2.5: Vectores unitarios
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Preguntas Clave
- ¿Por qué son útiles los vectores unitarios?
- ¿Cuáles son los vectores unitarios a lo largo de los ejes cartesianos x, y y z?
- ¿Cómo se encuentran los componentes del vector de fuerza de magnitud de fuerza conocida a lo largo de una línea geométrica?
- ¿Cómo se pueden encontrar componentes de vectores unitarios a partir de ángulos coseno de dirección?
Un vector unitario es un vector con una magnitud de una y ninguna unidad. Como tal, un vector unitario representa una dirección pura. Por convención, un vector unitario se indica mediante un sombrero sobre un símbolo vectorial. Esto puede sonar como un concepto nuevo, pero es sencillo, directamente relacionado con el círculo unitario, el teorema de Pitágoras y las definiciones de seno y coseno.
Vectores de unidad cartesiana
Un vector unitario puede apuntar en cualquier dirección, pero debido a que ocurren con tanta frecuencia los vectores unitarios en cada una de las tres direcciones de coordenadas cartesianas reciben sus propios símbolos, que son:
- \(\ihat\text{,}\)para el vector unitario que apunta en la\(x\) dirección,
- \(\jhat\text{,}\)para el vector unitario que apunta en la\(y\) dirección, y
- \(\khat\text{,}\)para el vector unitario apuntando en la\(z\) dirección..
Este interactivo muestra un vector de unidad así\(\hat{\vec{F}}\) como los vectores de unidad estándar\(\ihat\) y\(\jhat\text{.}\)
\(y\)Los componentes\(x\) y de un punto en el círculo unitario también son los componentes escalares de\(\hat{\vec{F}}\text{,}\) tan
\ begin {align*} f_x\ amp =\ cos\ theta\\ f_y\ amp =\ sin\ theta\\ hat {\ vec {F}}\ amp =\ amp =\ langle\ cos\ theta,\ sin\ theta\ rangle\\ amp =\ cos\ theta\ ihat +\ sin\ theta\ jhat\ text {.} \ end {alinear*}
Este interactivo muestra las relaciones gráficas entre el vector unitario\(\hat{\vec{F}}\) y el círculo unitario. \(\ihat\)y\(\jhat\) son los vectores unitarios estándar en las\(y\) direcciones\(x\) y.
La aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo da la ecuación para un círculo unitario
\[ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1^2 \nonumber \]
No importa qué ángulo haga un vector unitario con el\(x\) eje,\(\cos \theta\) y\(\sin \theta\) son sus componentes escalares. Esta relación supone que el ángulo\(\theta\) se mide desde el\(x\) eje, si se mide desde el\(y\) eje las funciones seno y coseno inversas,\(\sin \theta\) definiendo el componente horizontal y\(\cos\ \theta\) definiendo el componente vertical.
Relación entre vectores y vectores unitarios
Cuando un vector unitario se multiplica por un valor escalar, se escala por esa cantidad, por ejemplo, cuando un vector unitario que apunta a la derecha se multiplica por\(\N{ 100}\) el resultado es un\(\N{100}\) vector que apunta hacia la derecha; cuando un vector unitario que apunta hacia arriba se multiplica por\(\N{ -50}\) el resultado es un \(\N{50}\)vector apuntando hacia abajo.
