5.4: Máximo en y por encima de un nivel dado

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Ahora nos fijamos en la probabilidad de que cualquier amplitud máxima\(a_{ia}\) alcance o supere un nivel dado. Normalizamos la amplitud con la varianza aleatoria del proceso, es decir,\( \eta = a / \sqrt{M_0} \) y\( \bar{\eta} = A / \sqrt{M_0} \). Los resultados son muy útiles para calcular cargas extremas. En primer lugar,

\[\begin{align} p( \eta = \bar{\eta}) \, &= \, \dfrac{\epsilon}{\sqrt{2 \pi}} e^{- \bar{\eta}^2 / 2 \epsilon^2} + \phi (\bar{\eta} q / \epsilon) \dfrac{\bar{\eta}q}{\sqrt{2 \pi}} e^{- \bar{\eta}^2 / 2} \end{align}\]

donde

\[\begin{align} q &= \, \sqrt{1 - \epsilon^2}, \\[4pt] \phi(\xi) \, &= \, \int\limits_{-\infty}^{\xi} e^{-u^2 / 2} du \end{align}\]

relacionados con la función de error erf)

Con grandes amplitudes consideradas y pequeñas\(\epsilon\) (un proceso de bandas estrechas), podemos hacer algunas aproximaciones para encontrar:

\ begin {align} p (\ eta =\ bar {\ eta})\, &\ approx\,\ dfrac {2q} {1+q}\ bar {\ eta} e^ {-\ bar {\ eta} ^2/2}\ largofila derecha\\ [4pt] p (\ eta >\ bar {\ eta})\, &\ approx\,\ dfrac {2q} {1+q} e^ {-\ bar {\ eta} ^2/2}. \ end {align}

La segunda relación aquí es la más útil, ya que da la probabilidad de que la amplitud (no dimensional) supere un valor dado. Se desprende directamente de la ecuación anterior, ya que (aproximadamente) la distribución acumulativa es la derivada de la densidad de probabilidad.