7.4: Centroides
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Preguntas Clave
- ¿Cuál es la diferencia entre un centroide, un centro de gravedad y un centro de masa?
- Cuando el centroide, el centro de gravedad y el centro de masa se referirán al mismo punto
- ¿Por qué las ecuaciones para el centro de gravedad, masa, volumen y área tienen la misma estructura?
Un centroide es un promedio ponderado como el centro de gravedad, pero ponderado con una propiedad geométrica como área o volumen, y no una propiedad física como peso o masa. Esto significa que los centroides son propiedades de formas puras, no objetos físicos. Representan las coordenadas del “centro” de la forma.
Las ecuaciones definitorias para centroides son similares a las ecuaciones paraCentros de gravedad (7.2.2) pero con el volumen utilizado como factor de ponderación para formas tridimensionales
\ begin {ecuación}\ bar {x} =\ frac {\ sum\ bar {x} _ {i} v_i} {\ sum v_i}\ quad\ bar {y} =\ frac {\ sum\ bar {y} _ {i} v_i} {\ sum v_i}\ quad\ bar {z} =\ frac {\ sum\ bar {z} V_i} {\ suma V_i}\ texto {,}\ etiqueta {tres-d-centroide}\ etiqueta {7.4.1}\ final {ecuación}
y área para formas bidimensionales
\ begin {ecuación}\ bar {x} =\ frac {\ sum\ bar {x} _ {i} a_i} {\ suma a_i}\ quad\ bar {y} =\ frac {\ sum\ bar {y} _ {i} a_i} {\ suma a_i}\ text {.} \ label {dos-d-centroide}\ tag {7.4.2}\ end {ecuación}
Veremos cómo usar estas ecuaciones en formas complejas más adelante en este capítulo, pero los centroides de algunas formas simples se pueden encontrar fácilmente usando simetría.
Si la forma tiene un eje de simetría, cada punto en un lado del eje se refleja por otro punto equidistante en el otro lado. Uno tiene una distancia positiva del eje, y el otro está a la misma distancia en la dirección negativa. Estos dos puntos sumarán a cero el numerador, al igual que cualquier otro punto que compone la forma, y el primer momento será cero. Esto significa que el centroide debe estar a lo largo de la línea de simetría si la hay. Si una forma tiene múltiples líneas de simetría, entonces el centroide debe existir en su intersección.
Dado que los rectángulos, círculos, cubos, esferas, etc. tienen múltiples líneas de simetría, sus centroides deben estar exactamente en el centro como esperaríamos.
Pregunta 7.4.2.
¿Cuáles son las coordenadas del centroide de la sección de haz I que se muestran?
- Responder
-
\[ \bar{x} = \bar{y} = \cm{3.5} \nonumber \]
- Solución
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La sección transversal es simétrica alrededor de una línea central vertical y horizontal. El centroide está en la intersección, en el medio. Las coordenadas se miden desde el origen, en la parte inferior izquierda del diagrama.
\[ \bar{x} = \bar{y} = \cm{3.5} \nonumber \]
Propiedades de Formas Comunes
Aprenderemos a encontrar centroides de otras formas en la Sección 7.7 utilizando la integración, pero en el tiempo medio se registran varias formas comunes en la siguiente tabla. Esta información en esta tabla será necesaria en la siguiente sección.
