2.7: Productos Dot
- Page ID
- 86999
Preguntas Clave
- ¿Para qué se utilizan los productos dot?
- ¿Qué significa cuando el producto punto de dos vectores es cero?
- ¿Cómo se utiliza un producto punto para encontrar el ángulo entre dos vectores?
- ¿Qué significa cuando el componente escalar de la proyección\(\|\proj_{\vec{A}}\vec{B}\|\) es negativo?
A diferencia del álgebra ordinaria donde solo hay una manera de multiplicar números, hay dos operaciones distintas de multiplicación vectorial. El primero se llama producto punto o producto escalar porque el resultado es un valor escalar, y el segundo se llama producto cruzado o producto vectorial y tiene un resultado vectorial. El producto punto se discutirá en esta sección y el producto cruzado en la siguiente.
Para dos vectores\(\vec{A}= \langle A_x, A_y, A_z \rangle\) y\(\vec{B} = \langle B_x, B_y, B_z \rangle,\) la multiplicación del producto punto se calcula sumando los productos de los componentes.
\ begin {ecuación}\ vec {A}\ cdot\ vec {B} = A_x B_x + a_Y B_y + a_z B_z\ texto {.} \ label {punto-producto-1}\ tag {2.7.1}\ end {ecuación}
Un método alternativo equivalente para calcular el producto de punto es
\ begin {ecuación}\ vec {A}\ cdot\ vec {B} = |\ vec {A} | |\ vec {B} |\ cos\ theta = A\ B\ cos\ theta\ etiqueta {punto-producto-2}\ tag {2.7.2}\ end {ecuación}
donde\(\theta\) en la ecuación es el ángulo entre los dos vectores y\(| \vec{A} |\) y\(| \vec{B} |\) son las magnitudes de\(\vec{A}\) y\(\vec{B}\text{.}\)
De esta ecuación podemos concluir que el producto puntual de dos vectores perpendiculares es cero, porque\(\cos \ang{90} = 0\text{,}\) y que el producto punto de dos vectores paralelos es el producto de sus magnitudes.
Al puntear vectores unitarios que tienen una magnitud de uno, los productos de punto de un vector unitario consigo mismo es uno y el producto de punto dos vectores unitarios perpendiculares es cero, así que para\(\ihat\text{,}\)\(\jhat\text{,}\) y\(\khat\) tenemos
\ begin {align*}\ ihat\ cdot\ ihat\ amp = 1\ amp\ jhat\ cdot\ ihat\ amp = 0\ amp\ khat\ cdot\ ihat\ amp = 0\\\ ihat\ cdot\ jhat\ amp = 0\ amp\ jhat\ cdot\ jhat\ cdot\ jhat\ amp = 1\ amp\ khat\ cdot\ jhat amp = 0\\ ihat\ cdot\ khat\ amp = 0\ amp\ jhat\ cdot\ khat\ amp = 0\ amp\ khat\ cdot\ khat\ amp = 1\ end {align*}
Los productos Dot son conmutativos, asociativos y distributivos:
- Conmutativo. El orden no importa.
\ begin {ecuación}\ vec {A}\ cdot\ vec {B} =\ vec {B}\ cdot\ vec {A}\ tag {2.7.3}\ end {ecuación}
- Asociativo. No importa si multiplicas un valor escalar\(C\) por el producto de punto final, o cualquiera de los vectores individuales, seguirás obteniendo la misma respuesta.
\ begin {ecuación} C\ izquierda (\ vec {A}\ cdot\ vec {B}\ derecha) = C\\ vec {A}\ cdot\ vec {B} =\ vec {A}\ cdot C\\ vec {B}\ tag {2.7.4}\ end {ecuación}
- Distributivo. Si estás punteando un vector\(\vec{A}\) con la suma de dos más\((\vec{B}+\vec{C})\text{,}\) puedes agregar\(\vec{B}+\vec{C}\) primero, o punto\(\vec{A}\) por ambos y agregar el valor final.
