7.2: Cuatro preguntas

Al desarrollar un concepto contable para una nueva propiedad, hay cuatro preguntas que deben ser respondidas. Cuando se aplican a la energía, las preguntas se vuelven

1. ¿Qué es la energía?
2. ¿Cómo se puede almacenar en un sistema?
3. ¿Cómo se puede transportar?
4. ¿Cómo se puede crear o destruir?

Una vez que hayamos respondido a estas preguntas tendremos la ecuación de equilibrio adecuada para la energía.

7.2.1 ¿Qué es la energía?

A partir de tu estudio de la mecánica básica, ya te han introducido tres tipos de energía: energía cinética, energía potencial gravitacional y energía de resorte (elástica). Cada una de estas energías mecánicas siguió naturalmente de un cálculo del trabajo mecánico requerido para cambiar el estado de un sistema:

Energía Mecánica	Propiedad Cambiada
Energía cinética,\(E_{K}\)	Velocidad traslacional de una partícula.
Energía potencial gravitacional,\(E_{G P}\)	Elevación de una partícula en un campo gravitacional.
Energía de primavera,\(E_{\text {spring}}\)	Largo de un material elástico.

También parecía razonable aplicar el principio contable y combinar la energía mecánica y la potencia mecánica en un balance energético mecánico:\[\frac{d}{dt} \left(E_{K}+E_{G}+E_{\text {Spring}}\right) = \dot{W}_{\text {mech}} \nonumber \] Desafortunadamente, este balance energético mecánico solo es válido bajo ciertas restricciones.

Históricamente, el estudio de lo que ahora llamamos energía se dividió en el estudio del calor y el estudio del trabajo. Los remanentes de esta división siguen con nosotros hoy. El uso común de estos términos implica que el calor es algo que un sistema tiene y puede transferir, y el trabajo es algo que hace un sistema. Uno de los logros culminantes de la física del siglo XIX fue el reconocimiento de que estos dos conceptos podrían unificarse a través de la Primera Ley de la Termodinámica, y que ambos representan mecanismos de transferencia de energía.

En nuestro estudio del momento lineal, teníamos una definición muy precisa para el momento lineal de una partícula y posteriormente para un sistema. Desafortunadamente para el estudiante, no hay una sola expresión para la energía porque la energía toma muchas formas diferentes. Así, nuestra comprensión de la energía se basará en un conjunto de definiciones operativas que nos ayuden a reconocerla. (Aunque esto pueda sonar complicado, no se preocupen. En la mayoría de las aplicaciones, solo están involucradas unas pocas formas de energía fácilmente reconocibles. Las definiciones operativas proporcionan la base para comprender el concepto, pero rara vez se requieren en la práctica diaria).

Trabajo Termodinámico

Ya hemos explorado el trabajo mecánico y hemos aprendido cómo puede cambiar un sistema. Muchas otras interacciones entre un sistema y su entorno también pueden afectar a un sistema de maneras que imitan el trabajo mecánico. Investigar estos efectos requiere un concepto más amplio que incluya el trabajo mecánico como subconjunto. Este concepto más amplio se llama trabajo termodinámico. La definición operativa para el trabajo termodinámico es la siguiente:

El trabajo termodinámico es una interacción entre un sistema y su entorno que ocurre de tal manera que el único cambio en el sistema o en el entorno podría haber sido un aumento en la energía potencial gravitacional del sistema o los alrededores. La magnitud de la obra equivale al incremento de la energía potencial gravitacional que podría haberse producido.

Obsérvese que esta definición no dice que la energía potencial gravitacional del sistema o entorno sí incrementó de hecho. Dice que podría haber aumentado. Normalmente, solo usaremos el término trabajo como sinónimo de trabajo termodinámico. (En breve decidiremos que esta interacción es una transferencia de energía; sin embargo, afirmar esto ahora es lógicamente prematuro). El trabajo mecánico es un subconjunto del trabajo termodinámico. En general, no aplicaremos esta definición directamente una vez que hayamos identificado las formas comunes de trabajo. Sin embargo, sí sirve un propósito cuando se estudian nuevas interacciones.

Proceso adiabático, límite y sistema

Un proceso adiabático es cualquier proceso que implica solo interacciones de trabajo con el entorno. Un límite adiabático es un límite que solo permite interacciones de trabajo con el entorno. Un sistema que solo tiene límites adiabáticos se llama sistema adiabático.

Primera Ley de Termodinámica

Después de mucha experimentación, la Primera Ley de la Termodinámica se convirtió en un principio fundamental establecido en la segunda mitad del siglo XIX. Una forma de ello dice lo siguiente:

Cuando cualquier sistema cerrado se somete a un proceso adiabático, el trabajo neto asociado al cambio de estado es el mismo para todos los procesos adiabáticos posibles que conectan los mismos dos estados finales de equilibrio.

Debido a que la cantidad de trabajo adiabático para un sistema cerrado solo depende de conocer los dos estados finales del sistema, el trabajo adiabático para un sistema cerrado define el cambio en una propiedad para el sistema. Esta propiedad se llama la energía del sistema y se define por la relación: La\[\Delta E_{sys} = E_{sys, \ 2}-E_{sys, \ 1} = W_{1 \text{-} 2, \text { adiabatic}} \quad \text { for a closed system. } \nonumber \] experiencia ha demostrado que el trabajo adiabático requerido para cambiar el estado de un sistema cerrado depende de la cantidad de masa del sistema; así, la energía es una propiedad extensa.

La primera ley de la termodinámica también se puede afirmar como dos postulados:

1. Existe una extensa propiedad llamada energía,\(E\).
2. El cambio de energía para un sistema cerrado entre dos estados cualesquiera se define como el trabajo realizado en el sistema durante un proceso adiabático que conecta los dos estados,\(\Delta E = E_{2} - E_{1} = W_{1 \text{-} 2 \text{ adiabatic}}\).

Esto ahora nos proporciona una manera de calcular el cambio de energía para un sistema cerrado.

Las dimensiones de la energía son las mismas que para el trabajo:\([\text{Force}][\text{Length}]\). Si bien las dimensiones son las mismas, existen varias unidades de energía que son comúnmente utilizadas por los ingenieros. En el sistema SI, la unidad estándar es el joule\((\mathrm{J})\) donde\(1 \mathrm{~J} = 1 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}\). En el sistema USCS, hay dos unidades que ocurren comúnmente: la pie-libra-fuerza\((\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf})\) y la unidad térmica británica\((\mathrm{Btu})\). El pie-libra-fuerza tuvo su nacimiento en el estudio del trabajo mecánico y se utilizó la unidad térmica británica en el estudio del calor. Uno de los resultados más famosos de la física fue la determinación experimental del “equivalente mecánico del calor” por Joule. Hoy sabemos que la relación correcta entre estas dos unidades de energía es aproximadamente\[1 \mathrm{~Btu}=778.17 \mathrm{~ft} \cdot \mathrm{lbf} \nonumber \] Una unidad térmica británica equivale aproximadamente a la cantidad de energía requerida para elevar la temperatura de una libra-masa de agua líquida un grado Fahrenheit a temperatura ambiente.

La primera ley de la termodinámica sólo nos dice cómo calcular el cambio en la energía de un sistema. Esto también es una característica de la energía de propiedad — sólo podemos calcular las diferencias de energía.

