2.10: La transformación de Laplace
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La versión causal de la transformada de Fourier es la transformada de Laplace; la integral a lo largo del tiempo incluye solo valores positivos y por lo tanto solo se ocupa de las funciones causales de respuesta al impulso. En nuestra discusión, la transformación de Laplace se utiliza principalmente en el análisis y diseño de sistemas de control.
Definición
La transformación de Laplace proyecta señales en el dominio del tiempo en un complejo equivalente en el dominio de la frecuencia. La señal\(y(t)\) tiene transformada\(Y (s)\) definida de la siguiente manera:
\[ Y(s) = L(y(t)) = \int\limits_{0}^{\infty} y(\tau) e^{-s \tau} \, d\tau ,\]
donde\(s\) es una variable compleja, adecuadamente restringida dentro de una región para que la integral converja. \(Y(s)\)es una función compleja como resultado. Tenga en cuenta que la transformada de Laplace es lineal, y por lo tanto es distributiva:\(L(x(t) + y(t)) = L(x(t)) + L(y(t))\). Las siguientes tablas dan una lista de algunos pares de transformaciones útiles y otras propiedades, como referencia.
Tabla\(\PageIndex{1}\): Listado de algunas transformaciones comunes de Laplace. Colaboradores: Wikipedia.
| Función | Dominio del tiempo \(f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} \) |
Dominio s de Laplace \(F(s) \mathcal{L} \{f(t)\} \) |
Región de convergencia |
|---|---|---|---|
| unidad de impulso | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(\delta(t)\) | \ (F (s)\ matemática {L}\ {f (t)\}\) ">1 | todos\(s\) |
| impulso retardado | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(\delta (t-\tau)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(e^{-\tau s}\) | Re\((s) > 0\) |
| paso de la unidad | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac{1}{s}\) | Re\((s) > 0\) |
| paso de unidad retrasado | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(u(t-\tau)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac {1}{s} e^{-\tau s} \) | Re\((s) > 0\) |
| rampa | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(t \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac {1}{s^2}\) | Re\((s) > 0\) |
| \(n\)th power (para entero\(n\) |
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(t^n \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \) | Re\((s) > 0\) \((n > −1)\) |
| \(q\)th poder (para complejo\(q\)) |
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(t^q \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac{\Gamma (q+1)}{s^{q+1}}\) | Re\((s) > 0\) Re\((q) > −1\) |
| \(n\)th raíz | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(\sqrt[n]{t} \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\( \dfrac{1}{s^{\frac{1}{n} +1}} \Gamma \left( \dfrac{1}{n} +1 \right) \) | Re\((s) > 0\) |
| \(n\)th poder con desplazamiento de frecuencia | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(t^n e^{-\alpha t} \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}\) | Re\((s) > −\alpha\) |
| potencia\(n\) retrasada con desplazamiento de frecuencia |
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\((t-\tau)^n e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\)” class="lt-eng-47972">
\(\dfrac {n!\cdot e^{-\tau s}} {(s+\alpha)^{n+1}}\) |
Re\((s) > −\alpha\) |
| decaimiento exponencial | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(e^{-\alpha t} \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac{1}{s+\alpha}\) | Re\((s) > −\alpha\) |
| Decaimiento exponencial bilateral (solo para transformación bilateral) |
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(e^{-\alpha |t|}\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac{2\alpha}{\alpha^2 - s^{2}}\) | \(-\alpha\)< Re\((s) < \alpha\) |
| enfoque exponencial | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\( (1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac{\alpha}{s(s+\alpha)}\) | Re\((s) > 0\) |
| seno | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(\sin(\omega t) \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\) | Re\((s) > 0\) |
| coseno | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(\cos(\omega t) \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac{s}{s^2+\omega ^2}\) | Re\((s) > 0\) |
