) por

\[\mathcal{P}_{k}=R_{k} R_{k}^{T}=\sum_{i=0}^{k-1} A^{i} B B^{T}\left(A^{T}\right)^{i}\label{22.6}\]

Esta matriz es, por tanto, simétrica y positiva semidefinida. Entonces tenemos el siguiente resultado.

Lema\(\PageIndex{22.1}\)

\[R a\left(\mathcal{P}_{k}\right)=R a\left(R_{k}\right)=\mathbb{R}_{k}\label{22.7}\]

Prueba

Eso es fácil de ver\(R a\left(\mathcal{P}_{k}\right) \subset R a\left(R_{k}\right)\). Para la inclusión inversa, podemos demostrar de manera equivalente que

\[R a^{\perp}\left(\mathcal{P}_{k}\right) \subset R a^{\perp}\left(R_{k}\right)\nonumber\]

Para ello, tenga en cuenta que

\ [\ begin {alineado}
q^ {T}\ mathcal {P} _ _ {k} =0 &\ Longrightarrow q^ {T}\ mathcal {P} _ {k} q=0\
&\ Longleftrightarrow\ izquierda\ langle R_ {k} ^ {T} q, R_ {k} ^ {T} q\ derecha\ rangle=0\
&\ Longleftrightarrow q^ {T} R_ {k} =0
\ final {alineado}\ nonumber\]

por lo que cualquier vector en también\(R a^{\perp}\left(\mathcal{P}_{k}\right)\) está en\(R a^{\perp}\left(R_{k}\right)\).

Así, el subespacio alcanzable puede calcularse de manera equivalente como\(Ra(P_{ell})\) para cualquiera\(\ell \geq n\). Si el sistema es estable, entonces\(P_{\infty} := P\) está bien definido, y se demuestra fácilmente que satisface la ecuación de Lyapunov

\[A P \Lambda^{T} \quad P=B B^{T}\label{22.8}\]

Te dejamos para demostrar que (22.8) tiene una solución (única) positiva definida (y por lo tanto de rango completo)\(P\) si y solo si el sistema\((A, B)\) es accesible.

Alcance desde un Estado Inicial Arbitrario

Nota de (22.2) que pasar de un estado de inicio distinto de cero\(x(0) = s\) a un estado objetivo\(x(k) = d\) requiere que\(\mathcal{U}_{k}\) encontremos un

\[d-A^{k} s=R_{k} \mathcal{U}_{k}\label{22.9}\]

Para arbitrario\(d\)\(s\),, la condición requerida es la misma que para la alcanzabilidad desde el origen. Así podemos pasar de un estado inicial arbitrario a un estado final arbitrario si y sólo si el sistema es accesible (desde el origen); y podemos hacer la transición en\(n\) pasos o menos, cuando la transición es posible.

Controlabilidad versus alcanzabilidad

Consideremos ahora lo que se llama el problema de controlabilidad, es decir, el de llevar un estado inicial arbitrario\(x(0)\) al origen en un número finito de pasos. Desde (22.2) vemos que esto requiere resolver

\[-A^{k} x(0)=R_{k} \mathcal{U}_{k}\label{22.10}\]

Si\(A\) es invertible y\(x(0)\) es arbitrario, entonces el lado izquierdo de (22.10) es arbitrario, por lo que la condición para la controlabilidad de\(x(0)\) al origen en un número finito de pasos es precisamente ese rango\( (R_{k} ) = n\) para algunos\(k\), es decir, solo la condición de alcanzabilidad que\(rank(R_{n}) = n\).

Si, por otro lado,\(A\) es singular (es decir, tiene valores propios en 0), entonces el lado izquierdo de (22.10) estará confinado a un subespacio del espacio de estado, incluso cuando no\(x(0)\) esté restringido. El rango de\(A_{k}\) para un singular\(A\) puede disminuir inicialmente, pero\(Ra(A^{k} ) = Ra(A^{n} )\) para\(k \geq n\) (ya que por etapa\(n\) los bloques Jordan asociados con los valores propios cero de\(A\) están garantizados haber sido\ zeroed out” in\(A^{n}\)). En tanto, como hemos visto, el rango de\(R_{k}\) puede aumentar inicialmente, pero\(Ra(R_{k} ) = Ra(R_{n})\) para\(k \geq n\).

Se deduce de estos hechos y (22.10) que un estado inicial arbitrario es controlable a 0 en tiempo finito, es decir, el sistema es controlable, iff

\[R a\left(A^{n}\right) \subset R a\left(R_{n}\right)\label{22.11}\]

Para invertible\(A\), recuperamos nuestra condición anterior. (La distinción entre alcanzabilidad y controlabilidad no se ve en el caso de TC, porque la matriz de transición de estado hay\(e^{At}\) más que\(A^{k}\), y siempre es invertible).