En general,
\ begin {ecuación}\ vec {F} = F\\ hat {\ vec {F}}\ text {,}\ label {F-Fhat}\ tag {2.5.1}\ end {ecuación}
donde\(F\) es la magnitud de\(\vec{F}\text{,}\) y\(\hat{\vec{F}}\) es el vector unitario apuntando en la dirección de\(\vec{F}\text{.}\)
Resolviendo la ecuación (2.5.1) para\(\hat{\vec{F}}\) da el enfoque para encontrar el vector unitario del vector conocido\(\vec{F}\text{.}\)
El proceso es sencillo: divide el vector por su magnitud. Para vector arbitrario\(\vec{F}\)
\ begin {ecuación}\ sombrero {\ vec {F}} =\ frac {\ vec {F}} {|\ vec {F} |}\ text {.} \ label {fhat}\ tag {2.5.2}\ fin {ecuación}
Para enfatizar que los vectores unitarios son pura dirección, rastrea lo que sucede cuando un vector se divide por su magnitud
\[ \text{unit vector} = \frac{\vec{F}}{| \vec{F} | } = \frac{\text{[vector]}}{\text{[magnitude]}}=\frac{\cancel{\text{[magnitude]}} \cdot\text{[direction]}}{\cancel{\text{[magnitude]}}} = \text{[direction]} \text{.} \nonumber \]
Este interactivo muestra vector\(\vec{F}\text{,}\) su vector unidad asociada\(\hat{\vec{F}}\text{,}\) y expresiones para\(\vec{F}\) en términos de su vector unidad\(\hat{\vec{F}}\text{.}\)
Este interactivo muestra la expresión gráfica y los valores de los componentes de la fuerza\(\vec{F}\) y su vector unitario\(\hat{\textbf{F}}\text{.}\)
Figura 2.5.1. Vectores unitarios
Ejemplo 2.5.2. Encuentra el vector unitario de una fuerza.
Encuentra el vector unitario correspondiente a una\(\N{100}\) fuerza a 60° del\(x\) eje.
- Contestar
-
\ [\ hat {\ vec {F}} = (1\;; 60°) =\ langle\ cos 60°,\ sin 60°\ rangle\ nonumber\
- Solución
-
En coordenadas polares, el vector unitario es un vector de magnitud 1, apuntando en la misma dirección que la fuerza, por lo que, por inspección
\ begin {alinear*}\ vec {F}\ amp = (\ N {100}\,; 60°)\\\ hat {\ vec {F}}\ amp = (1\,; 60°)\ end {alinear*}
En coordenadas rectangulares, primero se expresan\(\vec{F}\) en términos de sus\(x\) y\(y\) componentes.
\ begin {alinear*} F_x\ amp = F\ cos 60°, F_y\ amp = F\ sin 60°\\ vec {F}\ amp =\ langle F\ cos 60°, F\ sin 60°\ rangle\ end {alinear*}
Resolver ecuación (2.5.2) para\(\hat{\vec{F}}\)
\ begin {align*}\ hat {\ vec {F}}\ amp =\ frac {\ vec {F}} {F}\\ amp =\ frac {\ langle F\ cos 60°, F\ sin 60°\ rangle} {F}\\ amp =\ langle\ cos 60°,\ sin 60°\ rangle\ end {align*}
Vectores de fuerza de vectores de posición
Los vectores unitarios son generalmente el mejor enfoque cuando se trabaja con fuerzas y distancias en tres dimensiones.
Por ejemplo, cuando se conoce la ubicación de dos puntos en la línea de acción de una fuerza, se puede encontrar el vector unitario de la línea de acción y utilizarse para determinar los componentes de una fuerza que actúa a lo largo de esa línea. Esto se puede lograr de la siguiente manera, donde\(A\) y\(B\) son puntos en la línea de acción.
- Usa la geometría del problema para encontrar\(\vec{AB}\text{,}\) el vector de desplazamiento de punto\(A\) a punto y\(B\text{,}\) luego restar las coordenadas del punto de partida\(A\) de las coordenadas del punto de destino\(B\) para encontrar el vector\(\vec{AB}\)
\ begin {align*} A\ amp =\ izquierda (a_X, a_Y, a_Z\ derecha)\\ B\ amp =\ izquierda (B_x, B_y, B_z\ derecha)\\ vec {AB}\ amp =\ izquierda (B_x-a_x\ derecha)\ ihat+\ izquierda (B_y-a_y\ derecha)\ jhat+\ izquierda (B_z-_A_z\ derecha)\ khat\ text {, o}\ end {align*}
o, escribir los desplazamientos directamente anotando la distancia recorrida en cada dirección de coordenadas al pasar de\(A\) a\(B\text{.}\) Esto es realmente lo mismo que el método anterior.
