12.6: Implicaciones de la Integral de Bode

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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La función de transferencia de bucle\(PC\) no puede rodar demasiado rápido en la región de cruce, y esto limita cuán “dramáticas” pueden ser las formas de bucle que creamos para lograr robustez, rendimiento nominal, o ambos. La razón simple es que una pendiente pronunciada induce una gran pérdida de fase, lo que a su vez degrada el margen de fase. Para ver esto se requiere una breve incursión en la integral de Bode. Para una función de transferencia\(H(s)\), la relación crucial es

\[ \angle H(j \omega_0) \, = \, \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{d \nu} [ \log(|H(j \omega)|) \cdot \log( \coth (|\nu|/2))] \, d \nu, \]donde\(\nu = \log(\omega / \omega_0)\), y\(\coth()\) es la cotangente hiperbólica. Por lo tanto, la integral se toma sobre el log de una frecuencia normalizada con\(\omega_0\). No es difícil ver cómo la integral controla el ángulo: la función\(\log( \coth( |\nu|/2)) \) es distinta de cero solo cerca\(\nu = 0\), lo que implica que el ángulo depende únicamente de la pendiente local\(d( \log |H|)/ d\nu\). Así, si la pendiente es grande, el ángulo es grande.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Supongamos\(H(s) = \omega_0^n / s^n\), es decir, que es una función simple con\(n\) polos en el origen, y sin ceros;\(\omega_0\) es una constante fija. De ello se deduce\(|H| = \omega_0^n / \omega^n\), y\(\log |H| = -n \log (\omega / \omega_0)\), así que eso\(d(\log |H|) / d\nu = -n\). Entonces acabamos

\[ \angle H \, = \, -\frac{n}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \log (\coth (|\nu|/2)) \, d\nu \, = \, -\frac{n \pi}{2}. \]

Esta integral es fácil de buscar o calcular. Cada polo en el origen induce pérdida\(90°\) de fase. En el caso general, cada polo no en el origen induce pérdida\(90°\) de fase para frecuencias por encima del polo. Cada cero en el origen agrega ventaja de\(90°\) fase, mientras que los ceros no en el origen agregan el plomo\(90°\) de fase para frecuencias por encima del cero. En la vecindad inmediata de estos polos y ceros, la fase puede variar significativamente con la frecuencia.

Los loci Nyquist son claramente susceptibles a estas variaciones de fase, y el margen de fase se puede perder fácilmente si la pendiente de\(PC\) al cruce (donde la magnitud es la unidad) es demasiado pronunciada. La pendiente puede ser de primer orden (\(-20dB/decade)\)equivalente a un solo polo) y puede ser de segundo orden (\(-40dB/decade)\)si se puede mantener un ángulo de fase adecuado cerca del cruce.