2.8: Productos cruzados
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Preguntas Clave
- ¿En qué se diferencia un producto cruzado de un producto de punto?
- ¿Qué es un determinante?
- ¿Qué define un sistema de coordenadas cartesianas diestras?
- ¿Cómo se utiliza el círculo de productos cruzados para encontrar el producto cruzado de dos vectores unitarios?
El producto cruzado vectorial es una operación matemática aplicada a dos vectores que produce como resultado un tercer vector mutuamente perpendicular. A veces se le llama el producto vectorial, para enfatizar esto y distinguirlo del producto punto que produce un valor escalar. El\(\times\) símbolo se utiliza para indicar esta operación.
Los productos cruzados se utilizan en mecánica para encontrar el momento de una fuerza alrededor de un punto.
Este interactivo muestra la relación del producto cruzado con los dos vectores y el ángulo entre ellos.
El producto cruzado es un proceso de multiplicación vectorial definido por
\ begin {ecuación}\ vec {A}\ veces\ vec {B} = A\; B\ sin\ theta\;\ hat {\ vec {u}}\ text {.} \ label {cross-product-def}\ tag {2.8.1}\ end {ecuación}
El resultado es un vector mutuamente perpendicular a los dos primeros con un sentido determinado por la regla de la mano derecha. Si\(\vec{A}\) y\(\vec{B}\) están en el\(xy\) avión, esto es
\ begin {ecuación}\ vec {A}\ veces\ vec {B} = (a_Y b_x - a_x B_y)\\ khat\ text {.} \ label {cross-product-det}\ tag {2.8.2}\ end {ecuación}
La operación no es conmutativa, de hecho
\[ \vec{A}\times \vec{B}= - \vec{B} \times \vec{A} \text{.} \nonumber \]
La magnitud del producto cruzado es el producto de la componente perpendicular de\(\vec{A}\) con\(\vec{B},\) cuya magnitud también es el área del paralelogramo formado por vectores\(\vec{A}\) y\(\vec{B}\text{.}\) La magnitud del producto cruzado es cero si\(\vec{A}\) y\(\vec{B}\) son paralelos, y es máxima cuando son perpendiculares.
Ntice que todos los términos en la ecuación de producto cruzado son similares a los del producto punto, excepto que\(\sin\) se usa en lugar de\(\cos\) y el producto incluye un vector unitario que\(\hat{\vec{u}}\) hace que el resultado sea un vector. Este vector unitario\(\hat{\vec{u}}\) es sencillo de encontrar en un problema bidimensional ya que siempre será perpendicular a la página, pero para productos cruzados tridimensionales es recomendable utilizar un método determinante vectorial discutido aquí.
Producto cruzado de vectores arbitrarios
El producto cruzado de dos vectores tridimensionales se puede calcular evaluando el determinante de esta\(3 \times 3\) matriz.
\ begin {ecuación}\ vec {A}\ veces\ vec {B} =\ begin {vmatrix}\ ihat\ amp\ jhat\ amp\ amp\ khat\\ a_x\ amp a_Y\ amp a_Z\ b_x\ amp b_y\ amp b_z\ end {vmatrix}\ label {cross-product-1}\ tag {2.8.3}\ end {ecuación}
Aquí, la primera fila son los vectores unitarios, la segunda fila son los componentes de\(\vec{A}\) y la tercera fila son los componentes de\(\vec{B}\text{.}\)
El cálculo del\(3 \times 3\) determinante puede reducirse a calcular tres\(2 \times 2\) determinantes utilizando el método de cofactores, de la siguiente manera
\ begin {ecuación}\ vec {A}\ veces\ vec {B} = +\ begin {vmatrix} a_Y\ amp a_Z\\ b_y\ amp b_z\ end {vmatrix}\ ihat -\ begin {vmatrix} a_x\ amp a_z\ b_x\ amp b_z\ end {vmatrix}\ jhat +\ begin {vmatrix} a_x\ amp a_Y\\ b_x\ amp b_y\ end {vmatrix}\ jhat\ tag {2.8.4}\ end {ecuación}
Finalmente se puede evaluar un\(2 \times 2\) determinante con la fórmula
\ begin {ecuación}\ begin {vmatrix} a\ amp b\\ c\ amp d\ end {vmatrix} = a d - b c\ tag {2.8.5}\ end {ecuación}
Después de simplificar, la fórmula resultante para un producto cruzado tridimensional es
\ begin {ecuación}\ vec {A}\ veces\ vec {B} = (a_Y B_z - A_z B_y)\ ihat - (a_x B_z - a_Z B_x)\ jhat + (A_x B_y - A_y b_x)\ khat\ label {cross-product-2}\ tag {2.8.6}\ end {ecuación}
En la práctica, la forma más fácil de recordar esta ecuación es usar el determinante incrementado a continuación, donde las dos primeras columnas han sido copiadas y colocadas después del determinante. Luego se calcula el producto cruzado sumando el producto de las diagonales rojas y restando el producto de las diagonales azules.
