6.6: Carga de Ondas de Cuerpos Estacionarios y Móviles

La elegancia de la teoría de ondas lineales permite una estimación explícita de las cargas de olas en las estructuras, generalmente proporcionando primeras aproximaciones razonables. Rompemos las fuerzas sobre el cuerpo en tres clases:

1. La carga de presión dinámica integrada sobre la superficie corporal, con el supuesto de que la presencia del cuerpo no afecta el flujo, es un cuerpo “fantasma”. A esto lo llamamos la fuerza de ola incidente.
2. El flujo se desvía de su curso por la presencia del cuerpo, asumiendo aquí que el cuerpo es estacionario. Esta es la fuerza de onda de difracción.
3. Las fuerzas se crean en el cuerpo por su movimiento relativo al agua sin gas. Esto es hacer olas, debido a que el cuerpo empuja el líquido fuera del camino. A esto lo llamamos la fuerza de las ondas de radiación.

Esta separación de efectos depende claramente de los supuestos linealizadores. A saber, el flujo móvil interactúa con un cuerpo estacionario en la onda incidente y las fuerzas de difracción, mientras que el flujo estacionario interactúa con un cuerpo móvil en la fuerza de radiación. Además, entre las dos primeras fuerzas, las descomponemos en una parte que no se ve afectada por el cuerpo “fantasma” y una parte que existe sólo por la presencia del cuerpo.

Sin pruebas, expondremos fórmulas simples para las cargas de difracción y radiación, para luego entrar en más detalles sobre la fuerza de onda incidente (presión).

Como requisito previo, necesitamos el concepto de masa añadida: puede pensarse como la masa fluida que va junto con un cuerpo cuando se acelera o desacelera. Las fuerzas debidas a la masa agregada se verán más claramente en experimentos bajo condiciones en las que el cuerpo tenga una velocidad instantánea baja, y las fuerzas de arrastre de separación son mínimas. La masa agregada de varias secciones bidimensionales y formas tridimensionales se puede buscar en tablas. Como ejemplo sencillo, la masa añadida de un cilindro largo expuesto al flujo cruzado es precisamente la masa del agua desplazada:\(A_m = \pi r^2 \rho\) (por unidad de longitud).

Un aspecto muy interesante e importante de la masa agregada es su conexión con la fuerza de Arquímedes. Observamos que la fuerza másica añadida en un cuerpo que acelera en un fluido inmóvil es solo la mitad de la que se ve en un cuerpo estacionario en un flujo acelerado. ¿Por qué es esto? En el caso del fluido de aceleración, e independientemente de la forma o tamaño del cuerpo, debe haber un gradiente de presión en la dirección de la aceleración; de lo contrario, el fluido no aceleraría. Este campo de presión no uniforme integrado sobre el cuerpo conducirá a una fuerza. Esto es totalmente equivalente a la explicación de Arquímedes de por qué, en un campo gravitacional, los objetos flotan en un fluido. Este efecto no está presente en absoluto si el cuerpo está acelerando en un fluido que no tiene gradiente de presión. La” masa” que explica esta fuerza de Arquímedes como efecto inercial es de hecho la misma que la masa agregada, y de ahí el factor de dos.

Para el desarrollo de un modelo simple, nos enfocaremos en un cuerpo que se mueve en dirección vertical; denominamos movimiento vertical\(\xi(t)\), y se centra en\(x = 0\). La elevación de onda vertical es\(\eta(t, \, x)\), y la velocidad de onda vertical es\(w(t, \, x, \, z)\). El cuerpo tiene viga\(2b\) y calado\(T\); su masa añadida en la dirección vertical se toma como\(A_m\). El objetivo es escribir una ecuación de la forma

\[ m \xi_t t + C \xi \, = \, F_I + F_D + F_R, \]

donde\(m\) es la masa material (seccional) del buque, y\(C\) es la rigidez hidrostática, el producto\(\rho g\) y el área del plano de agua:\(C = 2b \rho g\).

La fuerza de difracción es

\[ F_D (t) \, = \, A_m w_t (t, \, x = 0, \, z = -T/2). \]

En palabras, esta fuerza empuja al cuerpo hacia arriba cuando la ola está acelerando hacia arriba. Tenga en cuenta que la velocidad de onda se hace referencia en el centro del cuerpo. Este es el efecto del flujo acelerado al encontrarse con un cuerpo fijo -pero no incluye la fuerza de Arquímedes. La fuerza de Arquímedes se deriva de la presión dinámica en el fluido independiente del cuerpo, y capturada en la fuerza de onda incidente debajo. La fuerza de radiación es

\[ F_R (t) \, = \, - A_m \xi_{tt}. \]

Esta fuerza tira del cuerpo hacia abajo cuando está acelerando hacia arriba; es el efecto del cuerpo acelerando a través del líquido inmóvil. Claramente no hay fuerza neta cuando la aceleración de la onda es igualada por la aceleración del cuerpo:\(F_D + F_R = 0\).

