7.6: Valor promedio de una función
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Las técnicas de promedio ponderadas discutidas en (7.1.2) son una multa para promediar varios valores discretos, pero ¿qué hacemos si necesitamos encontrar el promedio de un número infinito de valores o valores que cambian continuamente?
Considerar una función\(y=f(x)\) sobre algún intervalo desde\(a\) hasta\(b\text{.}\) ¿Cómo podemos encontrar el valor promedio\(\bar{y}\) de la función sobre ese intervalo? Para entender lo que se entiende por el valor promedio de una función, mire el interactivo a continuación. Ahí, la función\(f(x)\) es la curva roja, y que puedes cambiar si quieres. Los puntos azules\(a\) y\(b\) marcan el principio y el final del intervalo y también son ajustables.
El área bajo esta curva entre\(a\) y\(b\) está sombreada con gris, y podemos encontrarla usando una integral definida
\[ \int_a^b f(x)\ dx \nonumber \]
El rectángulo rayado azul tiene la misma área que la región sombreada gris, y debido a que las áreas son las mismas, la altura del rectángulo\(\bar{y}\text{,}\) es el valor promedio de\(f(x)\text{.}\)
Con esto en mente, podemos calcular el valor promedio de\(f(x)\) equiparando el área bajo la curva con el área del rectángulo y resolviendo para\(\bar{y}\text{.}\)
\ begin {alinear*}\ int_a^b\ amp f (x)\ dx =\ bar {y} (b-a)\\ bar {y}\ amp =\ amp =\ dfrac {\ int_a^b f (x)\ dx} {(b-a)}\ amp\ texto {y desde}\ int_a^b dx\ amp = (b-a)\\ bar {y}\ amp =\ dfrac {\ int_a^b f (x)\ dx} {\ int_b^a dx}\ final {alinear*}
Este es un promedio ponderado como (7.1.2) pero en lugar de sumar valores\(n\) discretos, integramos un número infinito de valores infinitesimales. \(f(x)\)es el valor que se está promediando y la función de ponderación es\(dx\text{.}\)
Este enfoque es cierto para cualquier opción de función de ponderación. Para encontrar\(\bar{x}\) para un área bidimensional, el valor a promediar es\(x\) y la función de ponderación está reemplazando\(dA\text{,}\) así\(dx\) con\(dA\) y\(x_i\) con\(x\text{,}\)
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {\ sum\ bar {x} _ {i} a_i} {\ suma a_i}\ amp\ amp\ amp\ fila derecha\ amp\ bar {x}\ amp =\ amp =\ frac {\ int x dA} {\ int dA}\ end {alinear*}
En otras palabras, para transformar una suma discreta en una forma integral continua equivalente usted:
- Reemplazar la suma con integración,\(\Sigma \Rightarrow \smallint\text{.}\)
- Reemplazar el factor de ponderación discreto por el elemento diferencial correspondiente,
\[ \begin{cases}A_i \amp \Rightarrow dA \\ V_i \amp \Rightarrow dV \qquad \text{ etc.}\\ W_i \amp \Rightarrow dW\end{cases} \nonumber \]
- Renombrar el valor que se está promediando para eliminar el índice A menudo\(i\text{.}\) usamos\(el\) como subíndice cuando nos referimos a un elemento diferencial.
Las ecuaciones de centroide bidimensionales (7.5.1) se convierten,
\ begin {align*}\ bar {x}\ amp=\ frac {\ sum {\ bar {x} _i}\ a_i} {\ sum a_i}\ sum a_i}\ Rightarrow\ frac {\ int\ bar {x} _ {\ text {el}}\ dA}\ dA}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {\ sum {\ bar {y} _i}\ a_i} {\ suma a_i}\ fila derecha\ frac {\ int\ bar {y} _ {\ texto {el}}\ dA}\ dA} {\ int dA}\ texto {,}\ final {alinear*}
y de la misma manera las ecuaciones del centro de gravedad se convierten
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {\ int\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ dW} {\ int dW}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {\ int\ bar {y} _ {\ texto {el}}\ dW}\ dW} {\ int dW}\ amp\ bar {z}\ amp = frac ac {\ int\ bar {z} _ {\ texto {el}}\ dW} {\ int dW}\ texto {.} \ end {alinear*}
Pregunta 7.6.2.
¿Qué tan lejos está de la tierra al sol?
- Contestar
-
92,958,412 millas
- Solución
-
Siri dice que “La distancia promedio de la tierra al sol es de 92,958,412 millas”.
Esa es una respuesta bastante exacta. ¿Qué significa exactamente? ¿De qué punto de la tierra a qué punto del sol?
Si la tierra y el sol fueran esferas perfectas, podríamos usar la distancia entre sus centroides. Con más información sobre la forma y la densidad, podríamos encontrar sus centros de masa y medir entre esos puntos.
El mayor problema es que esta distancia cambia continuamente a medida que la tierra gira alrededor del sol. ¿Cómo podemos encontrar un valor promedio para algo que cambia continuamente?
Necesitamos utilizar los métodos aquí descritos, integrando la distancia en función del tiempo a lo largo de un año.