| seno hiperbólico | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(\sinh(\alpha t) \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac{\alpha}{s^2-\alpha^2}\) | Re\((s) > |\alpha|\) |
| coseno hiperbólico | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(\cosh(\alpha t) \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac{s}{s^2-\alpha^2}\) | Re\((s) > |\alpha|\) |
| onda sinusoidal exponencialmente decayente |
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac{\omega}{(s+\alpha )^2+\omega ^2}\) | Re\((s) > -\alpha\) |
| onda coseno exponencialmente en descomposición |
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega ^2}\) | Re\((s) > -\alpha\) |
| logaritmo natural | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(\ln(t) \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac {-\ln(s) - \gamma }{s}\) | Re\((s) > 0\) |
| Función Bessel de primer tipo, de orden\(n\) |
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\(J_n (\omega t) \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac {\left( \sqrt {s^2+\omega^2} - s \right) ^n}{\omega^n \sqrt {s^2+\omega^2}}\) | Re\((s) > 0\) \((n > −1)\) |
| Función de error | \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">\( \operatorname {erf} (t) \cdot u(t)\) | \ (F (s)\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\dfrac {e^{s^2 /4}}{s} \left( 1-\operatorname {erf} \left( \dfrac {s}{2} \right) \right) \) |
Re\((s) > 0\) |
Tabla\(\PageIndex{2}\): algunas propiedades útiles de la transformación unilateral de Laplace, dadas las funciones\(f(t)\)\(g(t)\) y sus respectivas transformaciones de Laplace\(F(s)\) y\(G(s)\). Colaboradores: Wikipedia.
| Dominio del tiempo | \(s\)dominio | Comentarios | |
|---|---|---|---|
| Linealidad | \(af(t)+bg(t)\) | \ (s\) dominio">\(aF(s)+bG(s)\) | Se puede probar usando reglas básicas de integración |
| Derivada en el dominio de la frecuencia | \(tf(t)\) | \ (s\) dominio">\( -F'(s)\) | \(F'\)es la primera derivada de\(F\) con respecto a\(s\) |
| Derivada general en el dominio de la frecuencia | \(t^n f(t)\) | \ (s\) dominio">\( (-1)^n F^{(n)} (s)\) | Forma más general,\(n\) th derivado de\(F(s)\). |
| Derivada | \(f'(t)\) | \ (s\) dominio">\(sF(s)-f(0^-)\) | \(f\)se supone que es una función diferenciable, y se supone que su derivada es de tipo exponencial. Esto se puede obtener entonces por integración por partes. |
| Segunda derivada | \(f''(t)\) | \ (s\) dominio">\(s^2 F(s) - sf(0^-) - f'(0^-)\) | \(f\)se asume dos veces diferenciable y la segunda derivada es de tipo exponencial. Sigue aplicando la propiedad Diferenciación a\(f'(t)\) |
| Derivada general | \(f^{(n)} (t)\) | \ (s\) dominio">\(s^n F(s) - \displaystyle \sum _{k=1}^n s^{n-k} f^{(k-1)}(0^-)\) | \(f\)se supone que es\(n\) -veces diferenciable con\(n\) th derivada de tipo exponencial. Sigue por inducción matemática. |
| Integración en el dominio de la frecuencia | \(\dfrac {1}{t} f(t)\) | \ (s\) dominio">\(\displaystyle \int _{s}^{\infty } F(\sigma) \, d\sigma \) | Esto se deduce utilizando la naturaleza de la diferenciación de frecuencias y la convergencia condicional. |
| Integración en el dominio del tiempo | \(\displaystyle \int _{0}^{t} f(\tau ) \, d\tau =(u*f)(t)\) | \ (s\) dominio">\(\dfrac{1}{s} F(s)\) | \(u(t)\)es la función de paso Heaviside y\((u*f)(t)\) es la convolución de\(u(t)\) y\(f(t)\). |
| Desviación de frecuencia | \(e^{at} f(t)\) | \ (s\) dominio">\(F(s-a)\) | |
| Cambio de tiempo | \(f(t-a) u(t-a)\) | \ (s\) dominio">\(e^{-as}F(s)\) | \(a>0, \, u(t)\)es la función de paso Heaviside. |
| Escalado de tiempo | \(f(at)\) | \ (s\) dominio">\(\dfrac{1}{a} F \left( \dfrac{s}{a} \right) \) | \(a>0\) |
| Convolución | \( (f*g)(t)=\int _{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau) \, d\tau\) | \ (s\) dominio">\(F(s) \cdot G(s)\) | |
| Conjugación | \(f^* (t)\) | \ (s\) dominio">\(F^* (s^*)\) |
Las propiedades 4 y 8 del Cuadro 2.10.2 son de especial importancia. Para el diseño del sistema de control, la diferenciación de una señal es equivalente a la multiplicación de su transformada de Laplace por\(s\); la integración de una señal es equivalente a la división por\(s\). Los demás términos que surjan se cancelarán si\(y(0) = 0\), o si\(y(0)\) es finito.
