2.4: Sistemas de coordenadas tridimensionales
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Preguntas Clave
- ¿Qué es un sistema de coordenadas cartesianas de la derecha?
- ¿Qué son los ángulos coseno de dirección y por qué siempre son menores de 180°?
- ¿En qué difieren las coordenadas esféricas de las coordenadas cilíndricas
En esta sección discutiremos cuatro métodos para especificar puntos y vectores en el espacio tridimensional.
El método más comúnmente utilizado es una extensión de coordenadas rectangulares bidimensionales a tres dimensiones. Como alternativa, los puntos y vectores en tres dimensiones se pueden especificar en términos de cosenos de dirección, o utilizando sistemas de coordenadas esféricos o cilíndricos. Estos serán discutidos en los siguientes apartados.
A menudo necesitarás convertir de una representación a otra. Las buenas habilidades de visualización son útiles aquí.
Coordenadas rectangulares
Podemos extender el sistema de coordenadas cartesianas bidimensional en tres dimensiones fácilmente agregando un\(z\) eje perpendicular al plano cartesiano bidimensional. La notación es similar a la utilizada para vectores bidimensionales. Los puntos y fuerzas se expresan como triples ordenados de coordenadas rectangulares siguiendo la misma notación utilizada anteriormente.
\ begin {alinear*} P\ amp = (x, y, z)\ amp\ vec {F}\ amp =\ amp =\ langle f_x, f_y, f_z\ rangle\ end {align*}
Para casi todos los problemas tridimensionales, necesitará la rectangular\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y las\(z\) ubicaciones de los puntos en el espacio y los componentes de los vectores antes de continuar con los cálculos. Si se le dan los componentes por adelantado, entonces está configurado para avanzar, pero de lo contrario necesitará transformar un sistema de coordenadas en coordenadas rectangulares.
Mueve el punto rojo para mover el vector en el espacio. Haga clic en el punto rojo para cambiar entre el\(y\) modo\(x\) - y\(z\) el modo.
El vector se puede visualizar como la diagonal de una caja rectangular con los\(z\) componentes\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y como las longitudes laterales.
Figura 2.4.1. Coordenadas rectangulares tridimensionales
- Pensar más profundo 2.4.2. Sistemas de coordenadas para diestros
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Figura 2.4.3. Sistema de coordenadas diestro.
¿Importa de qué manera se orientan los ejes? ¿Está bien hacer que el\(x\) eje apunte a la izquierda o el\(y\) eje apunte hacia abajo?
En un sentido, no importa en absoluto. Las direcciones positivas de los ejes de coordenadas son arbitrarias. Por otro lado, es conveniente para cada uno si podemos acordar una orientación estándar. En matemáticas e ingeniería el valor por defecto es un sistema de coordenadas diestro, donde los ejes de coordenadas se orientan de acuerdo con la regla de la derecha que se muestra en la figura.
Para aplicar la regla de la mano derecha, orienta tu pulgar y los dos primeros dedos en ángulo recto entre sí y alinéalos con tres ejes de coordenadas. Comenzando con tu pulgar, nombra tus ejes en orden alfabético\(x\) -\(y\) -\(z\text{.}\)
Estas son las etiquetas para los tres ejes y tus dedos apuntan en sus direcciones positivas. Si es más conveniente, puedes nombrar tu pulgar\(y\) o\(z\text{,}\) siempre y cuando nombras los otros dos dedos en la misma secuencia\(y\) -\(z\) -\(x\) o\(z\) -\(x\) -\(y\text{.}\)
Dirección Ángulos de coseno
La dirección de un vector en sistemas bidimensionales podría expresarse claramente con un solo ángulo medido desde un eje de referencia, pero agregar una dimensión adicional significa que un ángulo ya no es suficiente.
Una forma de definir la dirección de un vector tridimensional es mediante el uso de ángulos coseno de dirección, también conocidos comúnmente como ángulos de dirección de coordenadas. Los ángulos coseno de dirección son los ángulos entre el positivo\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\) los ejes a un vector dado y tradicionalmente se nombran\(\theta_x\text{,}\)\(\theta_y\text{,}\) y los vectores\(\theta_z\text{.}\) tridimensionales, componentes y ángulo a menudo son difíciles de visualizar porque no se encuentran comúnmente en los planos cartesianos.
Mueve el punto rojo para mover el vector en el espacio. Haga clic en el punto rojo para cambiar entre el\(y\) modo\(x\) - y\(z\) el modo.
Tenga en cuenta que los triángulos rojo, azul y verde son triángulos rectos aunque no siempre es fácil verlo. El vector es la hipotenusa y los lados adyacentes son los componentes\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\) rectangulares. Se muestran los componentes rectangulares y los ángulos de dirección.
Figura 2.4.4. Dirección Ángulos de coseno
Podemos relacionar los componentes de un vector con sus ángulos coseno de dirección usando las siguientes ecuaciones.
\ begin {align}\ cos {\ theta_x}\ amp =\ frac {a_x} {\ izquierda |A\ derecha |}\ amp\ cos\ theta_y\ amp =\ frac {a_Y} {\ izquierda |A\ derecha |}\ amp\ cos\ theta_z\ amp =\ frac {a_z} {\ izquierda |A\ derecha |}\ etiqueta {dirección-cosenos}\ tag {2.4.1}\ end {align}
Observe que el componente en el numerador de cada ecuación coseno de dirección es positivo o negativo según lo define el sistema de coordenadas, y la magnitud del vector en el denominador siempre es positiva. A partir de estas ecuaciones, podemos concluir que:
- Los cosenos de dirección son valores firmados entre -1 y 1.