Pero ¿qué pasa con la energía cinética y la energía potencial gravitacional y la energía de primavera ¿No podemos evaluar valores absolutos para estas energías usando nuestras ecuaciones familiares? La respuesta es no. Por ejemplo, el valor numérico de la energía cinética de una partícula\(m V^{2} / 2\),, cambia dependiendo del marco de referencia inercial que elija al evaluar la velocidad. Imagina que estás lanzando una pelota de béisbol en un tren en constante movimiento. Si la velocidad se mide con respecto al tren la energía cinética tiene un valor; si la velocidad se mide con respecto al suelo, la energía cinética tendrá un valor diferente. Se pueden hacer argumentos similares para la energía potencial gravitacional y la energía de primavera.

Siguiendo la misma línea de razonamiento que usamos anteriormente con energía mecánica y trabajo mecánico, parece razonable que debamos interpretar el trabajo como un mecanismo para transportar energía a través de los límites de un sistema. En breve mostraremos que el trabajo por sí solo es insuficiente para explicar cómo puede cambiar la energía de un sistema.

7.2.2 ¿Cómo se puede almacenar la energía en un sistema?

A partir de la primera ley de la termodinámica y el concepto de trabajo termodinámico, tenemos una manera de investigar los cambios en la energía de un sistema cerrado (ver Eq. \(\PageIndex{1}\)). Afortunadamente, ingenieros y científicos han desarrollado una imagen bastante completa de las diversas formas en las que la energía se puede almacenar en un sistema.

Tipos de Energía

La energía se puede almacenar de muchas formas. Además de la energía cinética, la energía potencial gravitacional y la energía elástica, existen varios otros tipos de energía. Nos resultará útil clasificar la energía almacenada en un sistema\(E_{\text {sys}}\) en cuatro grupos:\[ E_{sys} = \underbrace{U}_{\begin{array}{c} \text{Internal} \\ \text{energy} \end{array}} + \underbrace{E_K}_{\begin{array}{c} \text{Translational} \\ \text{kinetic energy} \end{array}} + \underbrace{E_{GP}}_{\begin{array}{c} \text{Gravitational} \\\ \text{potential energy} \end{array}} + E_{other} \nonumber \]

donde\(U\) está la energía interna del sistema,\(E_{K}\) es la energía cinética traslacional del sistema,\(E_{G P}\) es la energía potencial gravitacional del sistema, y\(E_{other}\) representa todas las demás formas de energía. Dos de estos son familiares y dos no lo son.

Primero, consideremos los términos familiares. La energía cinética traslacional y la energía potencial gravitacional son las mismas que hemos utilizado anteriormente en este curso y no requieren discusión adicional. Observe que ahora hemos sido más explícitos sobre el tipo de energía cinética que tiene nuestro sistema. Un sistema giratorio con un centro de masa estacionario aún puede almacenar energía como energía cinética rotacional. (Cualquier pieza de maquinaria giratoria puede almacenar una cantidad significativa de energía en su rotación. Contener esta energía durante una falla catastrófica del dispositivo, por ejemplo, la falla de una pala de turbina o la falla de una llanta de neumático, es a menudo un factor de seguridad importante en el diseño del dispositivo).

De las dos nuevas energías, la más importante es la energía interna. La identificación de la energía interna fue consecuencia directa del desarrollo de la primera ley de la termodinámica.

La energía interna de una sustancia es la propiedad extensa que representa la cinética microscópica y la energía potencial de las moléculas y átomos que componen una sustancia.

Cualquier objeto con masa tiene energía interna como resultado de los “movimientos y configuraciones de sus partículas internas” (E. F. Ober y R. A. Gaggioli, Thermodynamics, 2nd Ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1963, pág. 18). Los cambios en la energía interna de un sistema se manifiestan por cambios en otras propiedades como la temperatura, la presión y la densidad.

Energía Interna — ¿De dónde vino?

Para darnos una idea de cómo se descubrió la energía interna y qué es físicamente, considere el dispositivo que se muestra en la figura. El dispositivo consiste en un tanque rígido que está fuertemente aislado. El tanque contiene aire y un conjunto de aspas del ventilador unidas a un eje. El otro extremo del eje está unido a una polea y suspendido de la polea por un cable es una masa.

Figura\(\PageIndex{1}\): Sistema consistente en aspas de ventilador dentro de un contenedor rígido unido a un eje y polea, del cual se suspende una masa fuera del contenedor.

Inicialmente el sistema fan-eje-polla-masa es estacionario. Si se permite que la masa caiga una distancia\(L\) y una vez más se vuelva estacionaria, ¿qué pasa con el gas dentro del tanque?

Podría sugerir que la temperatura del gas podría aumentar, y también su presión. Si esperas lo suficiente el gas también volvería a estar estacionario.

Dado que la energía del sistema cerrado no puede cambiar, la disminución de la energía potencial gravitacional debe equilibrarse con un aumento de otra forma de energía.

Si examináramos un sistema que incluye todo en la imagen, descubriríamos dos cosas:

(1) No hay interacción en el límite del sistema que califique como trabajo termodinámico. Esto es una consecuencia directa del aislamiento. Así, la energía del sistema es constante.

(2) La energía potencial gravitacional del sistema disminuye.

Para este sistema, la energía que aumenta es la energía interna de las paredes del tanque, la pala del ventilador y la porción del eje dentro del tanque. A nivel macroscópico, este cambio en la energía interna podría manifestarse como un aumento en la temperatura del sistema. A nivel microscópico, observaríamos cambios en el movimiento de los átomos y moléculas que forman estos objetos; de ahí el nombre de energía interna.

La interacción que se produce entre la porción del eje fuera del tanque y el eje dentro del tanque de hecho representa un trabajo termodinámico (en breve lo identificaremos como trabajo de eje). Para justificar esto, imagine que el tanque y su contenido fueron reemplazados por un sistema que contenía una polea sin fricción y masa. Ahora la caída del peso en el sistema original da como resultado el aumento de la masa imaginada en un campo gravitacional con solo un aumento de la energía potencial gravitacional del sistema imaginado. Esto satisface nuestra definición de trabajo termodinámico. Tenga en cuenta que al identificar el trabajo termodinámico, no es lo que realmente le sucede a la energía transferida sino lo que podría suceder

El término restante\(E_{other}\) en nuestra expresión energética, la Ec. \(\PageIndex{2}\), incluye todas las demás formas de energía. Estos pueden o no ser importantes dependiendo del sistema que se esté considerando. A continuación se enumeran algunas de las formas más comunes de energía que se pueden almacenar en un sistema:

Energía	Ejemplo
Elástico	Energía almacenada en la deformación de un material elástico, por ejemplo, un resorte.
Cinético, Rotacional	Energía almacenada en un objeto debido a su rotación alrededor de un eje, por ejemplo, un volante
Tensión superficial	Energía almacenada en el estiramiento de una película líquida, por ejemplo, la formación de una gota de lluvia.
Campo eléctrico	Energía almacenada en un campo eléctrico, por ejemplo, un condensador
Campo magnético	Energía almacenada en un campo magnético, por ejemplo, un inductor

Uno de los principales retos en la resolución de problemas es decidir qué formas de energía son importantes para un sistema en particular. Esta lista no es todo inclusiva. A medida que continúas con tu educación, podrás descubrir otras formas de energía que juegan un papel destacado en fenómenos físicos específicos.