\ begin {ecuación}\ vec {A}\ cdot\ izquierda (\ vec {B} +\ vec {C}\ derecha) =\ vec {A}\ cdot\ vec {B} +\ vec {A}\ cdot\ vec {C}\ tag {2.7.5}\ end {ecuación}
Los productos de punto son una herramienta particularmente útil que se puede utilizar para calcular la magnitud de un vector, determinar el ángulo entre dos vectores y encontrar la componente rectangular o proyección de un vector en una dirección especificada. Estas aplicaciones serán discutidas en los siguientes apartados.
Magnitud de un vector
Los productos de punto se pueden utilizar para encontrar magnitudes vectoriales. Cuando un vector es punteado consigo mismo usando (2.7.1), el resultado es el cuadrado de la magnitud del vector. Por el teorema de Pitágoras
\ begin {ecuación} |\ vec {A} | =\ sqrt {\ vec {A}\ cdot\ vec {A}}\ texto {.} \ tag {2.7.6}\ fin {ecuación}
La prueba es trivial. Considerar vector\(\vec{A} = \langle A_x, A_y \rangle\text{.}\)
\ begin {alinear*}\ vec {A}\ cdot\ vec {A}\ amp = a_x a_x + a_y a_Y = a_x^2 + a_y^2\\ sqrt {\ vec {A}\ cdot\ vec {A}}\ amp =\ sqrt {a_x^2 + a_y^2} = A = |\ vec {A} |\ texto {.} \ end {alinear*}
Los resultados son similares para vectores tridimensionales.
Ejemplo 2.7.1. Encuentra Magnitud vectorial usando el producto Dot.
Encuentra la magnitud del vector\(\vec{F}\) con componentes\(F_x = \N{30}\text{,}\)\(F_y=\N{-40}\) y\(F_z = \N{50}\)
- Contestar
-
\[ F = |\vec{F}| = \N{70.7} \nonumber \]
- Solución
-
\ begin {alinear*}\ vec {F}\ amp =\ langle\ N {30},\ N {-40},\ N {50}\ rangle\\\\ vec {F}\ cdot\ vec {F}\ amp = F_x^2 + F_y^2 + F_z^2\\ amp = (\ N {30}) ^2 + (\ N {-40}) ^2 + (\ N {50}) ^2\\\ amp =\ N {5000} ^2\\\ F\ amp = |\ vec {F} | =\ sqrt {\ vec {F}\ cdot\ vec {F}}\\ amp =\ sqrt {\ N {5000} ^2}\\ amp =\ N {70.7}\ end {alinear*}
Ángulo entre dos vectores
Una segunda aplicación del producto punto es encontrar el ángulo entre dos vectores. La ecuación (2.7.2) proporciona el procedimiento.
\ begin {align}\ vec {A}\ cdot\ vec {B}\ amp = |\ vec {A} | |\ vec {B} |\ cos\ theta\ notag\\ cos\ theta\ amp =\ frac {\ vec {A}\ cdot\ vec {B}} {|\ vec {A} |\ vec {B} |}\ tag {2.7.7}\ end {align}
Ejemplo 2.7.2. Ángulo entre Vectores de Unidades Ortogonales.
Encuentra el ángulo entre\(\ihat= \langle 1,0,0 \rangle\) y\(\jhat =\langle 0,1,0 \rangle\text{.}\)
- Contestar
-
Agrega textos aquí. No elimine primero este texto. \[ \theta= \ang{90} \nonumber \]
- Solución
-
Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.
\ begin {alinear*}\ cos\ theta\ amp =\ frac {\ ihat\ cdot\ jhat} {|\ ihat | |\ jhat |}\\ amp =\ frac {(1) (0) (0) + (0) (1) + (0) (0)} {(1) (1)}\\ amp = 0\\\ theta\ = amp\ cos^ {-1} (0)\\\ amp =\ ang {90}\ final {alinear*}
Esto demuestra que\(\ihat\) y\(\jhat\) son perpendiculares entre sí.