Figura 2.8.1. Determinante aumentadaEl resultado es
\ begin {ecuación}\ vec {A}\ veces\ vec {B} = (a_Y b_z - a_z B_y)\ ihat + (a_Z B_x -a_x b_z)\ jhat + (a_x B_y - a_Y b_x)\ khat\ text {,}\ label {cross-product-3}\ tag {2.8.7}\ end {ecuación}
que es matemáticamente equivalente a la ecuación (2.8.6).
En dos dimensiones, vectores\(\vec{A}\) y no\(\vec{B}\) tienen\(z\) componentes, por lo que (2.8.3) reduce a
\ begin {ecuación}\ vec {A}\ veces\ vec {B} =\ begin {vmatrix}\ ihat\ amp\ jhat\ amp\ amp\ khat\\ a_x\ amp a_y\ amp 0\ b_x\ amp b_y\ amp 0\ end {vmatrix} = (a_x b_y - a_y b_x)\ khat\ text {.} \ label {cross-prod-2d}\ tag {2.8.8}\ end {ecuación}
Esta ecuación produce el mismo resultado que la ecuación (2.8.1) y puedes usarla si es más conveniente.
Ejemplo 2.8.2. Producto cruzado 2-D.
Determinar el producto cruzado\(\vec{A} \times \vec{B}\text{.}\)
- Responder
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\ comenzar {reunir*}\ vec {A}\ veces\ vec {B} = -\ N {1,697} ^2\;\ khat\ end {reunir*}
- Solución 1
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En esta solución aplicaremos la ecuación (2.8.1).
\ comenzar {alinear*}\ vec {A}\ veces\ vec {B}\ amp = A\; B\ sin\ theta\;\ sombrero {\ vec {u}}\ final {alinear*}
La dirección del producto cruzado se determina aplicando la regla de la mano derecha. Con la mano derecha, girando\(\vec{A}\) hacia\(\vec{B}\) nosotros encontramos que nuestro pulgar apunta hacia el\(xy\) plano, por lo que la dirección de\(\hat{\vec{u}}\) es\(-\khat\text{.}\)
\ begin {alinear*}\ vec {A}\ veces\ vec {B}\ amp = (\ N {60}) (\ N {40})\ sin\ ang {45} (-\ khat)\\ amp =\ N {1.697} ^2\; (-\ khat)\\ amp = -\ N {1.697} ^2\;\ khat\ end {align{ *}
- Solución 2
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Del diagrama:
\ begin {align*} a_x\ amp=\ N {60}\ amp a_Y\ amp=\ N {0}\ b_x\ amp=\ N {40}\ cos\ ang {45}\ amp b_y\ amp= -\ N {40}\ sin\ ang {45}\ amp =\ N {28.28}\ amp\ amp =\ n {-28.28}\ amp =\ N {-28.28} {alinear*}
Desde (2.8.8):
\ begin {align*}\ vec {A}\ veces\ vec {B}\ amp = (a_x b_y - a_Y b_x)\ khat\\ amp =\ N {(60) (-28.28) - (0) (28.28)} ^2\ khat\\ amp =\ N {-1697} ^2\;\ khat\ end {align*}
Ejemplo 2.8.3. Producto cruzado 3-D.
Encuentra el producto cruzado de\(\vec{A} = \langle 2,4,-1 \rangle \) y\(\vec{B} = \langle 10, 25, 20 \rangle\text{.}\) Los componentes de\(\vec{A}\) están en metros y\(\vec{B}\) están en Newtons.
- Responder
-
Agrega textos aquí. No elimine primero este texto. \ comenzar {reunir*}\ vec {A}\ veces\ vec {B} =\ Nm {\ langle 105, -50, 10\ rangle}\ end {reunir*}
- Solución 1
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Para resolver, configurar el determinante incrementado y evaluarlo sumando las diagonales de izquierda a derecha y restando las diagonales de derecha a izquierda. (2.8.6).
