2.3: Sistemas de coordenadas bidimensionales
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Preguntas Clave
- ¿Por qué los sistemas de coordenadas ortogonales son
- ¿Cómo se transforma entre coordenadas polares y cartesianas?
Un sistema de coordenadas nos da un marco de referencia para describir un sistema que nos gustaría analizar. En la estática normalmente utilizamos sistemas de coordenadas ortogonales, donde ortogonal significa “perpendicular”. En un sistema de coordenadas ortogonales la dirección de las coordenadas son perpendiculares entre sí y por lo tanto independientes. La intersección de los ejes de coordenadas se llama origen, y las mediciones se realizan a partir de ahí. Tanto los puntos como los vectores se describen con un conjunto de números llamados las coordenadas. Para los puntos en el espacio, las coordenadas especifican la distancia que debes recorrer en cada una de las direcciones de coordenadas para llegar desde el origen hasta el punto en cuestión. En conjunto, se puede pensar que las coordenadas especifican un vector de posición, un vector desde el origen directamente al punto. El vector de posición da la magnitud y dirección necesarias para viajar directamente desde el origen hasta el punto.
En el caso de los vectores de fuerza, las coordenadas son los componentes escalares de la fuerza en cada una de las direcciones de coordenadas. Estos componentes localizan la punta del vector y pueden interpretarse como la fracción de la fuerza total que actúa en cada una de las direcciones de las coordenadas.
Se necesitan tres direcciones de coordenadas para mapear nuestro mundo tridimensional real, pero en esta sección comenzaremos con dos sistemas ortogonales bidimensionales más simples: coordenadas rectangulares y polares, y las herramientas para convertir de uno a otro.
Coordenadas rectangulares
El sistema de coordenadas más importante es el sistema cartesiano, que lleva el nombre del matemático francés René Descartes. En dos cotas los ejes de coordenadas son líneas rectas giradas 90° separadas nombradas\(x\text{,}\) y\(y\text{.}\)
En la mayoría de los casos el\(x\) eje es horizontal y apunta a la derecha, y el\(y\) eje apunta verticalmente hacia arriba, sin embargo somos libres de rotar o trasladar todo este sistema de coordenadas si queremos. Por lo general, es matemáticamente ventajoso establecer el origen en un punto conveniente para realizar mediciones, y alinear uno de los ejes de coordenadas con una característica principal del problema.
Los puntos se especifican como un par ordenado de valores de coordenadas separados por una coma y encerrados entre paréntesis,\(P = (x,y)\text{.}\)
Del mismo modo, las fuerzas y otros vectores se especificarán con un par ordenado de componentes escalares encerrados por corchetes angulares,
\[ \vec{F} = \langle F_x, F_y \rangle\text{.} \nonumber \]
Coordenadas polares
El sistema de coordenadas polares es un sistema ortogonal alternativo que es útil en algunas situaciones. En este sistema se especifica un punto dando su distancia desde el origen\(r\text{,}\) y\(\theta\text{,}\) un ángulo medido en sentido antihorario desde una dirección de referencia —generalmente el\(x\) eje positivo.
En este texto, los puntos en coordenadas polares se especificarán como un par ordenado de valores separados por punto y coma y encerrados entre paréntesis
\[ P = (r\ ; \theta)\text{.} \nonumber \]
Figura 2.3.2. Sistema de coordenadas polares
Los ángulos se pueden medir en radianes o grados, así que asegúrate de incluir un signo de grado en ángulo\(\theta\) si eso es lo que pretendes.
Transformación de coordenadas
Debería poder traducir puntos de un sistema de coordenadas a otro siempre que sea necesario. La relación entre\((x,y\)) coordenadas y\((r;\theta)\) coordenadas se ilustra en el diagrama y la trigonometría del triángulo rectángulo es todo lo que se necesita para convertir de una representación a otra.
Figura 2.3.3. Transformación de coordenadas
Rectangular a Polar para puntos (Dado:\(x\) and, \(y\)).
\ begin {align} r\ amp =\ sqrt {x^2 + y^2}\ tag {2.3.1}\\ theta\ amp =\ tan^ {-1} {\ left (\ frac {y} {x}\ derecha)}\ tag {2.3.2}\\ P\ amp = (r\;;;\ theta)\ tag {2.3.3}\ end {align}
- Nota 2.3.4.
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Tenga cuidado al usar la función de tangente inversa en su calculadora. Los ángulos de la calculadora siempre están en el primer o cuarto cuadrante, y es posible que deba sumar o restar 180° al ángulo de la calculadora para ubicar el punto en el cuadrante correcto.
Polar a Rectangular para puntos (Dado:\(r\) and, \(\theta \)).
\ begin {align} x\ amp = r\ cos\ theta\ tag {2.3.4}\\ y\ amp = r\ sin\ theta\ tag {2.3.5}\\ P\ amp = (x, y)\ tag {2.3.6}\ end {align}
Rectangular a Polar para fuerzas (Dado: componentes rectangulares).
Si estás trabajando con fuerzas en lugar de distancias, el proceso es exactamente el mismo pero el triángulo está etiquetado de manera diferente. La hipotenusa del triángulo es la magnitud del vector, y los lados del triángulo rectángulo son los componentes escalares de la fuerza, así que para el vector\(\vec{A}\)
\ begin {align} A\ amp =\ sqrt {a_x^2 + a_y^2}\ tag {2.3.7}\\ theta\ amp =\ tan^ {-1} {\ left (\ frac {a_Y} {A_x}\ derecha)}\ tag {2.3.8}\\ vec {A}\ amp = (A\;;;\ theta)\ {etiqueta 2.3.9}\ end {align}
Polar a Rectangular para fuerzas (Dado: magnitud y dirección).
