2.9: El ángulo de una función de transferencia

Una propiedad particularmente útil de la transformada de Fourier (y Laplace) es que la magnitud de la función de transferencia escala una entrada sinusoidal, y el ángulo de la función de transferencia se suma al ángulo de la entrada sinusoidal. En otras palabras,

\[ u(t) = u_o \cos (\omega_o t + \psi) \longrightarrow \]

\[ y(t) = u_o |H(\omega_o)| \cos (\omega_o t + \psi + \arg (H(\omega_o)) \]

Para probar las relaciones anteriores, usaremos el exponencial complejo:

\[\begin{align} u(t) &= Re \, (u_o e^{i(\omega_o t + \psi)}) \\[4pt] &= Re \, (\tilde{u}_o e^{i \omega_o t}), \end{align}\]

haciendo\(u_o e^{i \psi} = \tilde{u}_o\) complejo; luego

\[\begin{align*} y(t) &= h(t) * u(t) \\[4pt] &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) u(t - \tau) \, d \tau \\[4pt] &= \displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} Re(\tilde{u}_o e^{i \omega_o (t - \tau)}) \, d \tau \\[4pt] &= Re \left( \displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{-i \omega_o \tau} \, d \tau \,\, \tilde{u}_o e^{i \omega_o t} \right) \\[4pt] &= Re \left( H(\omega_o) u_o e^{i (\omega_o t + \psi)} \right) \\[4pt] &= u_o |H(\omega_o)| \, cos(\omega_o t + \psi + \arg (H(\omega_o))) \end{align*}\]

Como ejemplo, vamos\(u(t) = 4 \, \cos (3t+ \pi /4)\), y\(H(\omega) = 2i\omega /5\). Entonces\(H(\omega_o) = H(3) = 6i/5 = 1.2 \, \angle \pi /2\). Por lo tanto,\(y(t) = 4.8 \, \cos (3t + 3\pi /4)\).