2.6: Adición de vectores
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Preguntas Clave
- ¿Cómo se configuran los vectores para la adición gráfica usando la Regla Triángulo?
- ¿Importa con qué vector comienzas al usar la Regla del Triángulo?
- ¿Por qué se puede separar una ecuación vectorial bidimensional en dos ecuaciones independientes para resolver hasta dos incógnitas?
- Si tú y otro estudiante definen vectores usando diferentes sistemas de coordenadas de dirección, ¿terminarás con el mismo vector resultante?
- ¿Cuál es la técnica preferida para agregar vectores en sistemas tridimensionales?
En esta sección veremos varios métodos diferentes de adición de vectores. Los vectores que se agregan juntos se llaman los componentes, y la suma de los componentes se llama el vector resultante.
Estos diferentes métodos son herramientas para su caja de herramientas estáticas. Te dan múltiples formas diferentes de pensar en la adición de vectores y de abordar un problema. Tu objetivo debe ser aprender a usarlos todos e identificar qué enfoque será el más fácil de usar en una situación determinada.
Regla de Triángulo de Adición de Vector
Todos los métodos de adición de vectores se basan en última instancia en el método punta a cola discutido en un contexto unidimensional en la Subsección 2.2.1. Hay dos formas de dibujar o visualizar añadiendo vectores en dos o tres dimensiones, la Regla Triángulo y la Regla de Paralelogramo. Ambos son equivalentes.
- Coloca la cola de un vector en la punta del otro vector, luego dibuja el resultante desde la cola del primer vector hasta la punta del vector final.
- Coloca ambas colas de vectores en el origen, luego completa un paralelogramo con líneas paralelas a cada vector a través de la punta del otro. El resultante es igual a la diagonal desde las colas hasta la esquina opuesta.
El siguiente interactivo muestra dos fuerzas\(\vec{A}\) y\(\vec{B}\) tirando de una partícula en el origen, y el diagrama apropiado para la regla de triángulo o paralelogramo. Ambos enfoques producen la misma fuerza resultante que\(\vec{R}\) se esperaba.
Este diagrama muestra dos fuerzas sumadas usando las reglas de triángulo y paralelogramo. Cambia el control deslizante para ver las diferentes interpretaciones. Tenga en cuenta que las coordenadas polares son un mejor ajuste para graficar magnitud y dirección, mientras que las coordenadas cartesianas funcionan mejor para componentes rectangulares.
Componentes ortogonales
Cualquier vector arbitrario\(\vec{F}\) puede dividirse en dos vectores componentes que son los lados de un paralelogramo teniendo\(\vec{F}\) como diagonal. El proceso de encontrar componentes de un vector en direcciones particulares se denomina resolución vectorial.
Si bien un vector se puede resolver en componentes en dos direcciones cualesquiera, generalmente es más útil resolverlos en componentes rectangulares u ortogonales, donde el paralelogramo es un rectángulo y los lados son perpendiculares.
Un beneficio de encontrar componentes ortogonales es que cada componente es independiente del otro. Esta independencia simplifica los cálculos vectoriales al permitirnos usar ecuaciones independientes para cada dirección ortogonal. Otro beneficio de los componentes paralelos a los ejes de coordenadas es que se pueden tratar estos componentes como cantidades escalares y utilizar álgebra ordinaria para trabajar con ellos.
Sin embargo, hay un número infinito de rectángulos posibles para elegir, por lo que cada vector tiene un número infinito de conjuntos de componentes rectangulares. De estos, el más importante se encuentra cuando los lados del rectángulo son paralelos a los\(y\) ejes\(x\) y. Estos componentes particulares se dan\(x\) y los\(y\) subíndices indican que los componentes están alineados con los\(y\) ejes\(x\) y. Para el vector\(\vec{F}\text{,}\)
\ begin {ecuación}\ vec {F} =\ vec {F} _x +\ vec {F} _y = F_x\ ihat + f_y\ jhat\ text {,}\ tag {2.6.1}\ end {ecuación}
donde\(F_x\) y\(F_y\) son los componentes escalares de\(\vec{F}\text{.}\)
Otra posibilidad es rotar el sistema de coordenadas a cualquier otro ángulo conveniente, y encontrar los componentes en las direcciones de los ejes de coordenadas girados\(x'\) y\(y'\text{.}\) en cualquier caso, el vector es la suma de los componentes rectangulares
\ begin {ecuación}\ vec {F} =\ vec {F} _x +\ vec {F} _y =\ vec {F} _ {x'} +\ vec {F} _ {y'}\ texto {.} \ tag {2.6.2}\ fin {ecuación}
El siguiente interactivo puede ayudarle a visualizar la relación entre un vector y sus componentes tanto en la\(y'\) dirección\(x\)\(x'\) -\(y\) como -.
