4.4: El Espectro- Definición

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Page ID: 84234

Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Dado un proceso ergódico\(y(t)\), con cero medio y autocorrelación\(R(\tau)\), la densidad espectral de potencia de\(y(t)\), o el espectro, es la transformada de Fourier de la autocorrelación:

\ begin {align} S (\ omega)\, &=\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e^ {-i\ omega\ tau}\, d\ tau\ [4pt] R (\ tau)\, &=\,\ dfrac {1} {2\ pi}\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {^\ infty} S (\ omega) e^ {i\ omega\ tau}\, d\ omega\ fin {alinear}

El espectro es una función real y uniforme de la frecuencia\(\omega\), porque la autocorrelación es real y uniforme. Ampliando la definición anterior,

\[ S(\omega) \, = \int\limits_{-\infty}^{\infty} R(\tau) ( \cos \omega \tau - i \sin \omega \tau) \, d\tau, \]

y claramente solo el coseno creará un producto interno con\(R(\tau)\).