22.3: Aspectos Modal

El siguiente resultado comienza a hacer la conexión de la alcanzabilidad con la estructura modal.

Corolario\(\PageIndex{22.1}\)

El subespacio alcanzable\(\mathbb{R}\) es\(A\) -invariante, i.e\(x \in \mathbb{R} \Longrightarrow A x \in \mathbb{R}\). Escribimos esto como\(A \mathbb{R} \subset \mathbb{R}\)

Prueba

Primero mostramos

\[R a\left(A R_{n}\right) \subset R a\left(R_{n}\right)\label{22.12}\]

Para ello, tenga en cuenta que

\ [A R_ {n} =\ left [\ begin {array} {l|l|l|l}
A^ {n} B & A^ {n-1} B &\ cdots & A B
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Los últimos\(n - 1\) bloques están presentes en\(R_{n}\), mientras que el teorema de Cayley-Hamilton nos permite escribir\(A^{n}B\) como una combinación lineal de bloques en\(R_{n}\). Esto establece (22.12). De ello se deduce que\(x=R_{n} \alpha \Longrightarrow A x=A R_{n} \alpha=R_{n} \beta \in \mathbb{R}\).

Algunos sienten cómo este resultado se conecta a la estructura modal se puede obtener considerando lo que sucede si el subespacio\(\mathbb{R}\) es unidimensional. Si\(v(\neq 0)\) es un vector base para R, entonces el Corolario 22.1 establece que

\[A v=\lambda v\label{22.13}\]

para algunos\(\lambda\),\(\mathbb{R}\) es decir, es el espacio abarcado por un vector propio de\(A\). De manera más general, es cierto que cualquier subespacio\(A\) -invariante es el lapso de algunos vectores propios y vectores propios generalizados de\(A\). (Resulta que\(\mathbb{R}\) es el subespacio\(A\) -invariante más pequeño que contiene\(Ra(B)\), pero no vamos a perseguir este hecho).

Pruebas de alcanzabilidad modal

Una aplicación inmediata del formulario estándar es probar la siguiente prueba modal para (un) alcanzabilidad

Teorema\(\PageIndex{22.2}\)

El sistema (22.1) es inalcanzable si y solo si\(w^{T} B=0\) para algún vector propio izquierdo\(w^{T}\) de\(A\). Decimos que el valor propio correspondiente\(\lambda\) es un valor propio inalcanzable.

Prueba

Si\(w^{T} B=0\) y\(w^{T} A=\lambda w^{T}\) con\(w^{T} \neq 0\), entonces\(w^{T} A B=\lambda w^{T} B=0\) y de manera similar\(w^{T} A^{k} B=0\), así\(w^{T} R_{n}=0\), es decir, el sistema es inalcanzable.

Por el contrario, si el sistema es inalcanzable, transfórmelo a la forma estándar (22.14). Ahora vamos a\(w_{2}^{T}\) denotar un vector propio izquierdo de\(A_{2}\), con valor propio\(\lambda\). Entonces\ (w^ {T} =\ left [\ begin {array} {ll}
0 & w_ {2} ^ {T}
\ end {array}\ right]\) es un vector propio izquierdo de la\(A\) matriz transformada, es decir\(\bar{A}\), y es ortogonal a las (columnas de la) transformada\(B\), es decir\(\bar{B}\).

Una forma alternativa de esta prueba aparece en el siguiente resultado.

Corolario\(\PageIndex{22.2}\)

El sistema (22.1) es inalcanzable si y solo si\ (\ left [\ begin {array} {l|l}
z I-A & B
\ end {array}\ right]\) pierde rango para algunos\(z = \lambda\). Este\(\lambda\) es entonces un valor propio inalcanzable

Prueba

La matriz\ (\ left [\ begin {array} {l|l}
z I-A & B
\ end {array}\ right]\) tiene un rango menor que completo en\(z = \lambda\) iff\ (w^ {T}\ left [\ begin {array} {ll}
s I-A & B
\ end {array}\ right] =0\) para algunos\(w^{T} \neq 0\). Pero esto equivale a tener un vector propio izquierdo de\(A\) ser ortogonal a (las columnas de)\(B\).