Ejemplo 2.7.3. Ángulo entre Dos Vectores.
Encuentra el ángulo entre\(\vec{F} = \langle \N{100}, \N{200}, \N{-50} \rangle \) y\(\vec{G} = \langle \N{-75}, \N{150}, \N{-40} \rangle\text{.}\)
- Contestar
-
\[ \theta= \ang{51.7} \nonumber \]
- Solución
-
\ begin {alinear*}\ cos\ theta\ amp =\ frac {\ vec {F}\ cdot\ vec {G}} {|\ vec {F} | |\ vec {G} |}\\ amp =\ frac {f_x G_x + f_y G_y + f_z G_z} {\ sqrt {f_x^2 + _y^2 + f_z^2}\ sqrt {g_x^2 + G_y^2 + G_z^2}}\\ amp =\ frac {(100) (-75) + (200) (150) + (-50) (-40)} {\ sqrt {100^2 + 200^2 + (-50) ^2}\ sqrt {(-75) ^2 + 150^2 + (-40) ^2}}\\ \ amp =\ frac {24500} {(229.1) (172.4)}\\\ amp = 0.620\\\ theta\ amp =\ cos^ {-1} (0.620)\\ amp =\ ang {51.7}\ end {align*}
Proyección vectorial
El producto punto se utiliza para encontrar el projectio n de un vector sobre otro. Se puede pensar en una proyección de\(\vec{B}\) on\(\vec{A}\) como vector la longitud de la sombra de\(\vec{B}\) en la línea de acción de\(\vec{A}\) cuando el sol está directamente arriba\(\vec{A}\text{.}\) Más precisamente, la proyección de\(\vec{B}\) sobre\(\vec{A}\) produce el componente rectangular de\(\vec{B}\) en el dirección paralela a\(\vec{A}\text{.}\) Este es un lado de un rectángulo alineado con\(\vec{A}\text{,}\) tener\(\vec{B}\) como su diagonal.
Esto se ilustra en la Figura 2.7.4, donde\(\vec{u}\) está la proyección de\(\vec{B}\) sobre\(\vec{A}\text{,}\) o alternativamente\(\vec{u}\) es el componente rectangular de\(\vec{B}\) en la dirección de\(\vec{A}\text{.}\)
En este texto usaremos los símbolos
- \(\proj_{\vec{A}}\vec{B}\)significa la proyección de\(\vec{B}\) sobre\(\vec{A}\text{,}\) una cantidad vectorial,
- \(|\proj_{\vec{A}}\vec{B}|\)para significar la magnitud de la proyección, un escalar positivo o de valor cero, y
- \(\|\proj_{\vec{A}}\vec{B}\|\)para significar el componente escalar de la proyección (la proyección escalar), un escalar firmado.
Como hemos mencionado anteriormente, la magnitud de un vector es su longitud y siempre es positiva o cero, mientras que un componente escalar es un valor con signo que puede ser positivo o negativo. Cuando un componente escalar se multiplica por un vector unitario, el resultado es un vector en esa dirección cuando el componente escalar es positivo, u\(\ang{180}\) opuesto cuando el componente escalar es negativo.
Este interactivo demuestra la relación entre vectores\(\vec{A}\) y\(\vec{B}\) y la\(\vec{B}\) proyección de en\(\vec{A}\text{.}\) La casilla de verificación cambia entre mostrar\(\proj_\vec{A}\vec{B}\) y\(\proj_\vec{B}\vec{A}\text{.}\)
El interactivo muestra que la proyección es el lado adyacente de un triángulo rectángulo con\(\vec{B}\) como la hipotenusa. De la definición del producto punto (2.7.2) encontramos que
\[ \vec{A}\cdot \vec{B} = A ( B\ \cos \theta) = A\ \|\proj_A B\|\text{,} \nonumber \]
donde\(B\ \cos \theta\) está el componente escalar de la proyección. Entonces, el punto producto de\(\vec{A}\) y nos\(\vec{B}\) da la proyección de\(\vec{B}\) sobre\(\vec{A}\) veces la magnitud de\(\vec{A}\text{.}\) Este valor será positivo cuando\(\theta < \ang{90}\text{,}\) negativo cuando\(\theta > \ang{90}\text{,}\) y cero cuando los vectores son perpendiculares debido a las propiedades de la función coseno.