Cuadro 7.4.3. Centroides de Formas Comunes
| Forma | Área | Centroide | Observaciones |
  |
\(A = b h\) |
\ begin {align*}\ bar {x}\ amp =b/2\\ bar {y}\ amp =h/2\ qquad\ end {align*} |
Simétrico |
  |
\(A = \dfrac{bh}{2}\) |
\ begin {align*}\ bar {x}\ amp =b/3\ text {or,}\\\ bar {y}\ amp =h/3\ end {align*} |
1/3 o 2/3 dependiendo en la orientación del triángulo. |
  |
\(A = \dfrac{(a+b) h}{2}\) |
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {a^2 +ab + b^2} {3 (a+b)}\\ bar {y}\ amp =\ frac {h (2a+b)} {3 (a+b)}\ end {align*} |
|
  |
\(A = \pi r^2\) |
\ comenzar {reunir*}\ bar {x} =\ bar {y} =r\ qquad\ final {reunir*} |
Simétrico |
  |
\(A = \dfrac{\pi r^2}{2}\) |
\ begin {align*}\ bar {x}\ amp=r\\ bar {y}\ amp=\ dfrac {4 r} {3\ pi}\\ dfrac {4 r} {3\ pi}\ amp\ aprox. 0.424\ r\ end {align*} |
Memoriza esto. Ver Ejemplo 7.7.14 para prueba. |
  |
\(A = \dfrac{\pi r^2}{4}\) |
\ comenzar {reunir*}\ bar {x} =\ bar {y} =\ dfrac {4 r} {3\ pi}\\ dfrac {4 r} {3\ pi}\ aprox 0.424\ r\ fin {reunir*} |
Simétrico a lo largo\(y=x\text{.}\) |
- Nota 7.4.4.
-
En esta tabla, todos los centroides se miden desde el origen indicado. Debe realizar los ajustes correspondientes cuando el origen de su sistema de coordenadas se encuentre en otro lugar.
Relaciones entre centroides y centro de gravedad
Las ecuaciones que hemos estado discutiendo (7.2.2), (7.3.1), (7.4.1) y (7.4.2) son todas variaciones en la fórmula promedio ponderada general (7.1.2).
\[ \bar{a} = \frac{\sum a_i w_i}{\sum {w_i}} \nonumber \]
Aquí\(a_i\) representa la distancia en una de las direcciones de coordenadas tal como\(x\text{,}\)\(\bar{a}\) es la distancia media en la\(a\) dirección a la 'media' de todo el objeto, y\(w\) es el factor de ponderación. La única diferencia entre ellos es la elección del factor de ponderación. Para el centro de gravedad, el factor de ponderación es el peso, para el centro de masa, es la masa, para los centroides 3d es el volumen, y para los centroides 2d es el área.
Para entender cómo estas ecuaciones se relacionan entre sí considerar una placa con un área de sección transversal\(A\text{,}\) dividida en\(n\) piezas con volumen\(V_i\text{.}\)
El peso de la parte\(i\) es producto de su peso y volumen específicos.
\[ W_i = \gamma V_i = \rho_i g_i A_i t_i \nonumber \]
Figura 7.4.5. Placa con espesor variable\(t\text{,}\) divided into many volume elements \(V_i\text{.}\)
En el caso más general, todos estos términos pueden depender de la posición de la parte, pero si alguno es constante se pueden factorizar y simplificar las fórmulas.
Para una placa plana homogénea con espesor uniforme, como una pieza de madera contrachapada, la densidad, espesor y\(g\) son todos constantes por lo
\ begin {alinear*}\ amp\ amp w_i\ amp =\ rho g t a_i\\\\ bar {x}\ amp =\ amp =\ frac {\ sum\ bar {x} _ {i} w_i} {\ sum w_i}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {\ sum\ bar {y} _ {i} w_i} {\ sum w_i} _i}\ amp\ bar {z}\ amp =\ frac {\ suma\ bar {z} _ {i} w_i} {\ suma w_i}\\ barra {x}\ amp =\ frac {\ cancelar {\ rho g t}\ suma\ bar {x} _ {i} a_i} {\ cancel {\ rho g t}\ suma a_i}\ amp \ bar {y}\ amp =\ frac {\ cancel {\ rho g t}\ suma\ bar {y} _ {i} a_i} {\ cancel {\ rho g t}\ suma a_i}\ amp\ bar {z}\ amp =\ frac {\ cancel {\ rho g t}\ suma\ bar {z} _ {i} a_i} {\ cancelar\ rho g t}\ suma a_i}\ texto {.} \ end {align*}
Las ecuaciones de centroide bidimensionales son suficientes para encontrar el centro de gravedad de un objeto tridimensional.