6.2: Rotación y efectos viscosos

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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En un fluido, a diferencia de los cuerpos rígidos, el ángulo de rotación se toma como promedio de las deflexiones angulares de las caras. De ahí que una rotación neta solo se produzca si la deflexión de cada cara es aditiva. Si son opuestos, entonces solo tenemos un cizallamiento del elemento, sin rotación. A continuación se ilustran varios casos para el caso bidimensional.

Rotación de una forma bidimensional alrededor de diferentes ejes tridimensionales. — Figura\(\PageIndex{1}\): intentos de rotar una forma bidimensional en tres dimensiones. La rotación neta ocurre en los 3 casos a la izquierda pero solo se produce un cizallamiento, no una rotación neta, en el caso más a la derecha.

Ahora la tasa de rotación en la\(z\) dirección es\(\frac{\partial v}{\partial x}\) (la tasa de deflexión en sentido antihorario de la cara horizontal en las gráficas anteriores), menos\(\frac{\partial u}{\partial y}\) (tasa de deflexión en sentido horario de la cara vertical en las gráficas anteriores). Dando a la velocidad de rotación tridimensional el símbolo vectorial\(\vec{w}\), tenemos

\[ \vec{w} = \left[ \dfrac{\partial w}{\partial y} - \dfrac{\partial v}{\partial z} \quad \quad \dfrac{\partial u}{\partial z} - \dfrac{\partial w}{\partial x} \quad \quad \dfrac{\partial v}{\partial x} - \dfrac{\partial u}{\partial y} \right] ^T . \]

A pesar de esta atención, ahora vamos a argumentar que los efectos rotacionales son insignificantes en las grandes olas de agua. El centro del argumento es el hecho de que una partícula esférica no tendrá rotación excepto a través de fuerzas de cizallamiento. Al mismo tiempo, sin embargo, hay que tener en cuenta el número de Reynolds en olas a escala oceánica; es la relación de fuerzas inerciales a viscosas

\[ Re = \dfrac{U d}{\nu}, \]

donde están las escalas características de velocidad\(U\) y longitud y\(d\) respectivamente, con\(\nu\) la viscosidad cinemática\( (\mu \rho) \). La viscosidad cinemática del agua a temperaturas típicas del océano es\(1e - 6 m^2/s\). En contraste, las velocidades encontradas en las olas oceánicas son del orden de\(10 m/s\), con estructuras de flujo en la escala de metros o más. De ahí que el número de Reynolds sea muy grande, y las fuerzas viscosas pueden ser descuidadas. Esto significa en particular que\(\vec{w}\) es cero y que vamos a descuidar todos los términos con\(\mu\) en el balance de fuerza.

Tenga en cuenta que la suposición inviscida e irrotacional no es necesariamente válida cerca de límites sólidos, donde las estructuras de flujo muy pequeñas asociadas con la turbulencia resultan de la condición de límite antideslizante.