Energía específica y la energía de un sistema

Para nuestros propósitos, asumiremos que la energía del sistema está asociada con la masa contenida dentro del sistema; así,\[E_{\mathrm{sys}}=\int\limits_{V_{sys}} e \ \rho dV \nonumber \] dónde\(e\) está la energía por unidad de masa, o la energía específica, del sistema. Las dimensiones de la energía específica son\([\mathrm{Energy}]/[\mathrm{Mass}]\) y las unidades típicas están\(\mathrm{kJ} / \mathrm{kg}\) en SI y\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm}\) o\(\mathrm{Btu} / \mathrm{lbm}\) en USCS. Dado que la energía es una propiedad extensa, la energía de un sistema es igual a la suma de la energía de sus subsistemas. Para algunos tipos de energía, la energía se almacena en realidad en un campo eléctrico o magnético que puede corresponder o no con la masa física del sistema. Esto requerirá un enfoque diferente para asignar la energía del sistema. Normalmente, asumiremos que la energía se encuentra dentro de un dispositivo físico específico, como un condensador o inductor.

7.2.3 ¿Cómo se puede transportar?

La energía se puede transportar a través de los límites de un sistema mediante tres mecanismos diferentes: trabajo, transferencia de calor y transferencia de masa de energía.

Transporte de energía por obra

El transporte de energía por trabajo puede ocurrir tanto en los límites de flujo como de no flujo. Cualquier interacción entre un sistema y su entorno que satisfaga la definición de trabajo termodinámico es una transferencia de trabajo de energía. La tasa de transferencia de trabajo de energía al sistema también se conoce como la potencia y tiene las mismas características que la potencia mecánica discutida anteriormente. Pensando en el poder como una tasa de transferencia de energía, podemos escribir\[\dot{E}_{\text {work}} = \dot{W} \nonumber \] Los subíndices “in” o “out” a menudo se utilizan para indicar la dirección de la transferencia. Cuando resumimos las tasas de transferencia de trabajo de energía para un sistema, frecuentemente reportaremos esto como una tasa neta:\[\sum \dot{W}_{\text{in}} - \sum \dot{W}_{\text{out}} = \dot{W}_{\text{net, in}} = -\dot{W}_{\text{net, out}} \nonumber \] Observe cómo los subíndices están conectados con los signos. Esto se vuelve especialmente importante cuando se copia una ecuación del texto, ya que se debe entender la convención de signos observada para usar correctamente la ecuación derivada.

Hay muchas unidades diferentes para el trabajo y la energía. A continuación se presentan los más comunes utilizados en este curso:

	Sistema SI	Sistema USCS
Trabajo	newton-metro\((\mathrm{N} \cdot \mathrm{m})\) joule\((\mathrm{J})\) kilojulio\((\mathrm{kJ})\)	pie-libra-fuerza\((\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf})\) Unidad térmica británica\((\mathrm{Btu})\)
Poder	newton-medidor de/segundo\((\mathrm{N} \cdot \mathrm{m} /\mathrm{s})\) Julio/segundo\((\mathrm{J} / \mathrm{s})\) vatio\((\mathrm{W})\) kilovatio\((\mathrm{kW})\)	pie-libra-fuerza/segundo\((\text{ft-lbf} / \mathrm{s})\) Unidad térmica británica/segundo\((\mathrm{Btu} / \mathrm{s})\) caballos de fuerza\((\mathrm{hp})\)

Hay muchas maneras en que la energía puede ser transportada a través de un límite sin flujo de un sistema por trabajo. Considere el dispositivo que se muestra en la Figura\(\(\PageIndex{2}\) que consiste en una batería conectada a un motor de CC que gira una rueda de paletas que agita un gas contenido en un dispositivo de pistón-cilindro.

Figura\(\PageIndex{2}\): Ejemplos de transferencia de trabajo de energía.

Inicialmente, todo en el dispositivo es estacionario y la presión del gas en el dispositivo de pistón-cilindro es suficiente para “flotar” el pistón. Si cerramos un interruptor entre la batería y el motor, ¿qué pasaría? Esperaríamos que el motor girara la rueda de paletas y con el tiempo el pistón probablemente se levantaría. (Tómate un minuto y piensa en esto. ¿Esperarías que el pistón suba?) Ahora, ¿cuáles son las transferencias de trabajo de energía para este sistema? Dado que el trabajo se define en términos de transferencias en un límite, identificaremos tres sistemas\(A\),\(B\), y\(C\). Desde una perspectiva de trabajo, la batería (Sistema\(A\)) realiza trabajos eléctricos en el motor (Sistema\(B\)). El motor funciona con el eje en el Sistema\(C\), la rueda de paletas, el eje y el gas dentro del cilindro. Finalmente, el gas realiza trabajos de expansión para mover el pistón. En los siguientes apartados, examinaremos cada uno de estos modos de trabajo con más detalle.

Trabajo de Compresión-Expansión (P dV)

Uno de los modos de trabajo más importantes y generalizados es el trabajo de compresión-expansión. Este es el modo de trabajo que ocurre en el motor de tu auto a medida que el gas caliente y a alta presión se expande contra el pistón. A medida que se expanden, el gas sí funciona en el pistón. Este trabajo se transfiere luego a través de la biela al cigüeñal a la transmisión al eje de transmisión a través del diferencial al eje y finalmente a las ruedas del automóvil. (¡Vaya, qué camino!)

Pero volvamos a lo que le está pasando al gas caliente. Considere el dispositivo simple de pistón-cilindro que se muestra en la Figura\(\PageIndex{3a}\). El gas caliente a alta presión está contenido en el volumen cerrado formado por el pistón y las paredes del cilindro. Para mayor claridad, consideremos el caso de expansión donde el pistón se mueve hacia la derecha. Nos interesa encontrar el trabajo que realiza el pistón sobre el gas:\[W_{in} = \int\limits_{\mathrm{x}_{1}}^{\mathrm{x}_{2}} \mathbf{F}_{\text {surface}} \cdot d \mathbf{x} = \int\limits_{\mathrm{x}_{1}}^{\mathrm{x}_{2}}\left(-F_{\text {piston}} \mathbf{i}\right) \cdot(d x \mathbf{i}) = -\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} F_{\text {piston}} \cdot d x \nonumber \] donde la única fuerza superficial que se mueve es\(F_{\text {piston}}\), la fuerza que ejerce el pistón sobre el gas (Ver Figura\(\PageIndex{3b\)). Tenga en cuenta que el signo menos en la ecuación se produce porque la fuerza actúa de manera opuesta a la dirección de desplazamiento.

a) Dispositivo de pistón-cilindro

b) Contenido del cilindro con fuerza del pistón

Figura\(\PageIndex{3}\): Trabajo de compresión-expansión para un dispositivo de pistón-cilindro.

