7.5: Centroides que utilizan Piezas Compuestas
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Preguntas Clave
- ¿Cómo se calcula el centro de gravedad de un sistema de objetos separados?
- ¿De dónde provienen las ecuaciones para las formas en la tabla de áreas y centroides?
- Al encontrar el centroide, ¿qué se hace con un área recortada de una pieza compuesta?
- ¿Importa si una distancia al centroide de una parte es positiva o negativa desde el sistema de ejes?
En esta sección discutiremos cómo encontrar centroides de formas bidimensionales dividiéndolos primero en piezas con propiedades conocidas, y luego combinando las piezas para encontrar el centroide de la forma original. Este método funcionará cuando se conozcan las propiedades geométricas de todas las subformas o se puedan determinar fácilmente. Si la forma no se puede descomponer de esta manera, quizás porque tiene un límite curvo, necesitará usar la integración para encontrar el centroide. La integración se cubrirá en la Sección 7.7.
Para mayor comodidad, las propiedades de varias formas comunes se pueden encontrar aquí 7.4.1.
Método de piezas compuestas
Las ecuaciones que usaremos para este enfoque son
\ begin {ecuación}\ bar {x} =\ frac {\ sum {\ bar {x} _i}\ a_i} {\ suma a_i}\ qquad\ bar {y} =\ frac {\ suma {\ bar {y} _i}\ a_i}\ a_i} {\ suma a_i}\ label {compuesto-centroide}\ tag {7.5.1}\ end {ecuación}
donde,
- \(\bar{x}\text{,}\)y\(\bar{y}\) son las coordenadas del centroide de toda la forma.
- \(V_i\)es el área de la pieza compuesta\(i\text{.}\)
- \(\bar{x}_i\text{,}\)y\(\bar{y}_i\) son las coordenadas del centroide de la parte compuesta\(i\text{.}\)
Los pasos para encontrar un centroide utilizando el método de piezas compuestas son:
- Rompe la forma general en partes más simples.
- Recoger las áreas y coordenadas centroides, y
- Aplicar (7.5.1) para combinar para encontrar las coordenadas del centroide de la forma original.
Como ejemplo sencillo, consideremos el área en forma de L mostrada, la cual ha sido dividida en dos rectángulos. Las áreas de los rectángulos son
\[ A_1 = \inch{18}^2, A_2 = \inch{14}^2 \nonumber \]
El origen se encuentra en la parte inferior izquierda, por lo que las coordenadas de los centroides de los dos rectángulos son
\[ \bar{x}_1 = \inch{1.5}, \bar{y}_1 = \inch{5}, \qquad \bar{x}_2 = \inch{3.5}, \bar{y}_2 = \inch{1} \nonumber \]
El centroide de toda la forma se encuentra aplicando (7.5.1)
\ begin {align*}\ bar {x}\ amp =\ frac {\ sum {\ bar {x} _i}\ a_i} {\ sum a_i}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {\ sum {\ bar {y} _i}\ a_i}\ a_i} {\ sum a_i}\\ bar {x}\ amp =\ frac {(1.5) (18) + (3.5) (14)} {18 + 14}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {\ sum (5) (18) + (1) (14)} {18 + 14}\\ bar {x}\ amp =\ pulgada {2.375}\ amp\ bar {y}\ amp =\ pulgada {3.25}\ final { alinear*}
Para formas más complejas, la práctica habitual es configurar una tabla para organizar la información necesaria para calcular el centroide, como ahora mostraremos. El proceso se puede dividir en tres pasos.
- Rompe la forma general en partes más simples. Comenzamos con un boceto de la forma y establecemos un sistema de coordenadas. Es crítico que todas las mediciones se realicen desde un origen común, y los resultados también se midan a partir de este origen. Una cuidadosa elección de origen puede simplificar el problema, así que dale un poco de reflexión.
Luego divide la forma en varias formas más simples. Las subformas pueden incluir agujeros, que se tratan como áreas negativas. Debes saber calcular el área y ubicar el centroide de cualquier subforma que utilices.
Considera la forma compleja a continuación.
A menudo hay varias formas de dividir una forma, pero es mejor usar la menor cantidad de piezas posible para minimizar sus cálculos y oportunidades de error. Por ejemplo, podrías elegir dividir esta forma en un\(\cm{5} \times \cm{4}\) rectángulo, un\(\cm{6} \times \cm{4}\) triángulo rectángulo y un agujero\(r = \cm{1.5}\) circular,
o un\(\cm{10} \times \cm{4}\) rectángulo grande, un agujero\(r = \cm{1.5}\) circular y un\(\cm{6} \times \cm{4}\) triángulo rectángulo restado del rectángulo grande.
