12.4: Diseño para robustez

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Es ubicuo que los modelos de plantas se degraden con frecuencia creciente. Por ejemplo, la ganancia de CC y los modos o ceros lentos y ligeramente amortiguados son fáciles de observar, pero los componentes de mayor frecuencia en la respuesta pueden ser difíciles de capturar o incluso excitar de una manera repetible. El comportamiento de mayor frecuencia también puede tener más propiedades no lineales.

Los efectos de la incertidumbre de modelado pueden considerarse para ingresar al sistema de retroalimentación nominal como una perturbación a la salida de la planta,\(d_y\). Una de las descripciones más útiles de la incertidumbre del modelo es la incertidumbre multiplicativa:

\[ \tilde{P}(s) \, = \, (1 + \Delta(s) W_2 (s)) P(s). \]

Aquí,\(P(s)\) representa el modelo nominal de planta utilizado en el diseño del bucle de control, y\(\tilde{P}(s)\) es la planta real perturbada. La perturbación es del tipo multiplicativo\(\Delta(s) W_2 (s) P(s)\), donde\(\Delta(s)\) se encuentra una función desconocida pero estable de frecuencia para\( |\Delta(s) \leq 1|. \) la cual La función de ponderación\(W_2(s)\) escala\(\Delta(s)\) con frecuencia;\(W_2(s)\) debe estar creciendo con frecuencia creciente, ya que la incertidumbre crece. No obstante, no\(W_2(s)\) debe crecer más rápido de lo necesario, ya que resultará ser a costa del rendimiento nominal.

En el caso escalar, el peso se puede estimar de la siguiente manera: ya que\(\tilde{P} / P-1 = \Delta W_2\), bastará con dejar\(|\tilde{P} / P-1| < |W_2|\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Vamos\(\tilde{P} = k/(s-1)\), donde\(k\) está en el rango 2-5. Necesitamos crear un modelo nominal\(P = k_0 / (s-1)\), aumentado con el menor valor posible de\(W_2\), que no variará con la frecuencia en este caso. Se pueden escribir dos ecuaciones usando la estimación anterior, para los dos valores extremos de\(k\), rendimiento\(k_0 = 7/2\), y\(W_2 = 3/7\). En particular,\(k_0 \pm W_2 = [2, \, 5]\).

Solución

Para construir la parcela Nyquist, observamos que\(\tilde{P}(s) C(s) = (1 + \Delta(s) W_2(s)) P(s)C(s).\) El camino de la planta perturbada podría estar en cualquier lugar en un disco de radio\(|W_2(s) P(s)C(s)|\), centrado en los loci nominales\(P(s)C(s)\). La condición de robustez es que este disco no debe intersectar el punto crítico. Esto se puede escribir como

\ begin {alinear*} 1 + PC\,\, &>\,\, |W_2 PC|\ longleftrightarrow\\ [4pt] [4 pt] 1\,\, &>\,\,\ frac {|W_2 PC|} {1 + PC}\ longleftrightarrow\\ [4pt] [4 pt] 1\,\, &>\,, |W_2 T|,\ end {align*}

donde\(T\) está la función de sensibilidad complementaria. La última desigualdad es así una condición para una estabilidad robusta ante la presencia de incertidumbre multiplicativa parametrizada con\(W_2\).