Esta es una expresión perfectamente buena; sin embargo, sería más útil si pudiera expresarse en términos de las propiedades del gas dentro del sistema. Podemos hacer esto reescribiendo Eq\(\PageIndex{6}\) en términos de la presión promedio en la interfaz pistón-gas y el volumen del sistema:\[\begin{array}{l} W_{\text {in}} &= \displaystyle -\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} F_{\text {piston}} \cdot dx = -\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} \underbrace{\left(\frac{F_{\text {piston}}}{A_{\text {piston}}}\right)}_{=P_{\text {avg}}} \cdot \underbrace{A_{\text {piston}} \ dx}_{=dV} \\ &= \displaystyle -\int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys, \ 1}} ^{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys, \ 2}} P_{\text {avg}} \cdot d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \end{array} \nonumber \] Nuevamente, tenga en cuenta que para evaluar esta ecuación solo se requiere que sepamos la presión promedio en el límite móvil del sistema en función del volumen del sistema.

Si además asumimos que el proceso de expansión (o compresión) ocurre lo suficientemente lento como para que la presión dentro del sistema sea uniforme\(P_{\text {avg}}=P\), entonces, y el trabajo sobre el gas durante un proceso de compresión-expansión se puede describir mediante la ecuación:\[W_{\text {in}} = -\int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys, \ 1}}^{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{sys, \ 2}} P \cdot d V\kern-1.0em\raise0.3ex- \quad \begin{aligned} &\text {Compression-Expansion (PdV) Work} \\ & \text {(Assumes spatially uniform pressure)} \end{aligned} \nonumber \] Este modo de trabajo se conoce comúnmente como trabajo de compresión-expansión o\(PdV\) trabajo. Cuando el sistema está comprimido\((d V\kern-1.0em\raise0.3ex- < 0)\), el pistón funciona en el sistema y\(W_{\text {in}}>0\). Cuando el sistema se expande\((d V\kern-1.0em\raise0.3ex- >0)\), el sistema funciona en el pistón y\(W_{\text {in}}<0\) porque la energía se está transfiriendo fuera del sistema. Este resultado es válido tanto para líquidos como para gases.

Ejemplo —\(PdV\) Work for a Closed System

En la práctica, la ecuación básica para el\(PdV\) trabajo de un sistema cerrado debe integrarse para determinar el trabajo para un proceso. La experiencia indica que hay varios procesos que ocurren con frecuencia y serán investigados aquí. Como siempre se le advierte contra la memorización de fórmulas. Centrarse en cómo se utiliza la suposición del proceso para integrar la ecuación básica para el\(PdV\) trabajo.

Proceso de volumen constante:\(V\kern-1.0em\raise0.3ex- = V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1} = V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}=C, \text{ a constant}\)\[W_{PdV, \text { in}} = -\int\limits_{1}^{2} P \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- = -\int\limits_{1}^{2} P \ \cancel{ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- }^{=0} = 0 \nonumber \]

Proceso de presión constante (isobárico):\(P=P_{1}=P_{2}=C, \text{ a constant}\)\[W_{PdV, \text { in}} = -\int\limits_{1}^{2} P \ d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -\int\limits_{1}^{2} C \ d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = - C\left(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2} - V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}\right) = -P\left(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2} - V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}\right) \nonumber \]

Proceso Politrópico:\(P V\kern-1.0em\raise0.3ex-^{n} = P_{1} V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}{ }^{n} = P_{2} V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}{ }^{n}=C, \text{ a constant}\)

\[W_{PdV, \text{ in}} = -\int\limits_{1}^{2} P \ d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -\int\limits_{1}^{2} \left(\frac{C}{V\kern-0.8em\raise0.3ex-^{n}}\right) d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \nonumber \]

Si\(n=1\):

\[W_{PdV, \text { in}} = -\int\limits_{1}^{2} P \ d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -\int\limits_{1}^{2} \left(\frac{C}{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}\right) d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -C \int\limits_{1}^{2} \frac{d V\kern-0.8em\raise0.3ex-}{V\kern-0.8em\raise0.3ex-} = -C \ln \left(\frac{V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{2}}{V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{1}}\right) = -P V\kern-0.8em\raise0.3ex- \ln \left(\frac{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{2}}{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- _{1}}\right) \nonumber \]

Si\(n \neq 1\):

\[ \begin{align*} W_{PdV, \text { in}} &= -\int\limits_{1}^{2} P \ d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -\int\limits_{1}^{2} \left(\frac{C}{V\kern-0.8em\raise0.3ex-^{n}}\right) d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -C \int\limits_{1}^{2} V\kern-1.0em\raise0.3ex-^{-n} \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \\ &= -C\left[\frac{V\kern-0.8em\raise0.3ex-^{-n+1}}{-n+1}\right]_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{1}}^{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{2}} = -C \left[\frac{V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}{ }^{1-n} - V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}{ }^{1-n}}{1-n}\right] = C\left[\frac{V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}{ }^{1-n} - V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}{ }^{1-n}}{n-1}\right] \\[4pt] &=\left[\frac{C V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}{ }^{1-n} - C V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}{ }^{1-n}}{n-1}\right] = \left[\frac{\left(P_{2} V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}{ }^{n}\right) V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2}{ }^{1-n} - \left(P_{1} V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}{ }^{n}\right) V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}{ }^{1-n}}{n-1}\right] = \frac{\left(P_{2} V\kern-1.0em\raise0.3ex- _{2} - P_{1} V\kern-1.0em\raise0.3ex- _{1}\right)}{n-1} \end{align*} \nonumber \]

Comenzando en el mismo estado inicial 1, graficar un proceso de volumen constante, un proceso de presión constante, y un proceso politrópico con\(n=1\) en una gráfica de\(P \text{ vs. } V\). ¿Cómo se\(W_{PdV}\) relaciona con el área bajo la\(PV\) curva para cada proceso?

a) Mirar en el sistema en un eje de corte

b) Vista final del eje de corte

c) Fuerza de corte diferencial en un punto en el eje de corte

Figura\(\PageIndex{4}\): Vista en un sistema que contiene un eje giratorio.

Trabajo de Eje

Cuando una porción de un límite del sistema está rotando, el trabajo mecánico se realiza en el sistema por fuerzas de corte en la superficie giratoria. El caso más común de esto es cuando un límite del sistema intersecta (corta) un eje giratorio (Ver Figura\(\PageIndex{4}\)). Para calcular el trabajo mecánico, debemos identificar las fuerzas superficiales y su movimiento. La figura\(\PageIndex{4a}\) muestra un límite del sistema que intersecta un eje. La figura\(\PageIndex{4b}\) muestra la sección transversal del eje y la dirección de rotación según se ve mirando hacia el sistema. La figura\(\PageIndex{4c}\) muestra la fuerza de cizallamiento de fuerza diferencial\(d \mathbf{F}_{shear}\) que actúa sobre el eje de corte y el vector de posición\(\mathbf{r}\) donde se aplica. El trabajo mecánico realizado en el eje giratorio dentro del sistema se evalúa como\[W_{\text {shaft, in}} = \int\limits_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \int_{Ac} \underbrace{(\tau \ dA)}_{dF_{shear}} \underbrace{(r \ d \theta)}_{ds} = \int\limits_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \underbrace{\left[\int_{0}^{R} \tau(2 \pi r) r \ dr\right]}_{M_{0}=\text {moment about axis } 0} d \theta = \int\limits_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} M_{0} \cdot d \theta \nonumber \] donde\(M_{0}\) está el momento del par formado por todas las fuerzas de corte que actúan sobre el eje de corte y\(\theta\) es la rotación angular del eje expresada en radianes. Si la rotación del eje (mirando al sistema) tiene el mismo sentido que el momento aplicado al sistema,\(W_{\text {shaft, in}}>0\). Si el sentido del momento y la rotación del eje son opuestos,\(W_{\text {shaft, in}}<0\).