\ begin {align*}\ Delta x\ amp = AB_x = b_x - a_X\\ Delta y\ amp = AB_y = B_y - a_Y\\ Delta z\ amp = AB_z = B_z - a_X\\ vec {AB}\ amp =\ Delta x\ ihat+\ Delta y\ jhat+\ Delta\ z\ khat final\ {alinear*}
- Encuentra la distancia directa entre punto\(A\) y punto\(B\) usando el Teorema de Pitágoras. Esta distancia es también la magnitud de\(\vec{AB}\) o\(|\vec{AB}|\)
\[ \left|\vec{AB}\right |=\sqrt{(AB_x)^2+(AB_y)^2+(AB_z)^2}\text{.} \nonumber \]
- Encuentra\(\widehat{\vec{AB}}\text{,}\) el vector unitario de\(A\) a\(B\text{,}\) dividiendo el vector\(\vec{AB}\) por su magnitud. Este es un vector sin unidades con una magnitud de 1 que apunta de\(A\) a\(B\text{.}\)
\[ \widehat{\vec{AB}}= \left \langle \frac{A_x}{|A|},\frac{A_y}{|A|},\frac{A_z}{|A|} \right \rangle \nonumber \]
- Multiplica la magnitud de la fuerza por el vector de unidad\(\widehat{AB}\) para obtener fuerza\(\vec{F}_{AB}.\)
\ begin {alinear*}\ vec {F} _ {AB}\ amp = F_ {AB}\;\ sombrero ancho {\ vec {AB}}\\ amp = F_ {AB}\ izquierda\ langle\ frac {a_X} {|\ vec {A} |},\ frac {a_Y} {|\ vec {A} |},\ frac {a_Z} {|\ vec {A} |}\ derecha\ rangle\ final {alinear*}
El siguiente interactivo se puede utilizar para visualizar el vector de desplazamiento y su vector unitario, y practicar este procedimiento.
Este interactivo muestra\(\vec{r}_{AB}\text{,}\) el vector de desplazamiento desde\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) y el vector de desplazamiento unitario correspondiente\(\lambda_{AB}\text{.}\)
Puedes cambiar\(\vec{A}\) y\(\vec{B}\) moviendo los puntos rojos. Haga clic en el punto para cambiar entre el\(y\) modo\(x\) - y\(z\) el modo. Las coordenadas de\(\vec{A}\) y también se\(\vec{B}\) pueden ingresar en la tabla directamente.
Figura 2.5.3. Vectores unitarios en el espacio
Ejemplo 2.5.4. Componente en una Dirección Especificada.
Determinar los componentes de una\(\kN{5}\) fuerza\(\vec{F}\) que actúa en el punto\(A\text{,}\) en la dirección de una línea desde\(A\) hasta\(B\text{.}\) Given:\(A =\m{ \left ( 2,3,-2.1 \right )}\) y\(B = \m{\left ( -2.5, 1.5, 2.2 \right )}\)
Tomaremos la solución paso a paso.
(a) Dibujar un buen diagrama.
- Pista
-
El interactivo en la Figura 2.5.3 puede ser útil para este problema.
(b) Encontrar el vector de desplazamiento de\(A\) to \(B\text{.}\)
- Contestar
-
\ begin {align*}\ vec {AB}\ amp=\ m {\ izquierda <-4.5, -1.5,4.3\ derecha >}\ end {align*}
- Solución
-
\ begin {align*}\ vec {AB}\ amp =\ izquierda (B_x-a_x\ derecha)\ ihat+\ izquierda (B_y-a_y\ derecha)\ jhat+\ izquierda (B_z-a_z\ derecha)\ khat\\ amp =\ m {\ izquierda [\ izquierda (-2.5-2\ derecha)\ ihat+\ izquierda (1.5-3\ derecha)\ jsombrero+\ izquierda (2.2- (-2.1)\ derecha)\ khat\ derecha]}\\\ amp =\ m {\ izquierda (-4.5\ ihat-1.5\ jhat+4.3\ khat\ derecha)}\\\ amp=\ m {\ izquierda <-4.5, -1.5, 4.3\ derecha >}\ end {alinear*}
c) Encontrar la magnitud del vector de desplazamiento.
