\(\require{cancel} \let\vecarrow\vec \renewcommand{\vec}{\mathbf} \newcommand{\ihat}{\vec{i}} \newcommand{\jhat}{\vec{j}} \newcommand{\khat}{\vec{k}} \DeclareMathOperator{\proj}{proj} \newcommand{\kg}[1]{#1~\text{kg} } \newcommand{\lbm}[1]{#1~\text{lb}_m } \newcommand{\slug}[1]{#1~\text{slug} } \newcommand{\m}[1]{#1~\text{m}} \newcommand{\km}[1]{#1~\text{km}} \newcommand{\cm}[1]{#1~\text{cm}} \newcommand{\mm}[1]{#1~\text{mm}} \newcommand{\ft}[1]{#1~\text{ft}} \newcommand{\inch}[1]{#1~\text{in}} \newcommand{\N}[1]{#1~\text{N} } \newcommand{\kN}[1]{#1~\text{kN} } \newcommand{\MN}[1]{#1~\text{MN} } \newcommand{\lb}[1]{#1~\text{lb} } \newcommand{\lbf}[1]{#1~\text{lb}_f } \newcommand{\Nm}[1]{#1~\text{N}\!\cdot\!\text{m} } \newcommand{\kNm}[1]{#1~\text{kN}\!\cdot\!\text{m} } \newcommand{\ftlb}[1]{#1~\text{ft}\!\cdot\!\text{lb} } \newcommand{\inlb}[1]{#1~\text{in}\!\cdot\!\text{lb} } \newcommand{\lbperft}[1]{#1~\text{lb}/\text{ft} } \newcommand{\lbperin}[1]{#1~\text{lb}/\text{in} } \newcommand{\Nperm}[1]{#1~\text{N}/\text{m} } \newcommand{\kgperkm}[1]{#1~\text{kg}/\text{km} } \newcommand{\psinch}[1]{#1~\text{lb}/\text{in}^2 } \newcommand{\pqinch}[1]{#1~\text{lb}/\text{in}^3 } \newcommand{\psf}[1]{#1~\text{lb}/\text{ft}^2 } \newcommand{\pqf}[1]{#1~\text{lb}/\text{ft}^3 } \newcommand{\Nsm}[1]{#1~\text{N}/\text{m}^2 } \newcommand{\kgsm}[1]{#1~\text{kg}/\text{m}^2 } \newcommand{\kgqm}[1]{#1~\text{kg}/\text{m}^3 } \newcommand{\Pa}[1]{#1~\text{Pa} } \newcommand{\kPa}[1]{#1~\text{kPa} } \newcommand{\aSI}[1]{#1~\text{m}/\text{s}^2 } \newcommand{\aUS}[1]{#1~\text{ft}/\text{s}^2 } \newcommand{\unit}[1]{#1~\text{unit} } \newcommand{\ang}[1]{#1^\circ } \newcommand{\second}[1]{#1~\text{s} } \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \)
El centro de masa es la ubicación media de la masa de un objeto, y está relacionado con el centro de gravedad por la Segunda Ley de Newton porque
\[ W = mg\text{,} \nonumber \]
donde\(g\) está la fuerza local del campo gravitacional. En este curso se puede tomar\(g = \aSI{9.81}\) como una suposición razonable para los objetos en la superficie de la tierra.
Sustituir\(m_i\ g_i = W_i\) en (7.2.2) da las ecuaciones para el centro de masa.
\ begin {ecuación}\ bar {x} =\ frac {\ sum\ bar {x} _ {i}\ m_i\ g_i} {\ sum\ m_i\ g_i}\ quad\ bar {y} =\ frac {\ sum\ bar {y} _ {i}\ m_i\ g_i} {\ sum\ m_i\ g_i}\ quad\ bar {z} =\ frac {\ sum\ bar {z} _ {i}\ m_i\ g_i} {\ sum\ m_i\ g_i}\ text {.} \ label {center_of_mass}\ tag {7.3.1}\ end {ecuación}
Por nuestra suposición que\(g\) es constante en la superficie de la tierra, se\(g_i\) puede factorizar fuera de las sumas y se sale completamente de la ecuación.
\ begin {ecuación}\ bar {x} =\ frac {\ sum\ bar {x} _ {i} m_i} {\ sum m_i}\ quad\ bar {y} =\ frac {\ sum\ bar {y} _ {i} m_i} {\ sum m_i}\ quad\ bar {z} =\ frac {\ sum\ bar {z} _ {i} m_i}\ sum m_i}\ texto {.} \ label {center_of_mas2}\ tag {7.3.2}\ end {ecuación}
Estas ecuaciones dan las coordenadas del centro de masa. El numerador contiene el primer momento de masa, y el denominador contiene la masa total del objeto. Siempre y cuando sea válida la suposición de que\(g\) es constante, el centro de masa y el centro de gravedad son puntos idénticos y los dos términos pueden usarse indistintamente.