La potencia del eje se calcula usando la ecuación:\[\dot{W}_{\text {shaft, in}}=M_{0} \cdot \omega \nonumber \] donde\(\omega\) está la velocidad de rotación en radianes por segundo\((\mathrm{rad} / \mathrm{s})\) en el límite. Para la mayoría de los sistemas con ejes giratorios, la potencia del eje es de mayor interés que el trabajo del eje.

Trabajo eléctrico y alimentación

La energía puede ser transferida a un sistema por carga eléctrica que fluye a través de un sistema. Cuando una carga se mueve dentro de un campo eléctrico se ejerce una fuerza sobre la carga (Figura\(\PageIndex{5}\)). Cuando la carga se mueve dentro del campo, se trabaja en la carga. Esta situación es análoga a nuestra experiencia anterior con una masa móvil en un campo gravitacional.

Figura\(\PageIndex{5}\): Partícula cargada que se mueve en un campo eléctrico.

Para una partícula que se mueve en un campo gravitacional encontramos que\[W_{\text {mech}}=\Delta E_{K}+\Delta E_{G P} \quad \text { and } \quad \Delta E_{GP} = m \Delta e_{GP}=m g \Delta z \nonumber \] De manera análoga, el trabajo realizado para mover una partícula cargada con carga\(q\) en un campo eléctrico es igual a\[W_{\text {electric}}=\int\limits_{1}^{2} q \ dV = q\left(V_{2-0} - V_{1-0}\right) \nonumber \] dónde\(V_{i-0}\) está el potencial eléctrico en el punto\(i\). El potencial eléctrico es el trabajo mecánico por unidad de carga requerida para mover una partícula cargada en un campo eléctrico estacionario entre un punto de referencia\(O\) y un punto arbitrario\(i\). La unidad estándar para potencial eléctrico es el voltio (V), donde 1 voltio = 1 julio/culombo\((1 \mathrm{~V}=1 \mathrm{~J} / \mathrm{C})\). Al igual que con cualquier trabajo mecánico, el trabajo eléctrico puede ser positivo o negativo.

En muchas aplicaciones, el problema es un sistema donde una corriente eléctrica fluye a través del límite. En una configuración típica, la corriente eléctrica fluye a través del sistema a una tasa conocida sin acumulación dentro del sistema, ver Figura\(\PageIndex{6}\). El potencial eléctrico en el límite donde la corriente cruza el límite del sistema es conocido con respecto a una tierra común. En estas condiciones, la energía eléctrica instantánea al sistema es\[\dot{W}_{\text {electric, in}} = i \cdot\left(V_{\text {in-o =}} - V_{\text {out-o}} \right) \quad \text { Electric Power } \nonumber \] donde\(i\) está la corriente eléctrica cruzando el límite y el potencial eléctrico en los puntos en el límite donde la corriente eléctrica entra y sale del sistema son\(V_{\text {in-o}}\) y\(V_{\text {out-o}}\), respectivamente. Cuando el potencial eléctrico disminuye en la dirección del flujo de corriente, la energía eléctrica es positiva. Cuando el potencial eléctrico aumenta en la dirección del flujo de corriente, la energía eléctrica adentro es negativa.

Un ejemplo que muestra cómo el flujo de corriente en dirección influye en la energía eléctrica para una batería de CC simple se muestra en la Figura\(\(\PageIndex{6}\). Cuando la batería se está cargando, se está agregando energía a la batería y la energía eléctrica es positiva. Cuando la batería se descarga a través de una resistencia, la energía está dejando la batería y la energía eléctrica en la batería es negativa. ¿Cuál sería la dirección y la magnitud de la energía eléctrica para la resistencia?

Figura\(\PageIndex{6}\): Energía eléctrica para una batería de 1.5 voltios.

Trabajo de flujo y potencia

En los límites de flujo, la masa que fluye hacia el sistema sirve para comprimir la masa que ya está dentro del sistema abierto. Este tipo de trabajo se conoce como trabajo de flujo y la velocidad de hacer trabajo de flujo se conoce como potencia de flujo. La potencia de flujo para un sistema se escribe como\[\begin{array}{l} \dot{W}_{\text {flow, net in}} &= \displaystyle \sum_{\text{in}} \dot{W}_{\text {flow, in}} - \sum_{\text{out}} \dot{W}_{\text {flow, out}} \\ &= \displaystyle \sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} \left(P_{i} \nu_{i}\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} \left(P_{e} \nu_{e}\right) \end{array} \nonumber \] dónde\(P \nu\), el producto de la presión y el volumen específico, es el trabajo de flujo específico evaluado en el límite donde ocurre el flujo másico. Un desarrollo detallado de este término se retrasará hasta más tarde. Tenga en cuenta que para un sistema cerrado, no hay caudal másico y, por lo tanto, no hay potencia de flujo. El trabajo de flujo es un mecanismo de transferencia de energía que solo ocurre en sistemas abiertos.

Trabajo y potencia para un sistema

Cuando combinamos las expresiones para las tasas de transferencia de trabajo, la potencia, para un sistema tenemos la siguiente expresión:\[\begin{array}{ll} \dot{E}_{\text {work, net in}} &= \displaystyle \underbrace{ \left[\sum \dot{W}_{\text {in}} - \sum \dot{W}_{\text {out}}\right] }_{\begin{array}{c} \text {Rate of energy transfer by work} \\ \text {(excluding flow work)} \\ \text{(Power)} \end{array}} &+ \quad \displaystyle \underbrace{ \left[\sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} \left(P_{i} \nu_{i}\right) - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} \left(P_{e} \nu_{e}\right)\right] }_{\begin{array}{c} \text {Rate of energy transfer by flow work} \\ \text{(Flow Power)} \end{array}} \\ &= \quad\quad\quad \dot{W}_{\text{net, in}} &+ \displaystyle \quad \left[\sum_{\text{in}} \dot{m}_{i}\left(P_{i} v_{i}\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} \left(P_{e} v_{e}\right)\right] \end{array} \nonumber \] dónde\(P\) está la presión y\(\nu\) es el volumen específico en el límite donde ocurre el flujo. Debe reconocer que puede haber varios tipos diferentes de trabajo (o potencia) que se incluyen en este término, por ejemplo, un motor eléctrico tiene tanto trabajo de eje como trabajo eléctrico.

Transporte de energía con flujo másico

En los límites de flujo, cada bulto de masa que entra o sale del sistema lleva consigo cierta cantidad de energía. La velocidad a la que la energía se transporta a través de un límite es el producto del caudal másico y la energía específica,\(e\), de la masa en el límite:\[\dot{E}_{\text {mass flow}}=\dot{m} e \nonumber \] La velocidad neta a la que la energía es transportada a un sistema por flujo másico es\[\dot{E}_{\text {mass flow, net in}} = \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} e_{i}-\sum_{\text {out }} \dot{m}_{e} e_{e} \nonumber \]

Transporte de energía por transferencia de calor

La transferencia de calor es el tercer y último mecanismo para transferir energía a través del límite de un sistema. La transferencia de calor es cualquier transferencia de energía que no se puede clasificar como una transferencia de energía con flujo másico o una transferencia de energía por trabajo. Utilizando la primera ley de termodinámica y trabajo termodinámico, la transferencia de calor para un sistema cerrado se define con precisión por la ecuación:\[Q_{1-2, \text {net in}} \equiv \left(E_{\text{sys}, \ 2}-E_{\text{sys}, \ 1}\right)-W_{1-2, \text {net in}} \nonumber \] Esto dice que cuando un sistema cerrado se somete a un proceso, cualquier proceso, entre los estados 1 y 2, la diferencia entre el cambio de energía del sistema y la red funciona en el sistema es igual a la transferencia de calor para el sistema.