Ejemplo\(\PageIndex{22.2}\)

Considerar el sistema

\ [x (k+1) =\ underbrackets {\ left [\ begin {array} {cc}
3 & 0\\
0 & 3
\ end {array}\ right]} _ {A} x (k) +\ underbrackets {\ left [\ begin {array} {c}
1\
1
\ end {array}\ derecha]} _ {B} u\ tag {k}\]

Los vectores propios izquierdos de\(A\) asociados con su valor propio en\(\lambda=3\) son\ (w_ {1} ^ {T} =\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0
\ end {array}\ right]\) y\ (w_ {=} ^ {T}\ left [\ begin {array} {ll}
0 & 1
\ end {array}\ right]\), ninguno de los cuales es ortogonal a \(B\). Sin embargo,\ (w_ {0} ^ {T} =\ left [\ begin {array} {ll}
1 & -1
\ end {array}\ right]\) también es un vector propio izquierdo asociado con\(\lambda=3\), y es ortogonal a\(B\). Este ejemplo conduce a casa el hecho de que la prueba modal de inalcanzabilidad solo pide que algún vector propio izquierdo sea ortogonal a\(B\).

Interpretación de la cadena Jordan

Recordemos que el sistema (22.1) puede pensarse como que tiene una colección de “cadenas jordanas” en su núcleo. La alcanzabilidad, que introdujimos por primera vez en términos de alcanzar estados objetivo, resulta también describir nuestra capacidad para “excitar” o impulsar de forma independiente las cadenas jordanas. Esta es la implicación de que el subespacio alcanzable es un subespacio\(A\) -invariante, y es la razón por la que existen las pruebas modales precedentes de alcanzabilidad.

Lo crítico para la alcanzabilidad es poder excitar el inicio de cada cadena; esta excitación puede entonces propagarse por la cadena. Se necesita una condición adicional si varias cadenas tienen el mismo valor propio; en este caso, necesitamos poder excitar independientemente el inicio de cada una de estas cadenas. (El ejemplo 22.2 ilustra que la alcanzabilidad se pierde de otra manera; con una sola entrada, no podemos excitar las dos cadenas idénticas de forma independiente). Con valores propios distintos, no necesitamos imponer esta condición de independencia; la distinción de los autovalores permite movimientos independientes.

Se obtiene una visión adicional al considerar el caso del valor propio distinto con más detalle. En este caso,\(A\) in (22.1) es diagonalizable, y\(A=V \Lambda W\), donde las columnas de\(V\) son los vectores propios derechos de\(A\) y las filas de\(W\) son los vectores propios izquierdos de\(A\). Para\(x(0) = 0\) nosotros tenemos

\[x(k)=\sum_{\ell=1}^{n} v_{\ell} w_{\ell}^{T} B g_{\ell}(k)\label{22.18}\]

donde

\[g_{\ell}(k)=\sum_{i=0}^{k-1} \lambda_{\ell}^{k-i-1} u(i)\label{22.19}\]

Si\(w_{j}^{T} B=0\) para algunos\(j\), entonces (22.18) muestra que\(x(k)\) está confinado al lapso de\(\left\{v_{\ell}\right\}_{\ell \neq j}\) es decir, el sistema no es alcanzable. Por ejemplo, supongamos que tenemos un sistema de segundo orden (n = 2), y supongamos\(w_{1}^{T} B=0\). Entonces si\(x(0) = 0\), la respuesta a cualquier entrada debe estar a lo largo\(v_{2}\). Esto significa que\(v_{2}\) abarca el espacio alcanzable, y que cualquier estado que tenga un componente no\(v_{1}\) es alcanzable.