4.2: Promedios de conjunto

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Page ID: 84210

Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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El otro conjunto de estadísticas que podemos calcular son a través del conjunto, pero en un momento determinado. Establecer\(y_i = x_i(t_o)\) dónde\(t_o\) es un tiempo específico. Entonces, considerando nuevamente los seis armónicos de arriba, tenemos

\ begin {align} E (y) =\ sum p_i y_i =\ sum_ {i=1} ^6\,\ dfrac {1} {6} a\ cos (i\ omega_o t_o)\\ [4pt] E (y^2) =\ suma p_i y_i ^2 =\ sum_ {i=1} ^6\,\ dfrac {1} {6} a^2\ cos ^2 (i\ omega_o t_o). \ end {align}

Podemos ver a partir de este sencillo ejemplo que en general, los promedios de tiempo (que son independientes del tiempo, pero dependientes del evento) y las estadísticas de conjunto (que son independientes del evento, pero dependientes del tiempo) no son las mismas. Ciertamente uno podría computar estadísticas de conjunto sobre promedios de tiempo, y viceversa, pero no vamos a considerar tal procedimiento específicamente aquí.

La función de autocorrelación de conjunto es ahora una función del tiempo y del retardo:

\ begin {align} R (t,\,\ tau)\, &=\, E (x (t) x (t +\ tau))\ quad\ textrm {o}\\ [4pt] R (t,\,\ tau)\, &=\, E [\ {x (t) - E (x (t))\}\ {x (t +\ tau) - E (x (t +\ tau))\}]. \ end {align}

La segunda forma aquí toma explícitamente en cuenta los valores medios, y se puede usar cuando el proceso tiene media distinta de cero. Las dos versiones no son necesariamente iguales como están escritas.