Al igual que el trabajo, la transferencia de calor tiene tanto una forma de tasa como una forma de tiempo finito:\[Q_{1-2} = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{Q} \ dt = \int\limits_{1}^{2} \delta Q \nonumber \] También como el trabajo, la transferencia de calor es una función de ruta y no tiene valor en un estado especificado. La transferencia de calor\(Q_{1 - 2}\), al igual que el trabajo\(W_{1 - 2}\), solo se puede calcular una vez que se conoce el camino, el proceso y los estados finales. Utilizaremos la misma convención de signos que se usó anteriormente con otras transferencias de energía. Se fomenta el uso de subíndices\(Q_{\text {out}}\),\(Q_{\text{in}}\) o, para evitar confusiones.

Nuestra experiencia nos dice que la transferencia de calor está estrechamente relacionada con la idea de temperatura. Por ejemplo, imagina que tengo dos bloques rectangulares de cobre. Uno ha estado sentado en un baño de hielo y el otro ha estado sentado en una olla de agua hirviendo. Se podría reconocer fácilmente qué bloque está caliente y qué bloque está frío. Ahora supongamos que pongo estos dos bloques en contacto y luego aísla fuertemente los bloques conmovedores con algún aislamiento de fibra de vidrio. Dado el tiempo suficiente, descubrirías que ni el bloque es caliente ni frío son iguales. Comúnmente diríamos que “los dos bloques están a la misma temperatura”. Alternativamente, podríamos decir que los bloques habían alcanzado el equilibrio térmico. ¿Qué pasó con los bloques? ¿Cómo interactuaron? De nuevo, probablemente dirías “el frío se calentó” y “el caliente se enfrió”.

Esta puede ser una interpretación correcta del laico, pero ¿cómo encaja esto en nuestra imagen energética? Si consideras cuidadosamente cómo interactuaron los dos bloques durante el proceso y cómo podrían interactuar con el entorno, descubrirás que no hubo transferencia de trabajo de energía o transferencia de masa de energía. Todo lo que queda para transferir energía es la transferencia de calor, y eso es lo que pasó. Los dos bloques alcanzaron el equilibrio térmico —un estado en el que la temperatura es espacialmente uniforme e inmutable con el tiempo— mediante el intercambio de energía por transferencia de calor. Esto resalta otra característica importante de la transferencia de calor: la transferencia de calor no ocurrirá entre dos sistemas en equilibrio térmico.

Nuestra experiencia también nos dice que la transferencia de calor solo ocurre espontáneamente de una región de alta temperatura a una región de baja temperatura. (¿Habrías esperado que el bloque caliente de cobre se calentara y el bloque frío de cobre se enfriara?)

La idea de temperatura está tan estrechamente involucrada con la transferencia de calor que a menudo se da la siguiente definición para la transferencia de calor:

La transferencia de calor es un mecanismo para transferir energía a través del límite de un sistema debido a una diferencia de temperatura

Existen tres mecanismos físicos para transportar energía por transferencia de calor: transferencia de calor por conducción, transferencia de calor por convección y transferencia de calor por radiación. Revisaremos estos tres más adelante, pero un curso completo sobre transferencia de calor es un componente requerido de muchos planes de estudio. Por ejemplo, la ingeniería mecánica requiere un curso completo, y los ingenieros eléctricos e informáticos aprenderán sobre aplicaciones específicas para la refrigeración de sistemas eléctricos.

Las transferencias de calor de energía pueden ocurrir en cualquier límite del sistema, aunque la transferencia de calor en los límites del flujo generalmente se descuida y es insignificante cuando se compara con la transferencia en los límites sin flujo. Simbólicamente, esto se puede escribir como\[\dot{E}_{\text {heat transfer, net in}}=\dot{Q}_{\text {net, in}} \nonumber \] Aunque solo aparece un solo término de transferencia de calor, la tasa de transferencia de calor total se puede encontrar sumando las tasas de transferencia de calor en todos los límites del sistema.

¿Cómo se puede crear o destruir la energía?

La Primera Ley de la Termodinámica, uno de los principios fundamentales de la física, es realmente una afirmación de que la energía no puede crearse ni destruirse. Así, ¡se conserva la energía!

Al igual que con la contabilidad de especies antes, si solo se cuenta un tipo de energía, como la energía mecánica, parece que una energía específica puede ser creada y destruida. No obstante, esto sólo ocurre porque estás contando un solo tipo de energía. La experiencia ha demostrado repetidamente que cuando se contabilizan todas las formas de energía, la energía se conserva. De hecho, nuestra creencia en esta ley es tan completa que los físicos han descubierto nuevas partículas cuando trataron de entender por qué sus experimentos no conservaron energía.

7.2.5 Poniéndolo todo junto — Conservación de la Energía

Aplicando el marco contable a la energía, sabemos que\[\frac{d E_{\text {sys}}}{d t} = \dot{E}_{\text {work, net in}} + \dot{E}_{\text {heat transfer, net in}} + \dot{E}_{\text {mass flow, net in}} \nonumber \] Ahora, recogiendo todos los resultados desarrollados anteriormente, tenemos una versión inicial de la forma tarifaria de la conservación de la energía:

\[ d E_{\text{sys}} = \underbrace{ \dot{W}_{\text{net, in}} + \left[ \sum_{\text{in}} \dot{m}_i \left(P_i \nu_i\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_e \left(P_e \nu_e\right) \right] }_{\begin{array}{c} \text{Net rate of} \\ \text{energy transport} \\ \text{by work} \end{array}} + \underbrace{ \dot{Q}_{\text{net, in}} }_{\begin{array}{c} \text{Net rate of} \\ \text{energy transport} \\ \text{by heat transfer} \end{array}} + \underbrace{ \left[ \sum_{\text{in}} \dot{m}_i e_i - \sum_{\text{out}} \dot{m}_e e_e \right] }_{\begin{array}{c} \text{Net rate of} \\ \text{energy transport} \\ \text{by mass flow} \end{array}} \nonumber \]

Aunque este resultado es perfectamente aceptable, nos resultará ventajoso combinar todos los términos que involucran flujo másico antes de escribir una ecuación final.

Energía, entalpía y términos de flujo másico

Si agrupamos los términos de flujo másico, tenemos lo siguiente:\[\frac{d E_{\text {sys}}}{dt} = \dot{W}_{\text {non-flow, net in}} + \dot{Q}_{\text {net, in}} + \underbrace{\left[\sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} \left(e_{i}+P_{i} v_{i}\right) - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} \left(e_{e}+P_{e} v_{e}\right) \right]}_{\text{Mass flow terms}} \nonumber \] Para muchos problemas, descubrimos que solo hay tres tipos de energía que son importantes a considerar: energía interna, energía cinética traslacional y energía potencial gravitacional. Escribiendo esto en términos de energía específica tenemos\[e = \frac{E}{m} = u + e_{K} + e_{G} = u+\frac{V^{2}}{2}+g z \nonumber \] donde\(u\) está la energía interna específica,\(V^{2} / 2\) es la energía cinética traslacional específica, y\(g z\) es la energía potencial gravitacional específica.

