11.7: Ejemplo: Control PID

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Considera el caso de una masa que se\((m)\) desliza sobre una mesa sin fricción. Tiene un propulsor perfecto que genera fuerza\(u(t)\), pero también está sujeto a una perturbación desconocida\(d(t)\). Si la posición lineal de la masa es\(y(t)\), y se mide perfectamente, tenemos la planta\[ m y''(t) \, = \, u(t) + d(t). \]

Supongamos que la condición deseada es simplemente\(y(t) = 0\), con condiciones iniciales\(y(0) = y_o\) y\(y'(0) = 0\).

Solo Proporcional

Un controlador proporcional solo invoca la ley de control\(u(t) = −k_p y(t)\), de modo que la dinámica de bucle cerrado sigue

\[ m y''(t) \, = \, - k_p y(t) + d(t). \]

A falta de\(d(t)\), vemos eso\(y(t) = y_o \cos \sqrt{\frac{k_p}{m}} t\), una respuesta marginalmente estable que es indeseable.

Proporcional-Derivada Solamente

Vamos\(u(t) = - k_p y(t) - k_d y'(t)\), y se deduce que

\[ m y''(t) \, = \, - k_p y(t) - k_d y'(t) + d(t). \]

El sistema ahora se asemeja a un sistema de resorte masivo de segundo orden donde\(k_p\) juega la parte del resorte, y\(k_d\) la parte del amortiguador. Con un valor excesivamente grande para\(k_d\), el sistema estaría sobreamortiguado y muy lento para responder a cualquier comando. En la mayoría de las aplicaciones, se tolera una pequeña cantidad de sobreimpulso porque el tiempo de respuesta es más corto. El\(k_d\) valor para la amortiguación crítica en este ejemplo es\(2 \sqrt{m k_p}\), y así lo es la regla\(k_d < 2 \sqrt{m k_p}\). El resultado, que se encuentra fácilmente usando la transformación de Laplace, es

\[ y(t) \, = \, y_o e^{\frac{-k_d}{2m}t} \left[ \cos \omega_d t + \frac{k_d}{2 m \omega_d} \sin \omega_d t \right], \]

donde\(\omega_d = \sqrt{4m k_p - k_d^2} / 2m\). Esta respuesta es exponencialmente estable según se desee. Tenga en cuenta que si la masa tuviera una cantidad muy grande de amortiguación natural, se\(k_d\) podría usar un negativo para cancelar parte de su efecto y acelerar la respuesta del sistema.

Ahora considere lo que sucede si\(d(t)\) tiene un sesgo constante\(d_o\): equilibra exactamente la parte de control proporcional, eventualmente estableciéndose en\(y(t = \infty) = d_o / k_p\). Para lograr un buen rechazo de\(d_o\) con un\(PD\) controlador, necesitaríamos establecer\(k_p\) muy grandes. Sin embargo, valores muy grandes de también\(k_p\) impulsarán la frecuencia resonante\(\omega_d\) hacia arriba, lo cual es inaceptable.

Proporcional-Integral-Derivada

Ahora vamos\(u(t) = - k_p y(t) - k_i \displaystyle\int\limits_{0}^{t} y(\tau) \, d\tau - k_d y'(t)\): tenemos

\[ m y''(t) \, = \, - k_p y(t) - k_i \int\limits_{0}^{t} y(\tau) \, d\tau - k_d y'(t) + d(t). \]

El sistema de control ahora ha creado una respuesta de bucle cerrado de tercer orden. Si\(d(t) = d_o\), una derivada del tiempo conduce a

\[ m y'''(t) + k_p y'(t) + k_i y(t) + k_d y''(t) = 0, \]

para que\(y(t = \infty) = 0\), según se desee, siempre que las raíces sean estables. Tenga en cuenta que para el caso del\(PD\) control, bastó con seleccionar\(k_p\) positivo y\(k_d\) positivo porque estos términos representan fuerzas tipo resorte y salpicadero. Sin embargo, el uso de\(k_i\) complica la estabilidad, y no es suficiente en general establecer las tres ganancias positivas; la estabilidad debe verificarse explícitamente.