12.2: Raíces de Estabilidad — Criterio Nyquist

Consideramos el sistema de retroalimentación SISO con trayectoria de referencia\(r(s)\) y salida de planta\(y(s)\), como se dio anteriormente. La señal de error de seguimiento se define como\(e(s) = r(s)-y(s)\), formando así el bucle de retroalimentación negativa. La función de sensibilidad se escribe como

\[ S(s) \, = \, \frac{e(s)}{r(s)} \, = \, \frac{1}{1 + P(s)C(s)}, \]

donde\(P(s)\) representa la función de transferencia de planta, y\(C(s)\) el compensador. La ecuación característica de bucle cerrado, cuyas raíces son los polos del sistema de bucle cerrado, es, equivalente a\(1+P(s)C(s) = 0\)\(\underline{P}(s) \underline{C}(s) + \bar{P}(s) \bar{C}(s) = 0\), donde el subrayado y el overline denotan el denominador y el numerador, respectivamente. El criterio Nyquist nos permite evaluar las propiedades de estabilidad de un sistema de retroalimentación basado\(P(s)C(s)\) únicamente en. Este método de diseño implica trazar los loci complejos de\(P(s)C(s)\) para el rango\(s = j \omega\),\(\omega = [-\infty, \, \infty]\). Sorprendentemente, no hay un cálculo explícito de los polos de bucle cerrado, y en este sentido el enfoque de diseño es bastante diferente del método root-locus (ver Ogata, también el comando rlocus () en MATLAB).

Teorema de Mapeo

Para dar cierta comprensión de la trama nyquist, comenzamos imponiendo una suposición razonable desde el principio: El número de polos en\(P(s)C(s)\) supera el número de ceros. Es una restricción razonable porque de lo contrario la función de transferencia de bucle podría pasar señales con frecuencia infinitamente alta. En el caso de un controlador PID (dos ceros) y una planta sin cero de segundo orden, esta restricción se puede cumplir fácilmente agregando un rolloff de alta frecuencia al compensador, el equivalente al filtrado de paso bajo de la señal de error.

Ahora vamos\(F(s) = 1 + P(s)C(s)\) (el denominador de\(S(s)\)). El corazón del análisis Nyquist es el teorema de mapeo, que responde a la siguiente pregunta: ¿Cómo se mapean los caminos en el\(s\) plano complejo en caminos en el\(F\) plano complejo? Nos limitamos a caminos cerrados, en sentido horario (CW) en el\(s\) plano -plano, y el poderoso resultado del teorema de mapeo es:

Resultado del teorema del mapeo:

Cada cero de\(F(s)\) eso está encerrado por una trayectoria en el\(s\) plano -genera exactamente un cerco CW del origen en el\(F(s)\) plano. Por el contrario, cada polo de\(F(s)\) eso está encerrado por una trayectoria en el\(s\) plano -genera exactamente un cerco CCW del origen en el\(F(s)\) plano. Dado que los cercos de CW y CCW del origen pueden cancelarse, la relación a menudo se escribe\(Z-P = CW.\)

Así, será posible relacionar polos y ceros en el\(F(s)\) plano con cercos del origen en el\(s\) plano. Como llegamos a diseñar el camino en el\(s\) plano -plano, el truco es encerrar todos los polos inestables, es decir, el camino encierra todo el plano de la mitad derecha, subiendo el eje imaginario, y luego procediendo hacia la derecha en un radio arbitrariamente grande, de vuelta al eje imaginario negativo.

Dado que los ceros de\(F(s)\) son de hecho los polos de la función de transferencia de bucle cerrado, por ejemplo\(S(s)\), la estabilidad requiere que no haya ceros\(F(s)\) en el\(s\) plano de la mitad derecha. Esto lleva a una forma ligeramente más corta de la relación anterior:

\[ P \, = \, CCW. \]

En palabras, la estabilidad requiere que el número de polos inestables en\(F(s)\) sea igual al número de cercos CCW del origen, como\(s\) barridos alrededor de todo el\(s\) plano de la mitad derecha.