Si ahora sustituimos esto de nuevo en los términos de flujo másico podemos reagrupar los términos como\[\begin{array}{l} \dot{m}(e+P \upsilon) &= \dot{m} \left[\left(u+\dfrac{V^{2}}{2}+g z\right)+P \upsilon\right] \\ &= \dot{m} \left[(u+P \upsilon)+\dfrac{V^{2}}{2}+g z\right] \end{array} \nonumber \] Porque el grupo de términos\(u+P \upsilon\) siempre aparece juntos en el balance energético, es útil darles un nombre. Para ello definimos una nueva propiedad extensa llamada entalpía (pronunciada en-thal'-py), definida como la suma de la energía interna y el producto de presión y volumen:\[H=U+P V \nonumber \] La entalpía específica se define de manera similar de la siguiente manera:\[h=\frac{H}{m}=u+P \upsilon \nonumber \] Como se podría suponer, las unidades para entalpía son las mismas que para energía,\(\mathrm{kJ}\) o\(\mathrm{Btu}\) o\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}\), y las unidades para entalpía específica son las mismas que para la energía interna específica,\(\mathrm{kJ} / \mathrm{kg}\) o\(\mathrm{Btu} / \mathrm{lbm}\) o\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm}\).

Usando estos resultados, los términos de flujo másico pueden escribirse de manera más concisa de la siguiente manera en términos de la entalpía específica, la energía cinética específica y la energía potencial gravitacional específica:\[\dot{m} \left[(u+P \upsilon) + \frac{V^{2}}{2}+g z\right]=\dot{m}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+g z\right) \nonumber \]

Calificar forma de la conservación de la energía

Ahora estamos listos para escribir la forma de velocidad de la ecuación de conservación de energía en la forma que nos parece más útil:\[\frac{d E_{\text {sys}}}{d t} = \dot{W}_{\text {net, in}} + \dot{Q}_{\text {net, in}} + \left[\sum_{\text {in}} \dot{m}_{i}\left(h_{i}+\frac{V_{i}^{2}}{2}+g z_{i}\right) - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} \left(h_{e} + \frac{V_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right)\right] \nonumber \] donde el término de potencia solo excluye la potencia de flujo que se incluye en los términos de caudal másico. Esta es la forma más general de la ecuación de conservación de energía que vamos a utilizar y es el lugar para iniciar todos los problemas relacionados con la energía. Tenga en cuenta que hemos hecho algunos supuestos importantes en los tipos de energía que se pueden transferir con masa; sin embargo, la experiencia indica que estos son suficientes para la mayoría de los problemas. También reconoce que para un sistema cerrado, los caudales másicos son cero y el término entre paréntesis desaparece.

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La conservación de la energía y el principio trabajo-energía

La conservación de la energía y el principio trabajo-energía para una partícula

El principio trabajo-energía para una partícula proporciona la misma información que escribir la conservación del momento lineal para una partícula. Al desarrollar el principio trabajo-energía para una partícula, consideramos una partícula que se mueve en un campo gravitacional sujeta a una fuerza superficial neta\(\mathbf{R}\). Después de una serie de operaciones matemáticas bien definidas, se obtuvo el principio trabajo-energía para una partícula:

\[\begin{aligned} \text { Rate form: } &\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \left( \underbrace{\mathrm{m} \frac{\mathrm{V}^{2}}{2}}_{\begin{array}{c} \text { Kinetic } \\ \text { energy } \end{array}} + \underbrace{mgz}_{\begin{array}{c} \text {Gravitational} \\ \text {potential} \\ \text {energy} \end{array}} \right) = \underbrace{\mathbf{R} \cdot \mathbf{V}}_{\begin{array}{c} \text {mechanical} \\ \text {power into} \\ \text {the system} \end{array}} \quad\quad \text{ or } \quad\quad \boxed{ \frac{d}{dt} \left(E_K + E_G\right) = \dot{W}_{\text{mech, in}} } \\ \text{ Finite-time form:} &\quad \Delta\left(m \frac{V^{2}}{2}\right) + \Delta(mgz) = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \mathbf{R} \cdot \mathbf{V} \ dt = \int\limits_{1}^{2} \mathbf{R} \cdot d \mathbf{s} \quad\quad \text { or } \quad\quad \boxed{ \Delta E_K + \Delta E_G = W_{\text{mech, in}} } \end{aligned} \nonumber \]

El principio trabajo-energía establece que el trabajo mecánico realizado por las fuerzas superficiales netas sobre una partícula equivale al cambio en la energía cinética y la energía potencial gravitacional de la partícula. Escribiendo la conservación de energía para una partícula obtenemos lo siguiente:\[ \begin{aligned} \text { Rate form: } &\quad \frac{d}{dt} \left(U_{\text {sys}} + E_{K, \text { sys}} + E_{G, \text { sys}}\right) = \dot{Q}_{\text {net, in}} + \dot{W}_{\text {net, in}} \\[4pt] \text { Finite-time form: } &\quad \Delta U_{\text {sys}} + \Delta E_{K, \text { sys}} + \Delta E_{G, \text { sys}} = Q_{\text {net, in}} + W_{\text {net, in}} \end{aligned} \nonumber \] Examinando los dos conjuntos de ecuaciones, vemos que la ecuación de conservación de energía se reduce al principio trabajo-energía para una partícula bajo dos condiciones diferentes:

• Condición (1): La tasa de cambio de la energía interna de la partícula es igual a la tasa neta de transporte de energía hacia la partícula por transferencia de calor,\(d U_{\text {sys}} / dt = Q_{\text {net, in}}\)
• Condición (2): La energía interna de la partícula es constante,\(du_{\text {sys}} / dt = 0\), y la partícula es adiabática,\(\dot{Q}_{\text {net, in}}=0\).

Para determinar si se cumple la condición (1) se requiere información sobre la sustancia material que compone la partícula. Por lo general, la condición (2) se cumpliría en condiciones sin transferencia de calor intencional y sin forma de disipar la energía mecánica, es decir, sin fricción, dentro del sistema.

