5.6:1/Nésima Valor Promedio
- Page ID
- 84276
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
De manera similar podemos definir una estadística que es el promedio de los\(1/N\) 'ésimo picos más altos. En este caso, estamos tras el promedio de esta colección de\(1/N\) picos:
\ begin {align}\ bar {a} ^ {1/N}\, &=\, E (a | a > a^ {1/N})\\ [4pt] &=\ int\ limits_ {a^ {1/N}} ^ {\ infty} a\, p (a = a_m | a_m > a^ {1/N})\, da. \ end {align}
Tenga en cuenta que usamos la variable ficticio\(a_m\). Tenemos entonces la probabilidad condicional
\[ p(a = a_m | a_m > a^{1/N}) = \dfrac{p \left[ (a=a_m) \cap (a_m > a^{1/N}) \right]}{p(a_m > a^{1/N})}. \]
Trabajando en forma no dimensional, tenemos
\ begin {align}\ bar {\ eta} ^ {1/N}\, &=\,\ int\ limits_ {\ eta^ {1/N}} ^ {\ infty}\ dfrac {1} {1/N}\ eta p (\ eta =\ eta_m)\, d\ eta\\ [4pt] &=\,\ dfrac {2qN} {1+q}\ int\ límites_ {\ eta^ {1/N}} ^ {\ infty}\ eta^2 e^ {{\ eta^2} /2}\, d\ eta. \ end {align}
Aquí hay algunos resultados explícitos para amplitud y altura:
\ begin {align}\ bar {a} ^ {1/3}\, &=\, 1.1\ sqrt {M_0}\ text {a} 2\ sqrt {M_0}\\ [4pt]\ bar {a} ^ {1/10}\, &=\, 1.8\ sqrt {M_0}\ text {a} 2.5\ sqrt {M_0}\ end align {}
Las amplitudes aquí varían dependiendo del parámetro de amplitud espectral\(\epsilon\) - este punto se discute en los Principios de Arquitectura Naval, volumen III, página 20 (E.V., Lewis, ed. SNAME, 1989; ver aquí un enlace a este texto). Aquí hay algunas\(1/N\) 'th alturas promedio:
\ begin {align}\ bar {h} ^ {1/3}\, &=\, 4.0\ sqrt {M_0}\\ [4pt]\ bar {h} ^ {1/10}\, &=\, 5.1\ sqrt {M_0}. \ end {align}
El valor\(\bar{h}^{1/3}\) es la altura significativa de ola, la descripción más común del tamaño de las olas. Resulta estar muy cerca del tamaño de ola reportado por marineros experimentados.
Por último, aquí están las alturas más altas esperadas en\(N\) las observaciones, que no es del todo ni del\(1/N\) 'ésimo máximo ni el\(1/N\) 'ésimo promedio de las estadísticas dadas anteriormente:
\ begin {align}\ bar {h} (100)\, &=\, 6.5\ sqrt {M_0}\\ [4pt]\ bar {h} (1000)\, &=\, 7.7\ sqrt {M_0}\\ [4pt]\ bar {h} (10000)\, &=\, 8.9\ sqrt {M_0}. \ end {align}