- Contestar
-
\ begin {align*}\ izquierda|\ vec {AB}\ derecha |\ amp =\ m {6.402}\ end {align*}
- Solución
-
Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.
\ begin {alinear*}\ izquierda|\ vec {AB}\ derecha |\ amp =\ sqrt {(\ delta_x) ^2+ (\ delta_y) ^2+ (\ delta_z) ^2}\\ amp =\ sqrt {\ m {(-4.5) ^2+ (-1.5) ^2+4.3^2} ^2}\\ amp =\ sqrt {40.99\ m {} ^2}\\\ amp =\ m {6.402}\ final {alinear*}
(d) Encontrar el vector unitario apuntando desde\(A\) to \(B\text{.}\)
- Contestar
-
\ begin {alinear*}\ sombrero ancho {\ vec {AB}}\ amp =\ izquierda\ langle -0.7, -0.23,0.67\ derecha\ rangle\ end {align*}
- Solución
-
Agrega textos aquí. No elimine primero este texto. \ begin {alinear*}\ sombrero ancho {\ vec {AB}}\ amp=\ izquierda\ langle\ frac {\ delta_x} {|\ vec {AB} |},\ frac {\ delta_y} {|\ vec {AB} |},\ frac {\ delta_z} {|\ vec {AB} |}\ derecha\ rangle\\ amp =\ izquierda\ langle\ frac {-4.5} {6.402},\ frac {-1.5} {6.402},\ frac {4.3} {6.402}\ derecha\ rangle\\ sombrero ancho {\ vec {AB}}\ amp =\ izquierda\ langle -0.7, -0.23,0.67\ derecha\ rangle \ end {alinear*}
e) Encontrar el vector de fuerza.
- Contestar
-
\ comenzar {reunir*}\ vec {F} _ {AB} =\ kN {\ izquierda\ langle -3.51, -1.17,3.36\ derecha\ rangle}\ end {recolectar*}
- Solución
-
\ begin {alinear*}\ vec {F} _ {AB}\ amp = F_ {AB}\;\ sombrero ancho {\ vec {AB}}\\ amp =\ kN {5}\ izquierda\ langle -0.7, -0.23,0.67\ derecha\ rangle\\ amp =\ kN {\ izquierda\ langle -3.51, -1.17,3.36\ derecha\ rangle}\ end {alinear*}
Dadas las propiedades de los vectores unitarios, hay algunas comprobaciones conceptuales que puede realizar después de calcular los componentes del vector de unidad que pueden evitar errores posteriores.
- Los signos de los componentes del vector unitario deben coincidir con los signos del vector de posición original. Un vector unitario tiene la misma línea de acción y sentido que el vector de posición, pero se reduce a una unidad de magnitud.
- Los componentes de un vector unitario deben estar entre -1 y 1. Si la magnitud de un vector unitario es uno, entonces es imposible que tenga componentes rectangulares mayores que uno.
Vectores unitarios y cosenos de dirección
Si miras de cerca el lado derecho de la ecuación (2.4.1), verás que cada ecuación consiste en un componente dividido por la magnitud total del vector. Estas son las mismas ecuaciones que se acaban de usar para encontrar vectores unitarios. Así, el coseno de cada ángulo de coseno de dirección también calcula colectivamente los componentes del vector unitario; por lo tanto, podemos escribir una ecuación para\(\hat{\vec{A}}\text{,}\) es decir, el vector unitario a lo largo de\(\vec{A}\text{.}\)
\[ \hat{\vec{A}}=\cos \theta_x \ihat +\cos \theta_y \jhat + \cos \theta_z \khat \nonumber \]
Combinar el Teorema de Pitágoras con nuestro conocimiento de vectores unitarios y ángulos coseno de dirección da este resultado: si conoces dos de los tres ángulos coseno de dirección puedes manipular la siguiente ecuación para encontrar el tercero.
\ begin {ecuación}\ cos^2\ theta_x +\ cos^2\ theta_y +\ cos^2\ theta_z = 1\ tag {2.5.3}\ end {ecuación}