6.3: Potencial de velocidad
- Page ID
- 84068
Introducimos el campo vectorial\(\phi (\vec{x}, \, t)\) para satisfacer la siguiente relación:
\[ \vec{V} \, = \begin{Bmatrix} u \\[4pt] v \\[4pt] w \end{Bmatrix} = \left[ \dfrac{\partial \phi}{\partial x} \quad \dfrac{\partial \phi}{\partial y} \quad \dfrac{\partial \phi}{\partial z} \right] ^T = \, \nabla \phi. \]
La conservación de la masa se transforma en
\[ \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} \, = \, \nabla^2 \cdot \phi \, = \, 0. \]
Considerando la ley de Newton, la primera ecuación de balance de fuerza (\(x\)-dirección) que dimos anteriormente es
\[ \rho \left[ \dfrac{\partial u}{\partial t} + u \dfrac{\partial u}{\partial x} + v \dfrac{\partial u}{\partial y} + w \dfrac{\partial u}{\partial z} \right] \, = \, -\dfrac{\partial p}{\partial x}; \]
esto se convierte, sustituyendo el potencial de velocidad\(\phi\),
\[ \rho \left[ \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial t \partial x} + \dfrac{\partial \phi}{\partial x} \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \dfrac{\partial \phi}{\partial y} \dfrac{\partial ^2 \phi}{\partial y \partial x} + \dfrac{\partial \phi}{\partial z} \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial x} \right] \, = \, -\dfrac{\partial \rho}{\partial x}. \]
Integrando en\(x\) encontramos
\[ p + \rho \dfrac{\partial \phi}{\partial t} + \dfrac{1}{2} \rho (u^2 + v^2 + w^2) \, = \, C, \]
donde\(C\) es una constante. Las otras dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas son precisamente las mismas pero con la adición de efectos de gravedad en la\(z\) dirección -dirección. Por lo tanto, una sola ecuación para todo el campo es
\[ p + \rho \dfrac{\partial \phi}{\partial t} + \dfrac{1}{2} \rho (u^2 + v^2 + w^2) + \rho g z \, = \, C. \]
Esta es la ecuación de Bernoulli.