\ begin {align} a_x\ amp = A\ cos\ theta\ label {p2r-vec}\ tag {2.3.10}\\ A_y\ amp = A\ sin\ theta\ tag {2.3.11}\\ vec {A}\ amp =\ langle a_x, a_Y\ rangle = A\ langle\ cos\ theta,\ sin\ theta\ rangle\ {2.3.12}\ end {align}
Ejemplo 2.3.5. Representación de Rectangular a Polar.
Punto expreso\(P = (-8.66, 5)\) en coordenadas polares.
- Contestar
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\(P = (10\; ; 150°)\)
- Solución 1
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Dado:\(x = -8.66\text{,}\)\(y = 5\)
\ begin {alinear*} r\ amp =\ sqrt {x^2 +y^2}\ amp\ theta\ amp =\ tan^ {-1}\ izquierda (\ frac {y} {x}\ derecha)\\ amp =\ sqrt {(-8.66) ^2 + (5) ^2}\ amp\ amp =\ tan^ {-1}\ izquierda (\ frac {5} {-8.66}\ derecha)\\ amp = 10\ amp\ amp =\ tan^ {-1} (- 0.577)\\ amp\ amp\ amp\ amp = -\ ang {30}\ end {align*}
Aquí hay que tener cuidado y usar algo de sentido común. El\(\ang{-30}\) ángulo que tu calculadora te da en este problema es incorrecto porque el punto\(P\) está en el segundo cuadrante, pero tu calculadora no lo sabe. No puede decir si el argumento de\(\tan^{-1}(-0.577)\) es negativo porque el\(x\) fue negativo o porque el\(y\) fue negativo, por lo que debe hacer una suposición y en este caso es erróneo.
La función arctan en las calculadoras siempre devolverá valores en el primer y cuarto cuadrante. Si, por inspección de las\(y\) coordenadas\(x\) y, ves que el punto está en el segundo o tercer cuadrante, debes sumar o restar\(\ang{180}\) a la respuesta de la calculadora.
Entonces en este problema,\(\theta\) es realmente\(\ang{-30} + \ang{180}\text{.}\) Después de hacer este ajuste, la ubicación de\(P\) en coordenadas polares es:
\ begin {reunir*} P = (10;\ ang {150})\ end {reunir*}
- Solución 2
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La mayoría de las calculadoras científicas incluyen prácticas funciones polares a rectangulares y rectangulares a polares que pueden ahorrarle tiempo y ayudarlo a evitar errores. ¿Quizás deberías buscar en Google tu modelo de calculadora para saber si el tuyo lo hace y aprender a usarlo?
Ejemplo 2.3.6. Representación Polar a Rectangluar.
- Contestar
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\ comenzar {reunir*}\ vec {F} =\ langle\ N {-173.2},\ N {-100}\ rangle\ end {recolectar*}
- Solución 1
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Dado: La magnitud de la fuerza\(\vec{F} = \N{200}\text{,}\) y a partir del diagrama vemos que la dirección de\(\vec{F}\) es en\(\ang{30}\) sentido antihorario desde el\(x\) eje negativo.
Dejando que\(\theta = \ang{30}\) podamos encontrar los componentes de\(\vec{F}\) con trigonometría de triángulo rectángulo.
\ begin {alinear*} F_x\ amp = F\ cos\ theta\ amp F_y\ amp = F\ sin\ theta\\ amp =\ N {200}\ cos\ ang {30}\ amp\ amp =\ N {200}\ sin\ ang {30}\\ amp =\ N {173.2}\ amp\ amp =\ N {100}\ end {align*}
Dado que la fuerza apunta hacia abajo y hacia la izquierda hacia el tercer cuadrante, estos valores son en realidad negativos, y los signos deben aplicarse manualmente.
Después de realizar este ajuste, la ubicación de\(\vec{F}\) expresado en coordenadas rectangulares es:
\[ \vec{F} = \langle \N{-173.2}, \N{-100} \rangle \nonumber \]
- Solución 2
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Si prefieres no aplicar los signos negativos a mano, puedes convertir el\(\ang{30}\) a un ángulo medido desde el\(x\) eje positivo y dejar que tu calculadora se encargue de los signos. Puedes usar cualquiera de\(\theta = \ang{30} \pm \ang{180}\text{.}\)
Para\(\theta = \ang{-150}\)
\ begin {alinear*} F_x\ amp = F\ cos\ theta\ amp F_y\ amp = F\ sin\ theta\\ amp =\ N {200}\ cos (\ ang {-150})\ amp\ amp =\ N {200}\ sin (\ ang {-150})\\ amp =\ N {-173.2}\ amp\ amp =\ N {-100}\\\\ vec {F}\ amp =\ langle\ N {-173.2},\ N {-100}\ rangle\ end {align*}
Si bien este enfoque es matemáticamente correcto, la experiencia ha demostrado que puede generar errores y recomendamos que cuando se trabaja con triángulos rectos, utilice ángulos entre cero\(\ang{90}\text{,}\) y aplique signos manualmente según lo requiera la situación física.