Entonces, para encontrar el valor escalar de la proyección de\(\vec{B}\) sobre\(\vec{A}\) dividimos por la magnitud de\(\vec{A}\)
\ begin {ecuación}\ |\ proj_ {\ vec {A}}\ vec {B}\ | =\ frac {\ vec {A}\ cdot\ vec {B}} {A} =\ hat {\ vec {A}}\ cdot\ vec {B}\ label {proyección2}\ tag {2.7.8}\ end {ecuación}
La forma simplificada final se escribe en términos del vector unitario en el vector de dirección\(\hat{\vec{A}}=\dfrac{\vec{A}}{A}\text{.}\)
Si quieres la proyección vectorial de\(\vec{B}\) en\(\vec{A}\text{,}\) contraposición a la proyección escalar que acabamos de encontrar, multiplica la proyección escalar por el vector unitario\(\hat{\vec{A}}\)
\ begin {ecuación}\ proj_ {\ vec {A}}\ vec {B} =\ |\ proj_ {\ vec {A}}\ vec {B}\ |\ hat {\ vec {A}} =\ left (\ hat {\ vec {A}}\ cdot\ vec {B}\ derecha)\ sombrero {\ vec {A}}\ texto {.} \ label {proyección3}\ tag {2.7.9}\ end {ecuación}
Del mismo modo, la proyección vectorial de\(\vec{A}\) on\(\vec{B}\) es
\ begin {ecuación}\ proj_ {\ vec {B}}\ vec {A} = {\ izquierda (\ vec {A}\ cdot\ hat {\ vec {B}}\ derecha)\ hat {\ vec {B}}}\ text {.} \ tag {2.7.10}\ fin {ecuación}
La interpretación espacial de los resultados de la proyección escalar\(\|\proj_A B\|\) es
- significa eso\(\vec{A}\) y generalmente\(\vec{B}\) están en la misma dirección.
- significa eso\(\vec{A}\) y generalmente\(\vec{B}\) están en direcciones opuestas.
- significa eso\(\vec{A}\) y\(\vec{B}\) son perpendiculares.
- Esta es la respuesta más común. Los vectores no son paralelos ni perpendiculares.
- \(\vec{A}\)y\(\vec{B}\) apuntan en la misma dirección, así el 100% de\(\vec{B}\) los actos en la dirección de\(\vec{A}\text{.}\)
- Esta respuesta es imposible. Revisa tu álgebra; quizás te hayas olvidado de dividir por la magnitud de\(\vec{A}\text{.}\)
Este interactivo muestra la proyección vectorial de\(\vec{A}\) sobre\(\vec{B}\) o de\(\vec{B}\)\(\vec{A}\text{.}\)
Puedes cambiar\(\vec{A}\) y\(\vec{B}\) moviendo los puntos rojos. Haga clic en punto para cambiar entre\(x\) -\(y\) modo y\(z\) modo. Las coordenadas de\(\vec{A}\) y también se\(\vec{B}\) pueden ingresar en la tabla.
Componentes perpendiculares
La aplicación final de los productos punto es encontrar el componente de un vector perpendicular a otro.
Para encontrar el componente de\(\vec{B}\) perpendicular para encontrar\(\vec{A}\text{,}\) primero la proyección vectorial de\(\vec{B}\) on\(\vec{A}\text{,}\) luego restar eso de\(\vec{B}\text{.}\) Lo que queda es el componente perpendicular.
\ begin {ecuación}\ vec {B} _\ perp =\ vec {B} -\ proj_ {\ vec {A}}\ vec {B}\ tag {2.7.11}\ end {ecuación}
Figura 2.7.6. Componentes perpendiculares y paralelos de\(\vec{B}\text{.}\)