Criterio Nyquist

El criterio Nyquist se desprende ahora de una traducción. Es decir, los cercos del origen por\(F(s)\) son equivalentes a cercos del punto\((-1 + 0j)\) por\(F(s)-1\), o\(P(s)C(s)\). Entonces el criterio de estabilidad se puede fundir en términos de los polos inestables de\(P(s)C(s)\), en lugar de los de\(F(s)\):

\[ P \, = \, CCW \,\, \longleftrightarrow \,\, \text{closed-loop stability} \]

Este es, de hecho, el criterio completo de Nyquist para la estabilidad: Es una condición necesaria y suficiente que el número de polos inestables en la función de transferencia de bucle\(P(s)C(s)\) debe coincidir con un número igual de cercos CCW del punto crítico\((-1 + 0j)\).

Hay varios detalles a tener en cuenta a la hora de hacer parcelas Nyquist:

• De la fórmula, si ni la planta ni el controlador tienen polos inestables, entonces los loci de no\(P(s)C(s)\) deben rodear el punto crítico en absoluto, para una estabilidad de bucle cerrado. Si la planta y el controlador comprenden polos\(q\) inestables, entonces los loci de\(P(s)C(s)\) deben rodear los\(q\) tiempos de punto crítico en la dirección CCW.
• Debido a que el camino tomado en el\(s\) plano incluye frecuencias negativas (es decir, el eje imaginario negativo), los loci de\(P(s)C(s)\) ocurren como conjugados complejos, la gráfica es simétrica alrededor del eje real.
• El requisito de que el número de polos en\(P(s)C(s)\) exceda el número de ceros significa que a altas frecuencias,\(P(s)C(s)\) siempre decae de tal manera que los loci van al origen.
• Para el caso multivariable (MIMO), el procedimiento de observar parcelas Nyquist individuales para cada elemento de una matriz de transferencia no es confiable y está desactualizado. Refiriéndose a la definición multivariable de\(S(s)\), debemos contar los cercos para la función\([det(I + P(s)C(s)) - 1]\) en lugar de\(P(s)C(s)\). El uso de ganancia y margen de fase en el diseño es similar al caso SISO.

Robustez en la parcela Nyquist

La cuestión de la robustez en presencia de errores de modelado es fundamental para controlar el diseño del sistema. Hay dos medidas naturales de robustez para la trama Nyquist, cada una con una representación gráfica muy clara. Los loci necesitan mantenerse alejados del punto crítico\(P(s)C(s) = -1 = 1 \angle 180°\), y cuán cerca llegan los loci se pueden expresar en términos de magnitud y ángulo:

• Cuando el ángulo de\(P(s)C(s)\) es\(-180°\), la magnitud no\(|P(s)C(s)|\) debe estar cerca de uno.
• Cuando la magnitud\(|P(s)C(s)| = 1\), su ángulo no debe ser\(-180°\).

Estas nociones conducen a la definición del margen de ganancia\(k_g\) y el margen de fase\(\gamma\) para un diseño. Como muestra la figura, la definición de\(k_g\) es diferente para estable e inestable\(P(s)C(s)\). Las reglas generales son las siguientes. Para una planta estable, deseamos\(k_g \geq 2\) y\(\gamma \geq 30°\); para una planta inestable,\(k_g \leq 0.5\) y\(\gamma \geq 30°\). Según se define, estas condiciones mantendrán la estabilidad incluso si la ganancia se incrementa en un factor de dos para el sistema estable de bucle abierto, o disminuida en un factor de dos para el sistema OL inestable. En ambos casos, el ángulo de fase puede tener un error de treinta grados sin perder estabilidad. Tenga en cuenta que el comportamiento del sistema en bucle cerrado, aunque técnicamente estable a través de estas perturbaciones, podría ser muy pobre desde el punto de vista del rendimiento. Las dos secciones siguientes describen cómo manejar la robustez y el rendimiento simultáneamente usando la gráfica Nyquist.