En este interactivo se puede rotar el vector\(\vec{F}\) y también rotar el sistema de coordenadas y ver los componentes de\(\vec{F}\) en las\(y'\) direcciones\(x\)\(x'\) -\(y\) y -.
Adición de vectores gráficos
La adición de vectores gráficos implica dibujar un digrama escalado usando la regla de paralelogramo o triángulo, y luego medir las magnitudes y direcciones del diagrama. Las soluciones gráficas funcionan lo suficientemente bien para problemas bidimensionales donde todos los vectores viven en un mismo plano y se pueden dibujar en una hoja de papel, pero no son muy útiles para problemas tridimensionales a menos que se use tecnología.
Si dibujas cuidadosamente el triángulo con precisión a escala y usas un transportador y una regla puedes medir la magnitud y dirección del resultante. Sin embargo, tu respuesta solo será tan precisa como tu diagrama y tu capacidad para leer tus herramientas. Si utilizas tecnología como GeoGebra o un programa CAD para hacer el diagrama, tu respuesta será precisa. El interactivo en la Figura 2.6.1 puede ser útil para ello.
A pesar de que el enfoque gráfico tiene limitaciones, merece su atención porque proporciona una buena manera de visualizar los efectos de múltiples fuerzas, estimar rápidamente las respuestas del estadio de béisbol y visualizar los diagramas que necesita usar métodos alternativos a seguir.
Adición de vectores trigonométricos
Puede obtener una respuesta precisa de la regla de triángulo o paralelogramo al
- dibujar un diagrama rápido usando cualquiera de las reglas,
- identificar tres lados o ángulos conocidos,
- utilizando la trigonometría para resolver los lados y ángulos desconocidos.
Las herramientas trigonométricas que necesitará se encuentran en el Apéndice B.
Usar geometría basada en triángulos para resolver problemas vectoriales es una herramienta rápida y poderosa, pero incluye las siguientes limitaciones:
- Solo hay tres lados en un triángulo; por lo tanto, los vectores solo se pueden agregar dos a la vez. Si necesitas agregar tres o más vectores usando este método, debes agregar los dos primeros, luego agregar el tercero a esa suma y así sucesivamente.
- Si no logras dibujar el triángulo vectorial correcto, o identificar los lados y ángulos conocidos no encontrarás la respuesta correcta.
- Las funciones trigonométricas son funciones escalares. Son formas rápidas de resolver las magnitudes de los vectores y el ángulo entre vectores, pero es posible que aún necesite encontrar los componentes vectoriales a partir de un dato dado.
Cuando necesite encontrar el resultado de más de dos vectores, generalmente es mejor usar los métodos algebraicos que se describen a continuación.
Adición algebraica de componentes
Si bien la regla del paralelogramo y los métodos gráficos y trigonométricos son herramientas útiles para visualizar y encontrar la suma de dos vectores, no son particularmente adecuados para agregar más de dos vectores o trabajar en tres dimensiones.
Consideremos vector\(\vec{R}\) que es la suma de varios vectores\(\vec{A}\text{,}\)\(\vec{B}\text{,}\)\(\vec{C}\) y quizás más. Vectores\(\vec{A}\text{,}\)\(\vec{B}\) y\(\vec{C}\) son los componentes de\(\vec{R}\text{,}\) y el\(\vec{R}\) es el resultante de\(\vec{A}\text{,}\)\(\vec{B}\) y\(\vec{C}\text{.}\)
Ya es bastante fácil decirlo\(\vec{R} = \vec{A}+ \vec{B}+ \vec{C}\text{,}\) pero ¿cómo podemos calcular\(\vec{R}\) si conocemos los componentes? Podría dibujar los vectores dispuestos punta a cola y luego usar la regla de triángulo para agregar los dos primeros componentes, luego volver a usarlo para agregar el tercer componente a esa suma, y así sucesivamente hasta que se hayan agregado todos los componentes. La suma final es la resultante,\(\vec{R}\text{.}\) El proceso se vuelve progresivamente más tedioso cuantos más componentes haya para sumar.
Esta sección introduce un método alternativo para agregar múltiples vectores que es sencillo, eficiente y robusto. A esto se le llama método algebraico, debido a que la adición del vector es reemplazada por un proceso de adición escalar de componentes escalares. La técnica algebraica funciona igualmente bien para vectores bidimensionales y tridimensionales, y para sumar cualquier número de vectores.
Para encontrar la suma de múltiples vectores usando el algebraico:
- Encuentre los componentes escalares de cada vector componente en las\(y\) direcciones\(x\) y utilizando el procedimiento P a R descrito en la Subsección 2.3.3.