La conservación de la energía y el principio trabajo-energía para un sistema de partículas

Si tuviéramos un sistema que contuviera\(n\) partículas y aplicáramos el principio trabajo-energía para una partícula individualmente a cada partícula, tendríamos para partícula\(i\)\[\frac{d}{dt} \left(E_{K, \ i} + E_{G, \ i}\right)=\mathbf{R}_{i} \cdot \mathbf{V}_{i} \nonumber \] Si resumiéramos esta ecuación sobre las\(n\) partículas de nuestro sistema, obtendríamos lo siguiente:

\[ \begin{gathered} \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{d}{dt} \left( E_{K, \ i} + E_{G, \ i} \right) \right] = \frac{d}{dt} \underbrace{ \left[ \sum_{i=1}^{n} \left(E_{K, \ i} + E_{G, \ i}\right) \right] }_{E_{K, \ sys} + E_{G, \ sys}} = \sum_{i=1}^{n} \underbrace{ \left[\mathbf{R}_i \cdot \mathbf{V}_i\right] }_{\dot{W}_{mech, \ in, \ i}} \\[4pt] \boxed{\frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{G, \ sys}\right) = \sum_{i=1}^{n} \dot{W}_{mech, \ in, \ i}} \\[4pt] \text{where } \sum_{i=1}^{n} \dot{W}_{mech, \ in, i} \neq \underbrace{ \left( \sum_{i=1}^{n} \mathbf{R}_i \right) }_{\begin{array}{c} \text{Net surface force} \\ \text{acting on the} \\ \text{system of particles} \end{array}} \cdot \underbrace{ \left( \frac{1}{m_{sys}} \sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf{V}_i \right) }_{\begin{array}{c} \text{Velocity of the center of mass} \\ \text{of the system of particles} \end{array}} \end{gathered} \nonumber \]\

La ecuación en caja es el principio trabajo-energía para un sistema de partículas. Se parece mucho al principio original de trabajo-energía para una partícula; sin embargo, el término de potencia mecánica a la derecha es la suma del trabajo mecánico realizado por las fuerzas superficiales en cada partícula. No es igual al producto puntual de la fuerza superficial neta sobre el sistema de partículas y la velocidad del centro de masa del sistema. Esta es una diferencia significativa y el no reconocerlo puede llevar a un grave mal uso del principio trabajo-energía.

Si ahora escribimos la ecuación de conservación de energía para un sistema cerrado de partículas y asumimos que solo son importantes las energías cinéticas, gravitacionales e internas, tenemos lo siguiente:\[\begin{gathered} \frac{dE_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{net, \ in} + \dot{W}_{net, \ in} + \cancel{ \sum_{in} \dot{m_i} \left(h_i + \frac{V_{i}^{2}}{2} + gz_{i} \right) - \sum_{in} \dot{m_e} \left(h_e + \frac{V_{e}^{2}}{2} + gz_{e}\right) }^{=0} \\[4pt] \boxed{ \frac{d}{dt} \left(U_{sys} + E_{K, \ sys} + E_{G, \ sys}\right) = \dot{Q}_{net, \ in} + \dot{W}_{net, \ in} } \end{gathered} \nonumber \]

Ahora bien, si restamos el principio trabajo-energía para un sistema de partículas del principio de conservación de energía para el sistema de partículas tenemos lo siguiente:

\[ \begin{gathered} \left[ \frac{d}{dt} \left(U_{sys} + E_{K, \ sys} + E_{G, \ sys}\right) = \dot{Q}_{net, \ in} + \dot{W}_{net, \ in} \right] - \left[ \frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{G, \ sys}\right) = \sum_{i=1}^{n} \dot{W}_{mech, \ in, \ i} \right] = \\[4pt] \underbrace{\frac{dU_{sys}}{dt}}_{\begin{array}{c} \text{Time rate of change} \\ \text{of the internal energy} \\ \text{within our system} \end{array}} = \underbrace{\dot{Q}_{net, \ in}}_{\begin{array}{c} \text{Heat transfer rate} \\ \text{for the system} \end{array}} + \underbrace{\dot{W}_{net, \ in}}_{\begin{array}{c} \text{Rate that work} \\ \text{is done by surface} \\ \text{forces acting on the} \\ \text{boundary of our system} \end{array}} - \underbrace{\sum_{i=1}^{n} \dot{W}_{mech, \ in, \ i}}_{\begin{array}{c} \text{Rate that work} \\ \text{is done by surface} \\ \text{forces acting on each} \\ \text{particle inside our system} \end{array}} \end{gathered} \nonumber \]

Al igual que con una sola partícula, el trabajo neto realizado en nuestro sistema de partículas por las fuerzas superficiales que actúan sobre el límite del sistema solo equivale a la suma del trabajo mecánico realizado por las fuerzas superficiales que actúan sobre cada una de las partículas bajo dos condiciones:

• Condición (1): La tasa de cambio de la energía interna del sistema de partículas es igual a la tasa neta de transporte de energía al sistema de partículas por transferencia de calor\(dU_{\mathrm{sys}} / dt=\dot{Q}_{\text {net, in}}\), o
• Condición (2): La energía interna del sistema de partículas es constante,\(dU_{\text {sys}} / dt=0\), y la partícula es adiabática,\(\dot{Q}_{\text {net, in}}=0\).

Para validar la condición (1) se requiere conocimiento adicional sobre la sustancia material de las partículas. Típicamente, la condición (2) ocurre cuando el sistema cerrado de partículas tiene tres características: (1) cada partícula en el sistema es incompresible, (2) no hay transferencia de calor intencionada, y (3) no hay fricción de ningún tipo dentro del sistema, por ejemplo, las partículas solo pueden deformarse elásticamente y no hay fricción entre partículas. La fricción en el límite del sistema no está prohibida; sin embargo, no puede haber fricción dentro del sistema.

Recuento de energía mecánica para un sistema cerrado

Comenzando con la forma de tasa de conservación de energía para un sistema cerrado,\[\frac{dE_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{net, \ in} + \dot{W}_{net, \ in} \nonumber \] Ampliando la energía del sistema e identificando formas mecánicas de energía, obtenemos\[\frac{d}{dt} \left( U + \underbrace{E_{k}+E_{G}+E_{spring}}_{\text{mechanical}} \right) = \dot{Q}_{\text {net, \ in}} + \dot{W}_{\text {net, \ in}} \nonumber \] Porque, las formas mecánicas son propiedades extensas, podemos reorganizar esta ecuación a la luz de un principio contable para energía mecánica:

\[ \frac{d}{dt} \underbrace{ \left(E_{k}+E_{G}+E_{spring}\right) }_{\begin{array}{c} \text{Rate of change of the} \\ \text{mechanical energy in} \\ \text{the system} \end{array}} = \underbrace{ \dot{W}_{net, \ in} }_{\begin{array}{c} \text{Transport rate} \\ \text{of energy} \\ \text{by work} \end{array}} + \underbrace{ \left[ \dot{Q}_{net, \ in} - \frac{dU}{dt} \right] }_{\begin{array}{c} \text{Rate of production} \\ \text{of mechanical energy} \\ \text{within the system} \end{array}} \nonumber \]

El lado izquierdo ahora se puede interpretar como la tasa de cambio de la energía mecánica en el sistema. El lado derecho contiene dos términos: la tasa neta de trabajo y transporte de energía al sistema y la tasa de producción de energía mecánica dentro del sistema. Esto no viola el principio general de conservación de la energía porque sólo estamos contando una forma de energía.

La experiencia ha demostrado que el término entre paréntesis en el lado derecho, el término de producción, puede ser positivo o negativo. Este término es idéntico igual a cero si nuestro sistema cerrado está (1) compuesto por sustancias incompresibles, (2) opera sin transferencia de calor intencional, y (3) no tiene fricción interna a nuestro sistema y tenemos el balance energético mecánico para un sistema cerrado:\[\boxed{ \frac{d}{dt} \left(E_{k}+E_{G}+E_{spring}\right)=\dot{W}_{net, \ in} } \nonumber \]

Si permitimos la fricción interna, la energía mecánica puede ser destruida, y se puede demostrar que la tasa de producción de energía mecánica siempre es menor o igual a cero. Esto significa que la fricción interna siempre resulta en la destrucción de la energía mecánica.