Convergencia
Observamos primero que el valor de\(s\) afecta la convergencia de la integral. Por ejemplo, si\(y(t) = e^t\), entonces la integral converge sólo para\(Re(s) > 1\), ya que el integrando es\(e^{1−s}\) en este caso. Aunque la integral converge dentro de una región bien definida en el plano complejo, la función\(Y(s)\) se define para todos los s a través de la continuación analítica. Este resultado del análisis complejo sostiene que si dos funciones complejas son iguales en algún arco (o línea) en el plano complejo, entonces son equivalentes en todas partes. Cabe señalar, sin embargo, que la transformación de Laplace se define sólo dentro de la región de convergencia.
Teorema de convolución
Uno de los puntos principales de la transformación de Laplace es la facilidad de lidiar con sistemas dinámicos. Al igual que con la transformada de Fourier, la convolución de dos señales en el dominio del tiempo se corresponde con la multiplicación de señales en el dominio de frecuencia. Considera un sistema cuya respuesta de impulso es\(g(t)\), siendo impulsado por una señal de entrada\(x(t)\); la salida es\(y(t) = g(t) * x(t)\). El Teorema de Convolución es:
Teorema de convolución:
\[ y(t) = \int\limits_{0}^{t} g(t - \tau) x(\tau) \, d \tau \iff Y(s) = G(s)X(s). \]
Aquí está la prueba dada por Siebert:
- Prueba
-
\ begin {align*} y (t) &\ longleftrightarrow Y (s)\\ [4pt]\ delta (t) &\ longleftrightarrow 1 &&\ text {(Impulso)}\\ [4pt] 1 (t) &\ longleftrightarrow\ dfrac {1} {s} &&\ text {(Paso de Unidad)}\\ [4pt] t &\ longleftrightarrow\ dfrac {1} {s^2} &&\ text {(Rampa de unidad)}\\ [4pt] e^ {-\ alpha t} &\ longleftrightarrow\ dfrac {1} {s +\ alfa}\\ [4pt]\ sin\ omega t &\ longleftrightarrow\ dfrac {\ omega} {s^2 +\ omega ^2}\\ [4pt]\ cos\ omega t &\ longleftrightarrow\ dfrac {s} {^2 +\ omega 2}\\ [4pt] e^ {-\ alfa t}\ sin\ omega t &\ longleftrightarrow\ dfrac {\ omega} {(s +\ alpha) ^2 +\ omega ^2}\ \ [4pt] e^ {-\ alpha t}\ cos\ omega t &\ longleftrightarrow\ dfrac {s +\ alpha} {(s +\ alpha) ^2 +\ omega ^2}\\ [4pt]\ dfrac {1} {b-a} (e^ {-at} - e^ {-bt}) &\ longleftrightarrow\ dfrac ac {1} {(s+a) (s+b)}\\ [4pt]\ dfrac {1} {ab}\ izquierda [1 +\ dfrac {1} {a-b} (be^ {-at} -ae^ {-bt})\ derecha] &\ longleftrightarrow\ dfrac {1} {s (s+a) (s+b)}\\ [4pt]\ dfrac {\ omega_n} {\ sqrt {1 -\ zeta^2}} e^ {-\ zeta\ omega_n t}\ sin\ omega_n\ sqrt {1 -\ zeta^2} t &\ longleftrightarrow\ dfrac {\ omega_n ^2} {s^2 + 2\ zeta\ omega_n s +\ omega_n ^2}\\ [4pt] 1-\ dfrac {1} {\ sqrt {1-\ zeta^2}} e^ {-\ zeta\ omega_n t}\ sin\ left (\ omega_n\ sqrt {1-\ zeta^2} t +\ phi\ derecha) &\ longleftrightarrow\ dfrac {\ omega_n ^2} {s (s^2+2\ zeta\ omega_n s +\ omega_n ^2)}\\ [4pt]\ izquierda (\ phi =\ tan ^ {-1}\ dfrac {\ sqrt {1 -\ zeta^2}} {\ zeta}\ derecha)\ [4pt] y (t -\ tau) 1 (t -\ tau) &\ longleftrightarrow Y (s) e^ {-s\ tau} &&\ text {(Retraso puro)}\\ [4pt]\ dfrac {dy (t)} {dt} &\ longleftrightarrow sY (s) - y (0) &&\ text {(Derivada de tiempo)}\\\ [4pt]\ int\ limits_ {0} ^ {t} y (\ tau)\, d\ tau &\ longleftrightarrow\ dfrac {Y (s)} {s} +\ dfrac {\ int\ limits_ {0^-} ^ 0^+} y (t)\, dt} {s} &&\ text {(Integral de tiempo)}\ end {alinear*}
\ begin {align*} Y (s) &=\ int\ limits_ {0} ^ {\ infty} y (t) e {-st}\, dt\\ [4pt] &=\ int\ límites_ {0} ^ {\ infty}\ left [\ int\ limits_ {0} ^ {t} g (t -\ tau) x (\ tau)\, d\ tau\ derecha] e^ {-st}\, dt\\ [4pt] &=\ int\ límites_ {0} ^ {\ infty}\ izquierda [\ int\ limits_ {0} ^ {\ infty} g (t -\ tau) h (t -\ tau) x (\ tau)\, d\ tau\ derecha] e ^ {-st}\, dt\\ [4pt] &=\ int\ límites_ {0} ^ {\ infty} x (\ tau)\ izquierda [\ int\ limits_ {0} ^ {\ infty} g (t-\ tau) h (t-\ tau) e^ {-st}\, dt\ derecha] d\ tau\ [4pt] &=\ int\ límites_ {0} ^ {\ infty} x (\ tau) G (s) e^ {-st}\, d\ tau\\ [4pt] &= G (s) X (s). \ end {alinear*}
donde\(h(t)\) está la función de paso de unidad. Cuando\(g(t)\) es la respuesta de impulso de un sistema dinámico, entonces\(y(t)\) representa la salida de este sistema cuando es impulsado por la señal externa\(x(t)\).
Solución de Ecuaciones Diferenciales por Transformación de Laplace
El Teorema de Convolución permite resolver ecuaciones diferenciales (lineales invariantes en el tiempo) de la siguiente manera:
- Transforme la respuesta\(g(t)\) al impulso del sistema en\(G(s)\), y la señal de\(x(t)\) entrada en\(X(s)\), usando los pares de transformación.
- Realizar la multiplicación en el dominio de Laplace para encontrar\(Y(s)\).
- Ignorando los efectos de los retardos de tiempo puros,\(Y(s)\) se rompen en fracciones parciales sin potencias\(s\) mayores a 2 en el denominador.
- Genere la respuesta de dominio de tiempo a partir de los pares de transformación simples. Aplicar retardo de tiempo según sea necesario.
Ejemplos específicos de este procedimiento se dan en una sección posterior sobre las funciones de transferencia.