Ambas opciones darán los mismos resultados, y en este caso no hay ninguna ventaja particular para una elección sobre la otra. No obstante, sería tonto e innecesario romper esto en más de tres partes, y no sería buena idea dividir esto en un trapecio menos un agujero, a menos que conozcas las propiedades geométricas de un trapecio, que no están disponibles en la Subsección 7.4.1. Asegúrate de que tus subformas no se superpongan y no se cuenten más de una vez.
- Recoger las áreas y coordenadas centroides. Una vez que la forma compleja se ha dividido en partes, el siguiente paso es determinar el área y las coordenadas centroidales para cada parte. Puedes usar las propiedades de la Subsección 7.4.1 para rectángulos, triángulos, círculos, semicírculos y cuartos de círculos pero necesitarás usar la integración si hay otras formas involucradas. Cualquier agujero o formas eliminadas deben tratarse como áreas negativas.
Registre la información que recoja en una tabla como la que aparece a continuación. La tabla debe incluir una fila que contenga encabezados de columna y unidades, una fila por cada parte y una fila de resumen. La primera columna identifica la pieza — por número o boceto, la segunda contiene las áreas, y la tercera y cuarta contienen las coordenadas centroidales de las partes.
Parte \(A_i\)
\([\text{cm}^2]\)\(\bar{x}_i\)
\([\text{cm}]\)\(\bar{y}_i\)
\([\text{cm}]\)\(A_i \bar{x}_i\)
\([\text{cm}^3]\)\(A_i \bar{y}_i\)
\([\text{cm}^3]\)1 20 2.5 2 50 40 2 12 7 4/3 84 16 3 \(-\)2.25\(\pi\) \(3\) 2 -6.75\(\pi\) -4.5\(\pi\) \(\Sigma\) 24.93 — — 112.8 41.86 Las dos últimas columnas de la tabla contienen los primeros momentos de área\(Q_x = A_i \bar{y}_i\)\(Q_y = A_i \bar{x}_i\text{,}\) y se rellenan fácilmente multiplicando los valores en las columnas dos a cuatro. Asegúrese de atender los signos positivos y negativos al multiplicar. Obsérvese que el momento de área con respecto al\(x\) eje utiliza la distancia desde el\(x\) eje, que es\(\bar{y}_i\text{,}\) y viceversa.
La fila final de la tabla son valores totales, calculados sumando las entradas para\(A_i\text{,}\)\(Q_x\) y\(Q_y\text{,}\) así, por ejemplo, el área total de la forma es
\[ A = \sum A_i = A_1 + A_2 + A_3 \dots \nonumber \]
No sumar las columnas tres o cuatro, ya que\(\sum \bar{x}_i\) y\(\sum \bar{y}_i\) carecen de sentido.
- Combina las piezas para encontrar el centroide general. Después de haber rellenado toda la tabla, podrás encontrar las coordenadas del centroide aplicando (7.5.1) con los valores de resumen de la última fila.
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {Q_y} {A}\ amp =\ frac {112.8} {24.93}\ amp =\ cm {4.52}\\ bar {y}\ amp =\ frac {Q_x} {A}\ amp =\ frac {41.86} {24.93}\ amp =\ cm {1.692}\ end {align*}
Finalmente, trazar el centroide\((\bar{x}, \bar{y})\) en el diagrama. Si has cometido un error de cálculo suele ser obvio, porque la ubicación del centroide no “se sentirá bien”.
Ejemplo 7.5.1. Interactivo: Centroide de Trapezoide y Agujero.
Ejemplo 7.5.3. Interactivo: Centroide de Rectángulos Compuestos.
Este interactivo muestra una forma de forma compuesta que consiste en un rectángulo grande con un rectángulo más pequeño restado. Se puede cambiar la ubicación y el tamaño de los rectángulos moviendo los puntos rojos.
Usa esto para visualizar cómo se relacionan los centroides del todo con el centroide de las partes. Tenga en cuenta que para los objetos divididos en dos piezas, el centroide del conjunto siempre cae sobre la línea que conecta los centroides de las partes.
Pregunta 7.5.5.
Al encontrar un centroide, ¿qué pasará si no se miden los centroides de las partes de manera consistente desde el mismo origen?
- Responder
-
¡Tu respuesta va a estar equivocada!
Centroides de objetos 3D
Preguntas Clave
- ¿Cómo se divide un sólido compuesto en partes y se calcula el volumen/masa y las distancias centroidales de cada parte?
- ¿Cuál es la técnica para calcular el centro general de volumen/masa para un sólido compuesto?
