4.1: Promedios de tiempo
- Page ID
- 84222
Desde los aspectos esenciales de la probabilidad ahora nos movemos al dominio del tiempo, considerando señales aleatorias. Para ello, asigne a cada evento aleatorio\(A_i\) una señal completa, en lugar de un solo escalar:\(A_i \rightarrow x_i(t)\). El conjunto de todas las funciones que están disponibles (o el menú) se llama el conjunto del proceso aleatorio. Un caso de ejemplo es rodar un dado\(i = [1, 2, 3, 4, 5, 6]\), generar y suponer\(x_i(t) = t^i\).
En el caso general, podría haber infinitamente muchos miembros en el conjunto, y por supuesto estas funciones podrían involucrar algunas otras variables, por ejemplo\(x_i(t, \, y, \, z)\), dónde\(y\) y\(z\) son variables no relacionadas con el evento aleatorio\(A_i\). Cualquier particular\(x_i(t)\) puede considerarse una función regular, determinista, si se conoce el evento. \(x(t_o)\), tomada en un momento específico pero sin especificar qué evento ha ocurrido, es una variable aleatoria.
La teoría de los procesos aleatorios se basa en dos tipos de cálculos de probabilidad: los tomados a través del tiempo y los tomados a través del conjunto. Para que se tomen promedios de tiempo, tenemos que considerar una función específica, indexada por\(i\):
\ begin {align} m (x_i (t))\, &=\,\ lim_ {T\ a\ infty}\ dfrac {1} {T}\ int\ limits_ {0} ^ {T} x_i (t)\, dt\ quad\ textrm {(media)}\\ [4pt] v^t (x_i (t))\, =\,\ lim_ {T\ a\ infty}\ dfrac {1} {T}\ int\ limits_ {0} ^ {T} [x_i (t) - m (x_i (t))] ^2\, dt\ quad\ textrm {(varianza en el tiempo)}\\ [4pt] R_i^t (\ tau)\, &= \,\ lim_ {T\ a\ infty}\ dfrac {1} {T}\ int\ limits_ {0} ^ {T} [x_i (t) - m (x_i (t))] [x_i (t +\ tau) - m (x_i (t))]\, dt\ quad\ textrm {(autocorrelación).} \ end {align}
La media y varianza tienen símbolos nuevos, pero se calculan de manera consistente con nuestras definiciones anteriores. La autocorrelación es nueva y juega un papel central en la definición de un espectro. Observe que es un producto interno de la desviación de la función de su media, con una versión retardada de la misma, tal que\(R(0) = V^t\).
Considera el rollo de un dado, y la generación de funciones\(x_i(t) = a \cos (i \omega_o t)\). Tenemos
\ begin {alinear*} m (x_i (t))\, &=\,\ lim_ {T\ a\ infty}\ int\ limits_ {0} ^ {T} a\ cos (i\ omega_o t)\, dt\, =\, 0\\ [4pt] v^t (x_i (t))\, &=\,\ lim_ {T\ a\ infty}\ dfrac {1} {T}\ int\ limits_ {0} ^ {T} a^2\ cos ^2 (i\ omega_o t)\, dt\, =\,\ dfrac {a^2} {2}\\ [4pt] r^t_i (\ tau)\, &=\,\ lim_ {T\ a\ infty}\ dfrac {1} {T}\ int\ limits_ {0} ^ {T} a^2\ cos (i\ omega_o t)\ cos (i\ omega_o (t +\ tau))\, dt\, =\,\ dfrac {a^2} {2}\ cos (i\ omega_o t). \ end {alinear*}
En este caso, la autocorrelación depende explícitamente del índice de eventos\(i\), y tiene un pico de\(a^2/2\) at\(i \omega_o \tau = 2 \pi k\), donde\(k\) es un número entero. Estos valores para\(\tau\) están precisamente separados por el periodo de la\(i\) 'ésima armónica en el conjunto. Cuando las funciones se alinean, obtenemos un positivo\(R^t\); cuando están fuera de fase, obtenemos un negativo\(R^t\).