5.3: Frecuencia de Cruces

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Page ID: 84305

Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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El primer estadístico que discutimos es la frecuencia con la que el proceso supera un nivel dado; consideramos los ascendentes solo del valor positivo\(A\). Ahora deja\( \bar{f}(A) \) ser la frecuencia promedio de ascendencias pasadas\(A\), en ascendencias por segundo. Entonces\( \bar{f}(0) \) es la frecuencia promedio de cruce ascendente cero, o\(1 / \bar{T}\), la inversa del período promedio,\(E(T)\). Las fórmulas son

\ begin {align}\ bar {f} (0)\, &=\,\ dfrac {1} {2\ pi}\ sqrt {\ dfrac {M_2} {M_0}}\\ [4pt]\ bar {f} (A)\, &=\,\ dfrac {1} {2\ pi}\ sqrt {\ dfrac {M_2} {M__0}} e^ {- A^2/2 M_0}. \ end {align}

Con\(M_0\) igual a la varianza, el exponencial aquí claramente es de la forma gaussiana. Aquí un ejemplo del uso de estas ecuaciones en el diseño. Una plataforma oceánica fija está expuesta a olas de tormenta de desviación estándar de dos metros y período promedio de ocho segundos. ¿Qué tan alto debe estar la cubierta para que solo se inunde cada diez minutos, en promedio?

Este problema no implica ninguna función de transferencia ya que la plataforma está fija. Si estuviera flotando, habría algo de movimiento y tendríamos que transformar el espectro de ondas en el espectro de movimiento. Todo lo que tenemos que hacer aquí es invertir la ecuación para resolver\(A\), dado eso\( \bar{f}(A) = 1/(60 \times 10), \, M_0 = 4, \) y\( \bar{T} = 8 \) o\( \bar{f}(0) = 1/8\):

\[ A \, = \, \sqrt{-2 M_0 \ln (\bar{T f}(A))} \, = \, 5.87 m. \]

Este resultado da una idea de lo valiosas que serán estas estadísticas, aunque la desviación estándar de la elevación de la ola es de solo dos metros, ¡cada diez minutos deberíamos esperar una amplitud de seis metros!