El centroide de un volumen tridimensional se encuentra de manera similar a los centroides bidimensionales, pero con volumen utilizado en lugar de área para el factor de ponderación. El centroide de un volumen y el centro de masa o gravedad para un sólido homogéneo son idénticos.
\ begin {align*}\ bar {x}\ amp =\ frac {\ sum\ bar {x} _i\ v_i} {\ sum v_i}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {\ sum\ bar {y} _i\ v_i} {\ sum v_i}\ amp\ bar {z}\ amp =\ frac {\ sum\ bar z {} _i\ v_i} {\ suma v_i}\ final {alinear*}
Donde,
- \(\bar{x}\text{,}\)\(\bar{y}\text{,}\)y\(\bar{z}\) son las coordenadas del centroide del volumen general. \(V_i\)es el volumen de la pieza compuesta\(i\text{.}\)
- \(\bar{x}_i\text{,}\)\(\bar{y}_i\text{,}\)y\(\bar{y}_i\) es las coordenadas del centroide de la parte compuesta\(i\text{.}\)
Muchas formas tridimensionales son solo extrusiones prismáticas de las formas. El volumen de un prisma es el producto del área de la sección transversal y la longitud del prisma y se calcula fácilmente. Por ejemplo, el volumen de un cilindro circular con radio\(r\) y longitud\(l\) es\(V=\pi\ r^2\ l\text{.}\)
Si la densidad varía para cada parte de un sólido compuesto, podemos encontrar el centro de masa dividiendo el primer momento de masa por la masa total. También puede calcular el centro de gravedad reemplazando los términos de masa en las ecuaciones siguientes con términos de peso.
\ begin {align*}\ bar {x}\ amp =\ frac {\ sum\ bar {x} _i\ m_i} {\ sum m_i}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {\ sum\ bar {y} _i\ m_i} {\ sum m_i}\ amp\ bar {z}\ amp =\ amp =\ frac {\ sum\ bar {z} _i\ m_i} {\ suma m_i}\ final {alinear*}
Aquí\(m_i\) está la masa de la pieza compuesta\(i\text{.}\)
Siempre debes usar el mismo factor de ponderación (área, volumen, masa, peso, etc) tanto en el numerador como en el denominador del centro de las ecuaciones de área/volumen/masa/peso.
Ejemplo 7.5.6. Centro de Masa 3D.
Un sólido compuesto consiste en un bloque rectangular de concreto ligero y una cuña triangular de acero con dimensiones como se muestra. El bloque rectangular tiene un agujero circular\(\ft{2}\) radial perforado a través de toda su profundidad, perpendicular a las caras frontal y posterior.
Asumir\(\gamma_C = \pqf{125}\text{,}\) y\(\gamma_S = \pqf{493}\text{.}\)
Encuentra el centro de masa de este sólido compuesto.
- Responder
-
\ begin {align*}\ bar {x}\ amp =\ ft {-3.33}\\ bar {y}\ amp =\ ft {2.59}\\ bar {z}\ amp =\ ft {3.37}\ end {align*}
- Responder
-
Cuadro 7.5.7.
Parte \(V_i\)
\([\text{ft}^3]\)\(\gamma\)
\([\text{lb/ft}^3]\)\(W_i\)
\([\text{lb}]\)\(\bar{x}_i\)
\([\text{ft}]\)\(\bar{y}_i\)
\([\text{ft}]\)\(\bar{y}_i\)
\([\text{ft}]\)\(W_i\ \bar{x}_i\)
\([\text{lb-ft}]\)\(W_i\ \bar{y}_i\)
\([\text{lb-ft}]\)\(W_i\ \bar{z}_i\)
\([\text{lb-ft}]\)bloquear 216 125 27000 -3 2 4.5 -81000 54000 121500 agujero -50.27 125 -6283 -3 2 6 18850 -12566 -37699 cuña 12 493 5916 -4.5 4.67 1 -26622 27608 5916 26633 -88772 69042 89717 \ begin {align*}\ bar {x} =\ frac {\ sum w_i\\ bar {x} _i} {\ sum v_i}\ amp =\ frac {\ ft {-88772} ^3} {\ ft {26633} ^2}\ amp =\ ft {-3.33}\\ bar {y} =\ frac {\ sum w_i\ bar {y} _i} {\ sum v_i}\ amp =\ frac {\ ft {69042} ^3} {\ ft {26633} ^2}\ amp =\ ft {2.59}\\ bar {z} =\ frac {\ sum w_i\\ bar {z} _i} {\ suma v_i}\ amp =\ frac {\ ft {89717} ^3} {\ ft {26633 } ^2}\ amp =\ ft {3.37}\ final {alinear*}
De hecho hemos encontrado las coordenadas del centro de gravedad, pero como\(g\) es constante también son coordenadas del centro de masa.