\ begin {align*}\ vec {A}\ times\ vec {B}\ amp=\ begin {vmatrix}\ ihat\ amp\ jhat\ amp\ jhat\ amp\ khat\ 2\ amp 4\ amp -1\\ 10\ amp 25\ amp 20\ end {vmatrix}\ begin {matrix}\ ihat\ amp\ amp\ jhat\\ 2\ amp 4\\ 10\ amp 25\ end matriz}\\\ amp = (4) (20)\;\ ihat + (-1) (10)\;\ jhat + (2) (25)\;\ khat - (4) (10)\;\ khat - (-1) (25)\;\ ihat - (2) (20)\;\ jhat\\ amp = (80 + 25)\;\ ihat + (-10 - 40)\;\ jhat + (50 - 40)\;\ khat\\ amp =\ Nm {\ langle 105, -50, 10\ rangle}\ end {align*}
- Solución 2
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Calcular productos cruzados tridimensionales a mano es tedioso y propenso a errores. Siempre que puedas, debes usar la tecnología para hacer el trabajo gruñido por ti y enfocarte en el significado de los resultados. En esta solución utilizaremos una calculadora Sage incrustada para calcular el producto cruzado. Esta misma calculadora puede ser utilizada para hacer otros problemas.
Dado:
\ begin {alinear*}\ vec {A}\ amp =\ m {\ langle 2,4, -1\ rangle}\\ vec {B}\ amp =\ N {\ langle 10, 25, 20\ rangle}. \ end {align*}
\(\vec{A}\)y\(\vec{B}\) se definen en las dos primeras líneas, y
A.cross_product (B)es la expresión a evaluar. Haga clic enEvaluarpara ver el resultado. Tendrás que elaborar las unidades correctas por ti mismo.Intente cambiar la tercera línea a
B.Cross_product (A). ¿Qué cambios?
Producto cruzado de vectores unitarios
Dado que los vectores unitarios tienen una magnitud de uno y son perpendiculares entre sí, la magnitud del producto cruzado de dos vectores unitarios perpendiculares será uno por (2.8.1). La dirección está determinada por la regla de la mano derecha. Por otro lado, cada vez que cruzas un vector unitario consigo mismo, el resultado es cero ya que\(\theta=0\text{.}\)
Una forma de aplicar la regla de la mano derecha es sostener la mano derecha plana y apuntar los dedos en la dirección del primer vector, luego curvarlos hacia el segundo vector. Cuando lo hagas, tu pulgar estará orientado en la dirección del producto cruzado.
Para ilustrar, imagina vectores unitarios\(\ihat\) y\(\jhat\) dibujados en una pizarra blanca en la orientación normal —\(\ihat\) apuntando hacia la derecha,\(\jhat\) apuntando hacia arriba. Orienta tu mano derecha con los dedos apuntando hacia la derecha a lo largo de\(\ihat\text{,}\) luego rizarlos hacia\(\jhat\) y tu pulgar apuntará fuera del tablero y establecerá que la dirección de\(\ihat \times \jhat=\khat\text{.}\) Ahora trata de cruzar\(-\ihat\) con\(\jhat\) y encontrarás que tu pulgar ahora apunta hacia el tablero.
Deberías ser capaz de convencerte de que los productos cruzados de los vectores unitarios positivos son
\ begin {align*}\ ihat\ times\ ihat\ amp =0\ amp\ ihat\ times\ jhat\ amp =\ khat\ amp\ ihat\ times\ khat\ amp = -\ jhat\ jhat\ times\ ihat\ amp = -\ khat\ amp\ jhat\ amp\ times\ jhat\ amp = 0\ amp\ amp\ jhat\ times\ khat\ =\ ihat\\ khat\ veces\ ihat\ amp =\ jhat\ amp\ khat\ veces\ jhat\ amp =-\ ihat\ amp\ amp\ khat\ veces\ khat\ amp =0\ end {align*}
Una forma alternativa de recordar esto es usar el círculo cruzado del producto que se muestra. Por ejemplo, cuando cruzas\(\ihat\)\(\jhat\) contigo vas en la dirección positiva (antihoraria) alrededor del círculo interior azul y así la respuesta es\(+\khat\text{.}\) Pero cuando cruzas\(\jhat\) hacia adentro\(\ihat\) vas en la dirección negativa (en sentido horario) alrededor del círculo y así obtienes una \(-\khat\text{.}\)Recuerda que el orden de los productos cruzados importa. Si pones los vectores en el orden equivocado introducirás un error de señal.
Si tienes algún vector unitario negativo es más fácil separar los valores negativos hasta después de haber tomado el producto cruzado, así que por ejemplo
\[ -\jhat \times \ihat = (-1)\left ( \jhat \times \ihat \right )=(-1)(-\khat )=+\khat \text{.} \nonumber \]
Figura 2.8.4. Unidad vector cruz producto círculo.