4.5: Relación Wiener-Khinchine

Recordemos de nuestra discusión sobre la transformada de Fourier que la convolución en el dominio del tiempo de la respuesta al impulso\(h(t)\) y una entrada arbitraria del sistema\(u(t)\), es equivalente a la multiplicación en el dominio de frecuencia de las transformaciones de Fourier. Esta es una propiedad en particular de sistemas lineales invariantes en el tiempo. Ahora podemos hacer algunas declaraciones fuertes adicionales en el caso de procesos aleatorios.

Si\(u(t)\) es estacionario y ergodico, y el sistema es LTI, entonces la salida también\(y(t)\) es estacionaria y ergódica. Las estadísticas se relacionan usando el espectro:

\[ S_y (\omega) = |H(\omega)|^2 S_u(\omega). \]

Esto puede verse como una variante en la función de transferencia de la transformada de Fourier. Aquí, la cantidad\(|H(\omega)|^2\) transforma el espectro de la entrada al espectro de la salida. Se puede utilizar para mapear las propiedades estadísticas de la entrada (como un campo de olas oceánicas) a las propiedades estadísticas de la salida. En ingeniería oceánica, esto se llama operador de amplitud de respuesta, o RAO.

Para probarlo, utilizaremos la propiedad de convolución de los sistemas LTI.

\ begin {alinear*} y (t) &=\ int\ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) u (t -\ tau)\, d\ tau,\ textrm {así que}\\ [4pt] r_y (t,\,\ tau) &= E [y (t) y (t +\ tau)],\\ [4pt] &= E\ izquierda\ {\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} h (\ tau_1) u (t -\ tau_1) h (\ tau_2) u (t +\ tau -\ tau_2)\, d\ tau_ 1 d\ tau_2\ derecha\}\\ [4pt] &=\ int\ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int\ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty} d\ tau_1 d\ tau_2\, h (\ tau_1) h (\ tau_2) E [u (t -\ tau_1) u (t +\ tau -\ tau_2)]\\ [4pt] &=\ int\ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} d\ tau_1 d\ tau_2\, h (\ tau_1) h (\ tau_2) R_u (\ tau -\ tau_2 +\ tau_1)\\ [4pt] &\ textrm {(porque la entrada es estacionaria y ergódica,} R_u\ textrm {no depende del tiempo)}\\ [4pt] s_y (\ omega) &=\ int\ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty} R_y (\ tau) e^ {-i\ omega\ tau}, d\ tau\\ [4pt] &=\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} d\ tau d\ tau_1 d\ tau_2\, e^ {-i\ omega\ tau} h (\ tau_1) h (\ tau_2) R_u (\ tau -\ tau_2 +\ tau_1);\ textrm {ahora vamos}\ xi =\ tau -\ tau_2 +\ tau_1\ [4pt] =\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} d\ xi d\ tau_1 d\ tau_2\, e^ {-i\ omega (\ xi +\ tau_2 -\ tau_1)} h (\ tau_1) h (\ tau_2) R_u (\ xi)\\ [4pt] &=\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} d\ xi\, e^ {-i\ omega\ xi} R_u (\ xi)\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {infty} ty} e^ {i\ omega\ tau_1} h (\ tau_1)\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} d\ tau_2\, e^ {-i\ omega\ tau_2} h (\ tau_2)\\ [4pt] &= s_u (\ omega) H^* (\ omega ) H (\ omega). \ end {alinear*}

Aquí usamos el\(*\) -superíndice para denotar el conjugado complejo, y finalmente lo notamos\(H*H=|H|^2\).

Figura\(\PageIndex{1}\): gráficas del sistema en términos de la entrada del sistema\((S_u (\omega)\)), el sistema en términos de la salida del sistema\((S_y (\omega)\)), y de la transformación\(|H(\omega)|^2\) por la cual\(S_u(\omega)\) se multiplicó para obtener\(S_y(\omega)\).