Ahora describimos la fuerza de onda incidente usando las descripciones disponibles de la teoría de ondas lineales:

\ begin {align}\ eta (t,\, x)\, &=\, a\ cos (\ omega t - kx +\ psi)\ textrm {y}\\ [4pt] p (t,\, x,\, z)\, &=\,\ rho ga e^ {kz}\ cos (omega\ t - kx +\ psi) -\ rho gz. \ end {align}

Desatenderemos el ángulo aleatorio\(\psi\) y la presión hidrostática\(−\rho gz\) en nuestra discusión. La tarea es integrar la fuerza de presión en la parte inferior de la estructura:

\ begin {align} F_I\, &=\,\ int\ limits_ {-b} ^ {b} p (t,\, x,\, z = -T)\, dx\\ [4pt] &=\,\ rho ag e^ {-kt}\ int\ limits_ {-b} ^ {b}\ cos (\ omega t - kx)\, dx\\ [4pt] &=\,\ dfrac {2\ rho ag} {k} e^ {-kT}\ cos (\ omega t)\ sin (kb). \ end {align}

Como se esperaba, la fuerza varía como\(\cos (\omega t)\). El efecto de la variación espacial en la\(x\) dirección -se captura en el\(\sin (kb)\) término.

Si es\(kb < 0.6\) así, entonces\(\sin (kb)\approx kb\). Este es el caso cuando\(b\) es aproximadamente una décima parte de la longitud de onda o menos, y bastante común para embarcaciones más pequeñas en mares de haz. Además,\(e^{-kT} \approx 1 - kT\) si es más\(kT < 0.3\) o menos. Esto es cierto si el borrador es inferior a aproximadamente una vigésima parte de la longitud de onda, lo que también es bastante común. Bajo estas condiciones, podemos reescribir\(F_I\):

\ begin {align} F_I\, &\ approx\, 2\ rho ga (1 - kT) b\ cos (\ omega t)\\ [4pt] &=\, 2b\ rho ga\ cos (\ omega t) - 2bT\ rho\ omega^2 a\ cos (\ omega t)\\ [4pt] &=\, C\ eta (t,\, x=0) +\ nabla\ rho w_t (t,\, x=0,\, z=0). \ end {align}

Aquí\(\nabla\) está el volumen (seccional) del vaso. Obsérvese que para obtener la segunda línea se utilizó la relación de dispersión en aguas profundas\(\omega^2 = kg\).

Ahora podemos armar la ecuación completa del movimiento:

\ begin {align} m\ xi_ {tt} + C\ xi\, &=\, F_I + F_D + F_R\\ [4pt] &=\, C\ eta (t,\, x=0) +\ nabla\ rho w_t (t,\, x=0,\, z=0) + a_M w_t (t,\, x=0,\, z=-t/2) - a_M\ xi_ {tt},\ textrm {así que}\\ [4pt] (m + a_M)\ xi_ {tt} + C\ xi\, &\ approx\, C\ eta (t,\, x=0) + (\ nabla\ rho + a_M) w_t (t,\, x=0,\, z=-t/2). \ end {align}

Tenga en cuenta que en la última línea hemos igualado las\(z\) -ubicaciones a las que\(w_t\) se lleva la aceleración del fluido\(z = −T/2\). Puede parecer arbitrario al principio, pero si elegimos la alternativa de\(w_t(t, \, x=0, \, z=0)\), obtendríamos

\ begin {alinear*} (m + a_M)\ xi_ {tt} + C\ xi\, &=\, C\ eta (t,\, x=0) + (\ nabla\ rho + a_M) w_t (t,\, x=0,\, z=0)\\ [4pt] (- (m + a_M)\ omega^2 + C)\ xi\, &=\, (C - (\ nabla\ rho + a_M)\ omega^2)\ eta (t,\, x=0)\ largoderrow\\ [4pt]\ dfrac {\ xi (j\ omega)} {\ eta (j\ omega)}\, &=\, 1,\ end { alinear*}

ya que\(m\) es igual a\(\nabla \rho\) para un cuerpo de flotación neutra. Claramente, la función de transferencia que relaciona el movimiento de la oscilación del vehículo con la elevación de las olas no puede ser unidad: ¡la embarcación no sigue todas las olas Si decimos eso\(w_t(t, \, x=0, \, z=-T/2) = \gamma w_t(t, \, x=0, \, z=0)\), donde\(\gamma < 1\) es una función de la longitud de onda y\(T\), la ecuación anterior se vuelve más adecuada:

\ begin {alinear*} (- (m + a_M)\ omega^2 + C)\ xi\, &=\, (C - (\ gamma\ nabla\ rho\ rho + a_M)\ omega^2)\ eta (t,\, x=0)\ largoderrow\\ [4pt]\ dfrac {\ xi (j\ omega)} {\ eta (j\ omega))}\, &=\,\ dfrac {C - (\ gamma\ nabla\ rho + a_M)\ omega^2} {C - (m + a_M)\ omega^2}\ final {alinear*}

Esta función de transferencia tiene ganancia unitaria a bajas frecuencias y ganancia\( (\gamma \nabla \rho + A_m) / (m + A_m) \) a altas frecuencias. Tiene magnitud cero a\(\omega = \sqrt{C / (\gamma \nabla \rho + A_m)}\), pero magnitud muy alta (resonancia) a\(\omega = \sqrt{C / (m + A_m)}\). El cero ocurre a una frecuencia mayor que la resonancia porque\(\gamma < 1\).

En la práctica, la aproximación que se\(w_t\) debe tomar\(z = −T/2\) es razonable. Sin embargo, un factor significativo que falta en nuestro análisis es la amortiguación, que depende fuertemente de la forma específica del casco. Las quillas de sentina y las esquinas afiladas provocan amortiguación, al igual que la creación de ondas radiadas.