- Sumar algebraicamente los componentes escalares en cada dirección de coordenadas. Los componentes escalares serán positivos si apuntan hacia la derecha o hacia arriba, negativos si apuntan hacia la izquierda o hacia abajo. Estas sumas son los componentes escalares del resultante.
- Resolver los componentes resultantes para encontrar la magnitud y dirección del vector resultante utilizando el procedimiento R a P descrito en la Subsección 2.3.3.
Podemos escribir la ecuación para el resultante\(\vec{F}_R\) como
\[ \vec{F}_R = \sum F_x\ \ihat + \sum F_y\ \jhat + \sum F_z\ \khat \nonumber \]
o en notación de corchetes
\ begin {ecuación}\ vec {F} _R =\ izquierda\ langle\ Sigma F_x,\ Sigma F_y,\ Sigma F_z\ derecha\ rangle\ texto {.} \ tag {2.6.3}\ fin {ecuación}
Este proceso se ilustra en el siguiente diagrama interactivo y en el siguiente ejemplo.
Este interactivo representa la adición de vectores\(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}\text{.}\)
Puede cambiar la magnitud y dirección de los tres componentes y ver el resultado. También se pueden ver los componentes rectangulares de los tres vectores de componentes.
Ejemplo 2.6.4. Adición de vectores.
Vector\(\vec{A} = \N{200} \angle \ang{45}\) en sentido antihorario desde el\(x\) eje y vector en\(\vec{B} = \N{300}\)\(\angle \ang{70}\) sentido antihorario desde el\(y\) eje.
Encuentre el resultado\(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\) mediante la adición de componentes escalares.
- Contestar
-
\[ \vec{R} = \N{281.6} \angle \ang{119.9} \text{ counterclockwise from the } x \text{ axis}. \nonumber \]
- Solución
-
Utilice la información dada para dibujar un boceto de la situación. Al imaginar o esbozar la regla del paralelogramo, debería ser evidente que el vector resultante apunta hacia arriba y hacia la izquierda.
\ begin {alinear*} a_x\ amp =\ N {200}\ cos\ ang {45} =\ N {141.4}\ amp b_x\ amp = -\ N {300}\ sin\ ang {70} =\ N {-281.9}\\ A_y\ amp =\ N {200}\ sin\ ang {45} =\ N {141.4}\ amp b_y amp\ = N {300}\ sin\ ang {70} =\ N {102.6}\\\ r_x\ amp = a_x + b_x\ amp r_y\ amp = a_Y + b_y\\ amp =\ N {141.4} +\ N {-281.9}\ amp\ amp =\ N {141.4} + \ N {102.6}\\\ amp =\ N {-140.5}\ amp\ amp =\ N {244.0}\\\ R\ amp =\ sqrt {r_x^2 + R_y^2}\\ amp=\ N {281.6}\\ theta\ amp=\ tan {-1}\ izquierda (\ frac {R_y} {R_x}\ derecha)\\\ amp =\ ang {-60.1}\ end {align*}
Esta respuesta indica que el resultante apunta hacia abajo y hacia la izquierda. Esto se debe a que las respuestas de la calculadora para la función trigonométrica inversa siempre estarán en el primer o cuarto cuadrante. Para obtener la dirección real del resultado, agregue\(\ang{180}\) al resultado de la calculadora.
\[ \theta = \ang{-60.1} + \ang{180} = \ang{119.9} \nonumber \]
La respuesta final para la magnitud y dirección del resultante es
\[ \vec{R} = \N{281.6} \angle \ang{119.9} \nonumber \]
medido en sentido antihorario desde el eje x.
El proceso para agregar vectores en el espacio es exactamente el mismo que en dos dimensiones, excepto que se incluye un\(z\) componente adicional. Este interactivo le permite ingresar los componentes vectoriales tridimensionales de las fuerzas\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) y ver la fuerza resultante\(\vec{R}\) que es la suma de\(\vec{A}\) y\(\vec{B}\text{.}\)
Este interactivo muestra la suma vectorial de\(\vec{A}\) y\(\vec{B}\text{.}\)
Se puede cambiar\(\vec{A}\) y\(\vec{B}\) moviendo los puntos rojos. Haga clic en punto para cambiar entre\(x\) -\(y\) modo y\(z\) modo. Las coordenadas de\(\vec{A}\) y también se\(\vec{B}\) pueden ingresar en la tabla.
Resta vectorial
Al igual que la resta de vectores unidimensionales, la forma más fácil de manejar la resta vectorial bidimensional es tomando el negativo de un vector seguido de la adición de vectores. Multiplicar un vector por -1 preserva su magnitud pero voltea su dirección, lo que tiene el efecto de cambiar el signo de los componentes escalares.
\[ \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B}) \nonumber \]
Después de negar el segundo vector puedes elegir cualquier técnica que prefieras para la adición de vectores.