- Los ángulos coseno de dirección siempre deben estar entre\(\ang{0}\) y\(\ang{180}\) o
\[ \ang{0} \le \theta_n \le \ang{180}. \nonumber \]
- Cualquier ángulo coseno de dirección mayor que\(\ang{90}\) indica un componente negativo a lo largo de ese eje respectivo. Espacialmente esto se debe a que todos los ángulos coseno de dirección se miden desde el lado positivo de cada eje. Matemáticamente esto se debe a que el coseno de cualquier ángulo menor que\(\ang{90}\) es numéricamente negativo.
Coordenadas esféricas
En coordenadas esféricas, los puntos se especifican con estas tres coordenadas
- \(r\text{,}\)la distancia desde el origen hasta la punta del vector,
- \(\theta\text{,}\)el ángulo, medido en sentido antihorario desde el\(x\) eje positivo hasta la proyección del vector sobre el\(xy\) plano, y
- \(\phi\text{,}\)el ángulo polar desde el\(z\) eje hasta el vector.
Usa el punto rojo para mover la punta del vector en cualquier lugar de la superficie esférica. Se muestran las coordenadas rectangulares y esféricas.
Figura 2.4.5. Sistema de coordenadas esféricas
Pregunta 2.4.6.
¿Cuáles son las diferencias entre las coordenadas polares y las ubicaciones terrestres de latitud/longitud?
- Contestar
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En mediciones terrestres
\(r\)La coordenada no es necesaria ya que todos los puntos están en la superficie del globo. La latitud se mide\(\ang{0}\)\(\ang{180}\) al este o al oeste del meridiano principal, en lugar de\(\ang{0}\) hacia la\(\ang{360}\) izquierda desde el\(x\) eje. La longitud se mide\(\ang{0}\) al\(\ang{180}\) Norte o al Sur del ecuador, donde como ángulo polar\(\phi\)\(\ang{0}\) se\(\ang{180}\) mide desde el “Polo Norte”.
Cuando se especifican vectores usando coordenadas cilíndricas se usa la magnitud del vector en lugar de la distancia\(r\) desde el origen hasta el punto.
Cuando los dos ángulos esféricos dados se definen de la manera que se muestra aquí, los componentes rectangulares del vector\(\vec{A} = (A\ ; \theta\ ; \phi) \) se encuentran así:
\ begin {align} A'\ amp= A\ sin\ phi\ tag {2.4.2}\\ a_z\ amp= A\ cos\ phi\ tag {2.4.3}\\ a_x\ amp= A'\ cos\ theta = A\ sin\ phi\ cos\ theta\ tag {2.4.4}\ A_y\ amp= A'\ sin\ theta = A\ sin\ phi\ sin\ theta\ {2.4.5}\ end {align}
Reflexionar sobre las ecuaciones anteriores. ¿Se puede pensar a través del proceso de cómo se derivaron? Los pasos generalizados son los siguientes. Primero, dibuja un boceto preciso de la información dada y defina los triángulos rectos relacionados con ambos\(\theta\) y\(\phi\text{.}\) Luego use identidades trigonométricas en el triángulo rectángulo que involucren el vector, el\(z\) eje y el ángulo\(\phi\) a encontrar\(A_z\text{,}\) y\(A'\text{,}\) la\(\vec{A}\) proyección de el\(xy\) avión. Finalmente, se trigonan identidades en el triángulo rectángulo involucrando vector\(\vec{A}'\) y\(\theta\) para encontrar los componentes restantes de\(\vec{A}\text{.}\)
Coordenadas cilíndricas
Los sistemas de coordenadas cilíndricos rara vez se utilizan en la estática, sin embargo son útiles en ciertas geometrías. Las coordenadas cilíndricas extienden las coordenadas polares bidimensionales al agregar una\(z\) coordenada que indica la distancia por encima o por debajo del\(xy\) plano.
Los puntos se especifican con estas tres coordenadas cilíndricas.
- \(r\text{,}\)la distancia desde el origen hasta la proyección de la punta del vector sobre el\(xy\) plano,
- \(\theta\text{,}\)el ángulo, medido en sentido antihorario desde el\(x\) eje positivo hasta la proyección del vector en el\(xy\) plano
- \(z\text{,}\)la altura vertical de la punta del vector.
Utilice el punto rojo para mover la punta del vector a lo largo de la superficie cilíndrica. Se muestran las coordenadas rectangulares y cilíndricas.
Figura 2.4.7. Sistema de coordenadas cilíndricas
Desafortunadamente, no todos los problemas dan los ángulos\(\theta\) y\(\phi\) como se define aquí aquí; por lo que necesitará encontrarlos desde los ángulos dados en otras situaciones.
Puedes usar el diagrama interactivo de esta sección para practicar la visualización y búsqueda de los componentes de un vector a partir de una magnitud dada y ángulos polares\(\theta\) y\(\phi\text{.}\) deberías poder encontrar las\(z\) coordenadas\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y dadas ángulos de dirección o coordenadas esféricas, y viceversa.